《有限單元法》復習參考題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 有限單元法復習參考題一、簡答題：1、簡述應用有限單元法解決具體問題的要點。（1) 將一個表示結構或者連續(xù)體的求解域離散為若干個子域（單元），并通過他們邊界上的結點相互結合為組合體。（2) 用每個單元內所假設的近似函數(shù)來分片地表示全求解域內待求的未知場變量。而每個單元內的近似函數(shù)由未知場函數(shù)（或及其導數(shù)，為了敘述方便，后面略去此加注）在單元各個節(jié)點上的數(shù)值與其對應的插值函數(shù)來表達。（3) 通過和原問題數(shù)學模型（基本方程、邊界條件）等效的變分原理或者加權余量法，建立求解基本未知量（場函數(shù)的結點值）的代數(shù)方程或者常微分方程組。2、等效積分形式和等效積分“弱”形式的區(qū)別何在

2、？為什么等效積分“弱”形式在數(shù)值分析中得到更多的應用？在很多情況下對微分方程的等效積分形式進行分部積分可以得到等效積分的弱形式，如下式,其中C、D、E、F是微分算子。像這種通過適當提高對任意函數(shù)和 的連續(xù)性要求，以降低對微分方程場函數(shù)u的連續(xù)性要求所建立的等效積分形式稱為微分方程的等效積分“弱”形式。值得指出的是，從形式上看“弱”形式對函數(shù)u的連續(xù)性要求降低了，但對于實際的物理問題卻常常較原始的微分方程更逼近真正的解，因為原始微分方程往往對解提出了過分的要求。所以等效積分“弱”形式在數(shù)值分析中得到更多的應用。3、什么是Ritz（里茲）方法？其優(yōu)缺點是什么？收斂的條件是什么？ 基于變分原理的近似

3、解法稱為Ritz（里茲），解法如下：優(yōu)缺點：一般來說，使用里茲方法求解，當試探函數(shù)族的范圍擴大以及待定參數(shù)的數(shù)目增多時，近似解的精度將會提高。局限性：(1) 在求解域比較復雜的情況下，選取滿足邊界條件的試探函數(shù)，往往會產(chǎn)生難以克服的困難。(2) 為了提高近似解的精度，需要增加待定參數(shù)，即增加試探函數(shù)的項數(shù)，這就增加了求解的復雜性，而且由于試探函數(shù)定義于全域，因此不可能根據(jù)問題的要求在求解域的不同部位對試探函數(shù)提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整個問題求解增加許多困難。收斂的條件：試探函數(shù) ，試探函數(shù) 連續(xù)性要求。4、什么是最小位能原理？該原理在有限單元分析中的作用是什么？對場函數(shù)的試

4、探函數(shù)有什么要求？如此公式所示 ，是系統(tǒng)的總位能，它是彈性體變形位能和外力位能之和。該式表明，在所有區(qū)域內連續(xù)可導的并在邊界上滿足給定位移條件的可能位移中，真實位移使系統(tǒng)的總位能取駐值。在所有的可能位移中，真實位移使系統(tǒng)總位能取得最小值，因此所表達的稱為最小位能原理。利用最小位能原理求得位移近似解的彈性變形能是精確解變性能的下界，即近似的位移場在總體上偏小，也就是說結構的計算模型顯得偏于剛硬。要求：最小位能原理的試探函數(shù)-位移，應事先滿足幾何方程和給定的位移的邊界條件。5、有限單元法中單元的位移模式為什么通常采用多項式作為近似函數(shù)？選擇廣義坐標有限元位移模式的一般原則是什么?因為多項式運算簡便

5、，并且隨著項數(shù)的增多，可以逼近任何一段光滑的函數(shù)曲線，多項式的選擇應由低次到高次。一般原則：（1) 廣義坐標是由結點場變量確定的，因此它的個數(shù)應與結點自由度數(shù)相等。（2) 選取多項式時，常數(shù)項和坐標的一次項必須完備。（3) 多項式的選取應由低階到高階，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。6、在有限單元法中，保證有限元解收斂有哪些準則? 六節(jié)點三角形單元是收斂的單元嗎？為什么？完備性要求。如果出現(xiàn)在泛函中的場函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元內場函數(shù)的試探函數(shù)至少是m次完全多項式。協(xié)調性要求。如果出現(xiàn)在泛函中的最高階導數(shù)是m階，則試探函數(shù)在單元交界面上必須具有 連續(xù)性，即在相

6、鄰單元的交界面上函數(shù)應有直至m-1階的連續(xù)導數(shù)。不是收斂單元，因為不滿足完備性要求和協(xié)調性要求。7、何謂位移元？為什么位移元解具有下限性？請給出力學上的解釋。位移元：以位移為基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元稱之為位移元。位移元解具有下限性可以解釋如下：單元原是連續(xù)體的一部分，具有無限多個自由度。在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以結點位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對單元的形變進行了約束和限制，使單元的剛度較實際連續(xù)體加強了，因此連續(xù)體的整體剛度隨之增加，離散后的 較實際的K為大，因此求得的位移近似解總體上將小于精確解。8、什么是拉格朗日單元和Serendipity單元？比較

7、這兩種單元的各自特點。拉格朗日單元特點：（1）插值函數(shù)構造方便；（2）內部結點較多，單元的次數(shù)越高相應自由度越高；（3）單元階次增高，非完全高次項增加。Serendipity單元作用是：不改變精度的條件下，減少內部結點，即對 Lagrange 單元簡化 。9、什么是階譜單元？如何在有限單元法中采用階譜單元？相對于通用的標準單元有何好處？階譜單元：特點：（1）插值函數(shù)（階譜函數(shù)）不再具有“0-1特性”。（2）高階單元的單元特性矩陣可承襲低階單元的單元特性矩陣。在用于自適應分析中可以節(jié)省編程的工作量。10、什么是等參變換？在有限單元法中，等參數(shù)單元的主要優(yōu)點是什么?等參變換是指單元的幾何形狀和單元

8、內的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結點參數(shù)及相同的插值函數(shù)進行變換。優(yōu)點是借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題方便地進行有限元離散。 等參元的插值函數(shù)是用自然坐標給出的，等參元的一切計算（如單元剛度矩陣、單元載荷列陣等）都是在自然坐標系中規(guī)格化的 母單元內進行，相關運算大大簡化。 不管各個積分形式的矩陣的被積函數(shù)如何復雜，都可以采用標準化的數(shù)值積分方法計算，從而使工程問題的有限元分析納入了統(tǒng)一的 通用化程序。11、等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇應遵循哪些原則？如何檢查所采用的積分方案是否滿足所述的原則？1.保證積分的精度。2.保證結構總剛度矩陣k是非奇異的。對于一個給定形式的單元,如果采用精

9、確積分,則插值函數(shù)中所有項次在 1J=常數(shù)的條件下能被精確積分,并能保證剛度矩陣的非奇異性。如果采用減縮積分,因為插值函數(shù)中只有完全多項式的項次能被精確積分,因此需要進行剛度矩陣非奇異必要條件的檢查。若能通過檢查,則可以考慮采用減縮積分方案,以減少計算工作量,并可能對計算結果有所改進。12、簡述有限元網(wǎng)格劃分的基本原則。網(wǎng)格疏密的布置，不連續(xù)處的網(wǎng)格自然劃分，不同密度劃分網(wǎng)格過渡13、什么是自適應分析方法？用什么方法進行自適應的重分析？自適應有限元技術是一種根據(jù)中間計算結果自動控制計算過程的求解偏微分方程的方法。它主要利用中間計算結果自動計算所需的網(wǎng)格，選取最佳離散方式，從而逐步對誤差做適當調

10、節(jié)以達到所需精度。h型改進，p型改進14、為什么雙線性四邊形單元用于彎曲應力分析時表現(xiàn)出較差的性能？不能有重節(jié)點不能出現(xiàn)內角大于180 o 的情況內角最好介于30 o -150 o 之間（有限變形的情況）15、什么是罰函數(shù)法？罰函數(shù)法求解近不可壓縮彈性力學問題時的有限元方程系數(shù)矩陣應具有什么性質？如何保證它具有這樣的性質？k1非奇異，k2奇異，k1+ak2非奇異二、計算分析題：1、 試寫出下述定解問題的等效積分形式和等效積分弱形式，并說明構造“弱” 形式的意義。（提示：利用Green公式： ，為）2、已知：, 其中 ，邊界條件為：； 。假設近似函數(shù)為，試用配點法，子域法和伽遼金法求解。3、某問

11、題的微分方程是，邊界條件為，其中，c和Q僅是坐標的函數(shù)，證明此方程的微分算子是自伴隨的，并建立相應的自然變分原理。4、彈性薄板的控制方程為：，建立周邊固支時的自然變分原理。5、如有一問題的泛函為 ， 其中，是常數(shù)，是給定函數(shù)，是未知函數(shù)，試導出原問題的微分方程和邊界條件。6、考慮如圖1所示懸臂梁，設其跨長為，抗彎剛度為，在梁的中部及端點處受集中荷載作用。（1）若用Ritz（里茲）法計算粱的撓度曲線方程，試問：是否可取如下表達式?，其中，為待定常數(shù)。（2）若是可以，試利用最小位能原理求出相應的撓度曲線方程。 圖17、證明三節(jié)點三角形單元的形狀函數(shù)滿足 ， 及 8、設有一彈性平面問題，厚度為，彈性

12、模量為，泊松比，對于如圖2所示的三節(jié)點三角形單元，試計算其單元剛度矩陣。 圖29、對如圖3所示四邊形單元，試計算其單元剛度矩陣，寫出其基本思路即可。圖310、試用“試湊法”構造圖4各節(jié)點形函數(shù)，要求寫出詳細的計算過程。圖411、利用構造變結點數(shù)單元插值函數(shù)的方法，構造如圖5所示8結點單元的插值函數(shù)。圖512、（1）圖6所示為二次四邊形單元，試計算和在自然坐標為 的點Q的數(shù)值（因為單元的邊是直線，可用4個結點定義單元的幾何形狀）。（2）圖7所示為二次三角形單元，試計算和在點的數(shù)值。 圖6 圖713、對如圖8所示的四邊形單元（見左圖）（1）寫出將該單元變換到一邊長為2的正方形單元（見右圖）的坐標變

13、換。（2）計算該單元的雅可比（Jacobi）矩陣。要求寫出詳細計算過程。 圖814、有一個三角形單元，受有如圖9所示的分布載荷，試計算該單元的等效節(jié)點載荷列陣。要求寫出詳細的計算過程。 圖9 圖1015、圖10為一給定的六節(jié)點三角形單元，在邊上作用有線性分布的面載荷（方向），假設單元厚度為，試用兩種不同的方法求單元等效節(jié)點載荷列陣。要求寫出詳細的計算過程。16、圖11為一邊長為2的八節(jié)點正方形單元，它的邊界平行于整體坐標軸，在邊152上受有均布表面荷載，假設單元厚度為，試求單元等效節(jié)點載荷。要求寫出詳細的計算過程。 圖1117、考慮如圖12所示受均布載荷作用的懸臂梁，將其剖分成兩個單元，單元和節(jié)點編號如圖所示，設節(jié)點位移和節(jié)點力分別為和，已知平面梁單元單元剛度矩陣為，其中，為長度，為抗彎剛度，試求節(jié)點2和節(jié)點3的位移值，要求寫出詳細計算過程。 圖1218、圖13所示正方形薄板，邊長為，厚度為，不計體力。設泊松比，彈性模量為，結點編號及單元劃分如圖13所示，試求：（1）單元和單元對應的剛度矩陣和。要求寫出詳細的計算過程。（2）結構的總體剛度矩陣，計算各結點位移，并求解其主應力和主方向。要求寫出詳細的計算過程。圖131. 定義單元數(shù)據(jù)ijmbi bj bmci c