第一章_常用數(shù)值分析方法§4_有限差分法與有限單元法

1、 3:43 2022-3-51/45X.Z.LinW Y 3:43 2022-3-52/38X.Z.Lin 有限差分方法是數(shù)值計(jì)算中應(yīng)用非常廣泛的一種有限差分方法是數(shù)值計(jì)算中應(yīng)用非常廣泛的一種方法，是求解微分方程的主要方法之一。其實(shí)質(zhì)就是方法，是求解微分方程的主要方法之一。其實(shí)質(zhì)就是以有限差分代替無限微分、以差分代數(shù)方程代替微分以有限差分代替無限微分、以差分代數(shù)方程代替微分方程、以數(shù)值計(jì)算代替數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過程，從而將連續(xù)方程、以數(shù)值計(jì)算代替數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過程，從而將連續(xù)函數(shù)離散化。以有限的、離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)函數(shù)離散化。以有限的、離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)分布。分布。 4.1.1 概述概述W Y

2、 3:43 2022-3-53/38X.Z.Lin1、構(gòu)成差分格式、構(gòu)成差分格式 差分方程通常是一組數(shù)量較多的線性代數(shù)方程（即：線性方差分方程通常是一組數(shù)量較多的線性代數(shù)方程（即：線性方程組）。其求解方法有下列兩種程組）。其求解方法有下列兩種：（：（1）精確法，又稱直接法，精確法，又稱直接法，即消元法；（即消元法；（2）近似法，又稱間接法，即迭代法。）近似法，又稱間接法，即迭代法。2、求解差分方程、求解差分方程3、對(duì)所得到的數(shù)值解進(jìn)行對(duì)所得到的數(shù)值解進(jìn)行精度與收斂性分析和檢驗(yàn)精度與收斂性分析和檢驗(yàn)。 首先選擇網(wǎng)格布局、差分形式和步長(zhǎng)；其次，以有限差分首先選擇網(wǎng)格布局、差分形式和步長(zhǎng)；其次，以有

3、限差分代替無限微分，即以代替無限微分，即以 代替代替dx以差商以差商 代代替微商（導(dǎo)數(shù)）替微商（導(dǎo)數(shù)） ，以差分方程代替微分方程及邊界條件。，以差分方程代替微分方程及邊界條件。xxx122121yyyxxx21xxx dydxW Y 3:43 2022-3-54/38X.Z.Lin 建立差分方程是有限差分法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。導(dǎo)出差分建立差分方程是有限差分法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。導(dǎo)出差分方程的途徑可有兩種：方程的途徑可有兩種：（1）從微分方程出發(fā)，以泰勒級(jí)數(shù)截?cái)?，從有限差分）從微分方程出發(fā)，以泰勒級(jí)數(shù)截?cái)?，從有限差分的?shù)學(xué)含義去建立有限差分和差分方程。的數(shù)學(xué)含義去建立有限差分和差分方程。（2）從由網(wǎng)格所劃分的單

4、元體的能量平衡分析出發(fā)、）從由網(wǎng)格所劃分的單元體的能量平衡分析出發(fā)、由積分方由積分方 程去建立差分方程，該方法又稱程去建立差分方程，該方法又稱單元體平衡法單元體平衡法。 兩種方法各具特色，但無論采取何種差分方程的推兩種方法各具特色，但無論采取何種差分方程的推導(dǎo)方法，在建立差分方程前，均需對(duì)所論區(qū)域進(jìn)行離散導(dǎo)方法，在建立差分方程前，均需對(duì)所論區(qū)域進(jìn)行離散化化 。W Y 3:43 2022-3-55/38X.Z.Lin合理選擇網(wǎng)格布局及步長(zhǎng)合理選擇網(wǎng)格布局及步長(zhǎng) 在實(shí)施有限差分法中首先在如圖在實(shí)施有限差分法中首先在如圖4.1所示的求解區(qū)域內(nèi)，將自所示的求解區(qū)域內(nèi)，將自變量變量x，y 分別沿分別沿x

5、，y軸方向的連續(xù)變化，離散為軸方向的連續(xù)變化，離散為x0，x1 ，x2，xn及及y0，y1 ，y2，yn個(gè)不連續(xù)點(diǎn)形成離散化網(wǎng)格；網(wǎng)格交點(diǎn)稱個(gè)不連續(xù)點(diǎn)形成離散化網(wǎng)格；網(wǎng)格交點(diǎn)稱為為結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)(或節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn))，依次將結(jié)點(diǎn)編號(hào)，與區(qū)域自變量離散化相對(duì)應(yīng)，依次將結(jié)點(diǎn)編號(hào)，與區(qū)域自變量離散化相對(duì)應(yīng)，區(qū)域內(nèi)函數(shù)也將同時(shí)被離散化區(qū)域內(nèi)函數(shù)也將同時(shí)被離散化 。 離散化后各相鄰離散點(diǎn)之間的距離，或離散化單離散化后各相鄰離散點(diǎn)之間的距離，或離散化單元的長(zhǎng)度稱為元的長(zhǎng)度稱為步長(zhǎng)步長(zhǎng)，步長(zhǎng)的大小可以是常量，也可以，步長(zhǎng)的大小可以是常量，也可以是變量。是變量。網(wǎng)格的粗細(xì)與是否均勻網(wǎng)格的粗細(xì)與是否均勻，要根據(jù)求解區(qū)域物，

6、要根據(jù)求解區(qū)域物理場(chǎng)的實(shí)際分布和對(duì)結(jié)果所要求的精確度而定。理場(chǎng)的實(shí)際分布和對(duì)結(jié)果所要求的精確度而定。 一般說來，對(duì)均質(zhì)、形狀簡(jiǎn)單且規(guī)則、物理量變一般說來，對(duì)均質(zhì)、形狀簡(jiǎn)單且規(guī)則、物理量變化不劇烈的物體或求解精度要求不高時(shí)，可采用化不劇烈的物體或求解精度要求不高時(shí)，可采用等等步長(zhǎng)、大步長(zhǎng)步長(zhǎng)、大步長(zhǎng)，即采用均勻網(wǎng)格；而對(duì)形狀復(fù)雜、組，即采用均勻網(wǎng)格；而對(duì)形狀復(fù)雜、組分不同、物理量變化劇烈的物體，或求解精度要求較分不同、物理量變化劇烈的物體，或求解精度要求較高時(shí)，則采用高時(shí)，則采用小步長(zhǎng)、變步長(zhǎng)小步長(zhǎng)、變步長(zhǎng)。圖圖4.1 求解區(qū)域離散化求解區(qū)域離散化 W Y 3:43 2022-3-56/38X.

7、Z.Lin 另外，對(duì)一些較復(fù)雜的問題，在選擇網(wǎng)格與步長(zhǎng)前，往往要對(duì)所論區(qū)另外，對(duì)一些較復(fù)雜的問題，在選擇網(wǎng)格與步長(zhǎng)前，往往要對(duì)所論區(qū)域的物理場(chǎng)作出粗略估計(jì)，然后以較粗的網(wǎng)格、較大的步長(zhǎng)計(jì)算出參考性域的物理場(chǎng)作出粗略估計(jì)，然后以較粗的網(wǎng)格、較大的步長(zhǎng)計(jì)算出參考性物理場(chǎng)，根據(jù)這一參考性物理場(chǎng)再選擇合理的離散化網(wǎng)格物理場(chǎng)，根據(jù)這一參考性物理場(chǎng)再選擇合理的離散化網(wǎng)格。 離散化網(wǎng)格的布局，要根據(jù)所要求解的問題的性質(zhì)及求解離散化網(wǎng)格的布局，要根據(jù)所要求解的問題的性質(zhì)及求解要求確定。一般說來，有兩種方法：要求確定。一般說來，有兩種方法：（1）物理劃分法物理劃分法：這種方法是根據(jù)問題的物理特性劃分，如建筑：這

8、種方法是根據(jù)問題的物理特性劃分，如建筑物墻壁內(nèi)外層面磚、普通磚和內(nèi)灰泥層組成；若擬求各層界面壁物墻壁內(nèi)外層面磚、普通磚和內(nèi)灰泥層組成；若擬求各層界面壁溫，則離散化時(shí)應(yīng)按不同材料組分劃分區(qū)域。溫，則離散化時(shí)應(yīng)按不同材料組分劃分區(qū)域。圖圖4.2 扇形網(wǎng)格和三角形網(wǎng)格扇形網(wǎng)格和三角形網(wǎng)格 （2）幾何劃分法：幾何劃分法：以幾何區(qū)域以幾何區(qū)域形狀為依據(jù)來劃分，如對(duì)矩形區(qū)形狀為依據(jù)來劃分，如對(duì)矩形區(qū)域可采用矩形離散化網(wǎng)格，非矩域可采用矩形離散化網(wǎng)格，非矩形區(qū)域可采用三角形、四角形或形區(qū)域可采用三角形、四角形或其他形狀的網(wǎng)格，以適應(yīng)溫度場(chǎng)其他形狀的網(wǎng)格，以適應(yīng)溫度場(chǎng)分布的要求。分布的要求。W Y 3:43

9、2022-3-57/38X.Z.Lin將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程 微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程實(shí)際上就是以差分代替微微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程實(shí)際上就是以差分代替微分、以差商代替微商的過程，是以有限小量去代替無限分、以差商代替微商的過程，是以有限小量去代替無限微量的近似化過程。微量的近似化過程。 方法：寫出微分方程中各微分與微商所對(duì)應(yīng)方法：寫出微分方程中各微分與微商所對(duì)應(yīng)的差分與差商形式，代入原微分方程即可。的差分與差商形式，代入原微分方程即可。W Y 3:43 2022-3-58/38X.Z.Lin某物理量的有限增量某物理量的有限增量 分分類類按按組組成成分分按按階數(shù)階數(shù)分分f2

10、一階差分一階差分二階差分二階差分n 階差分階差分fnf一階差分一階差分二階差分二階差分iiiffff1,2,1,21121() ()()2f if if if iiiiiiiifffffffffff 一階差分一階差分二階差分二階差分,1b iiifff2,111212() ()()2b ib ib ib iiiiiiiifffffffffff 一階差分一階差分二階差分二階差分1111,1122222iiiiiic iiifffffffff2,11,221 11 11 11 1112 22 22 22 2() () ()2c ic ic ic iiiiiiiifffffffffff 向前差分向前

11、差分向后差分向后差分中心差分中心差分W Y 3:43 2022-3-59/38X.Z.Lin函數(shù)的差分與自變量差分之比函數(shù)的差分與自變量差分之比 用差分代替微分方程中的微分，用差商代替微分方程中的用差分代替微分方程中的微分，用差商代替微分方程中的微商，即可將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程。微商，即可將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程。 差分方程通常是一個(gè)線性方程組，利用以前介紹的直接法差分方程通常是一個(gè)線性方程組，利用以前介紹的直接法（消元法）或間接法（迭代法）即可解之，從而得到原微分方（消元法）或間接法（迭代法）即可解之，從而得到原微分方程的解。程的解。W Y 3:43 2022-3-510/38X.Z.Li

12、n 有限單元法（又稱為有限元素法，簡(jiǎn)稱有限元法），是有限單元法（又稱為有限元素法，簡(jiǎn)稱有限元法），是20世紀(jì)世紀(jì)50年代初年代初才出現(xiàn)的才出現(xiàn)的 一種新的數(shù)值分析方法，最早應(yīng)用于一種新的數(shù)值分析方法，最早應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域航空航天領(lǐng)域，主要用于，主要用于力學(xué)力學(xué)與結(jié)構(gòu)分析與結(jié)構(gòu)分析中，中， 20 世紀(jì)世紀(jì) 70 年以來被應(yīng)用到年以來被應(yīng)用到傳熱學(xué)傳熱學(xué)計(jì)算中。與有限差分法相計(jì)算中。與有限差分法相比較，有限元法的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性都比較好，且由于其單元的靈活性，使它比較，有限元法的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性都比較好，且由于其單元的靈活性，使它更適應(yīng)于數(shù)值求解非線性熱傳導(dǎo)問題以及具有不規(guī)則幾何形狀與邊界，特別更適

13、應(yīng)于數(shù)值求解非線性熱傳導(dǎo)問題以及具有不規(guī)則幾何形狀與邊界，特別是要求同時(shí)得到熱應(yīng)力場(chǎng)的各種復(fù)雜導(dǎo)熱問題；有限元法在傳熱學(xué)中的應(yīng)用是要求同時(shí)得到熱應(yīng)力場(chǎng)的各種復(fù)雜導(dǎo)熱問題；有限元法在傳熱學(xué)中的應(yīng)用正處于開拓與發(fā)展階段，迄今為止，其應(yīng)用已波及熱傳導(dǎo)、正處于開拓與發(fā)展階段，迄今為止，其應(yīng)用已波及熱傳導(dǎo)、 對(duì)流傳熱及換熱對(duì)流傳熱及換熱器設(shè)計(jì)與計(jì)算。器設(shè)計(jì)與計(jì)算。4.1.1 概述概述 從從“有限元有限元”的名字出現(xiàn)到今天，經(jīng)歷了幾十年的發(fā)展，其基本理論已的名字出現(xiàn)到今天，經(jīng)歷了幾十年的發(fā)展，其基本理論已經(jīng)日趨完善，復(fù)雜非線性問題的各種算法得到很大的發(fā)展，并且在工程領(lǐng)域經(jīng)日趨完善，復(fù)雜非線性問題的各種算法

14、得到很大的發(fā)展，并且在工程領(lǐng)域（如：結(jié)構(gòu)力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等連續(xù)域問題）得到廣范的應(yīng)（如：結(jié)構(gòu)力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等連續(xù)域問題）得到廣范的應(yīng)用。用。 W Y 3:43 2022-3-511/38X.Z.Lin （1）假想把連續(xù)系統(tǒng)（包括桿系，連續(xù)體，連續(xù)介質(zhì)）假想把連續(xù)系統(tǒng)（包括桿系，連續(xù)體，連續(xù)介質(zhì)）分割分割成數(shù)目成數(shù)目有限的單元，單元之間只在數(shù)目有限的指定點(diǎn)（稱為結(jié)點(diǎn)）處相互連接，有限的單元，單元之間只在數(shù)目有限的指定點(diǎn)（稱為結(jié)點(diǎn)）處相互連接，構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)單元集合體單元集合體來代替原來的連續(xù)系統(tǒng)。在結(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效載荷來代替原來的連續(xù)系統(tǒng)。在結(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效載荷（或邊

15、界條件），代替實(shí)際作用于系統(tǒng)上的外載荷（或（或邊界條件），代替實(shí)際作用于系統(tǒng)上的外載荷（或 邊界條件）。邊界條件）。 （2）對(duì)每個(gè)單元由）對(duì)每個(gè)單元由分塊近似分塊近似的思想，按一定的規(guī)則（由力學(xué)關(guān)系或的思想，按一定的規(guī)則（由力學(xué)關(guān)系或選擇一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)）建立待求選擇一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)）建立待求未知量與結(jié)點(diǎn)相互作用（力）之間的關(guān)系未知量與結(jié)點(diǎn)相互作用（力）之間的關(guān)系（力位移、熱量溫度、電壓電流等）。（力位移、熱量溫度、電壓電流等）。 （3）把所有單元的這種特性關(guān)系按一定的條件（變形協(xié)調(diào)條件、連）把所有單元的這種特性關(guān)系按一定的條件（變形協(xié)調(diào)條件、連續(xù)條件或變分原理及能量原理）續(xù)條件或變分原理及能量原理）

16、集合集合起來，引入邊界條件，構(gòu)成一組以起來，引入邊界條件，構(gòu)成一組以結(jié)點(diǎn)變量（位移、溫度、電壓等）為未知量的結(jié)點(diǎn)變量（位移、溫度、電壓等）為未知量的代數(shù)方程組代數(shù)方程組， 解之就可得解之就可得到有限個(gè)節(jié)點(diǎn)處的待求變量到有限個(gè)節(jié)點(diǎn)處的待求變量 。 可見：有限元法實(shí)質(zhì)上是把具有無限個(gè)自由度的連續(xù)系可見：有限元法實(shí)質(zhì)上是把具有無限個(gè)自由度的連續(xù)系統(tǒng)，理想化為只有有限個(gè)自由度的單元集合體，使問題轉(zhuǎn)化統(tǒng)，理想化為只有有限個(gè)自由度的單元集合體，使問題轉(zhuǎn)化為適合于數(shù)值求解的結(jié)構(gòu)型問題。為適合于數(shù)值求解的結(jié)構(gòu)型問題。 W Y 3:43 2022-3-512/38X.Z.Lin圖圖4.3v為沖壓位移為沖壓位移W

17、 Y 3:43 2022-3-513/38X.Z.Lin圖圖4.4W Y 3:43 2022-3-514/38X.Z.Lin直接剛度法直接剛度法 在剛提出有限元法的時(shí)候采用的是直接剛度法它源在剛提出有限元法的時(shí)候采用的是直接剛度法它源于結(jié)構(gòu)分析的剛度法。因剛度法只能處理于結(jié)構(gòu)分析的剛度法。因剛度法只能處理些比較簡(jiǎn)單的些比較簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，現(xiàn)在已很少使用了，但它對(duì)我們理解和明確有實(shí)際問題，現(xiàn)在已很少使用了，但它對(duì)我們理解和明確有限元法的一些物理概念是很有幫助的。所以我們首先通過限元法的一些物理概念是很有幫助的。所以我們首先通過一個(gè)例子來介紹直接剛度法，同時(shí)說明有限元法求解的一一個(gè)例子來介紹直接剛

18、度法，同時(shí)說明有限元法求解的一般步驟。般步驟。 W Y 3:43 2022-3-515/38X.Z.Lin 考慮一個(gè)變截面桿，如圖考慮一個(gè)變截面桿，如圖4.5所所示，桿的一端固定，另一端承受示，桿的一端固定，另一端承受 P1000N的載荷桿的頂部寬的載荷桿的頂部寬w1=2cm， 桿的底部寬桿的底部寬w2=1cm ，桿，桿的厚度的厚度t=0.125cm，長(zhǎng)度，長(zhǎng)度L 10cm、桿的彈性模量桿的彈性模量E10.4106MPa。試分析該桿沿長(zhǎng)度方向不同位置的試分析該桿沿長(zhǎng)度方向不同位置的變形情況，假設(shè)桿的質(zhì)量可以忽略變形情況，假設(shè)桿的質(zhì)量可以忽略不計(jì)。不計(jì)。圖圖4.5 受軸向載荷的變截面桿受軸向載荷

19、的變截面桿有限元基本概念與一般步驟有限元基本概念與一般步驟W Y 3:43 2022-3-516/38X.Z.Lin圖圖4.6 將桿劃分為單元和結(jié)點(diǎn)將桿劃分為單元和結(jié)點(diǎn) 先將求解的問題分解為結(jié)點(diǎn)和單元。為簡(jiǎn)單起見，將桿劃分成五個(gè)結(jié)先將求解的問題分解為結(jié)點(diǎn)和單元。為簡(jiǎn)單起見，將桿劃分成五個(gè)結(jié)點(diǎn)和四個(gè)單元（如圖點(diǎn)和四個(gè)單元（如圖4.6所示）。所示）。 給定的變截而桿簡(jiǎn)化為四個(gè)獨(dú)立的部分，每部分的截面面積恒定（為給定的變截而桿簡(jiǎn)化為四個(gè)獨(dú)立的部分，每部分的截面面積恒定（為組成該單元的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)處的面積的平均值）。組成該單元的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)處的面積的平均值）。(1) 求解域離散化求解域離散化 W Y 3:43

20、 2022-3-517/38X.Z.Lin圖圖4.7 具有均勻截面的固體單元在力具有均勻截面的固體單元在力F作用下的變形作用下的變形 單元中的平均應(yīng)力為：?jiǎn)卧械钠骄鶓?yīng)力為： 平均正應(yīng)變?yōu)椋浩骄龖?yīng)變?yōu)椋?在彈性范圍內(nèi)，由在彈性范圍內(nèi)，由Hooke定律定律E可得：可得： lAEklkFeqeq注意：上式與線性彈簧等式注意：上式與線性彈簧等式F=kx相似。相似。 因此可因此可用彈簧的變形來模擬固態(tài)單元的變形，從而得：用彈簧的變形來模擬固態(tài)單元的變形，從而得：（keq稱為等價(jià)剛度）稱為等價(jià)剛度）W Y 3:43 2022-3-518/38X.Z.Lin圖圖4.8 結(jié)點(diǎn)受力分析結(jié)點(diǎn)受力分析 將上述結(jié)

21、果擴(kuò)展到整個(gè)變截面桿上，則：桿可將上述結(jié)果擴(kuò)展到整個(gè)變截面桿上，則：桿可以用一個(gè)由四個(gè)彈簧（五個(gè)結(jié)點(diǎn)）串聯(lián)組成的模型以用一個(gè)由四個(gè)彈簧（五個(gè)結(jié)點(diǎn)）串聯(lián)組成的模型來表示，每個(gè)單元模型的彈性行為可以用等價(jià)線性來表示，每個(gè)單元模型的彈性行為可以用等價(jià)線性彈簧來表示：彈簧來表示： 根據(jù)靜態(tài)平衡的要求：作用在每個(gè)結(jié)點(diǎn)上的力的根據(jù)靜態(tài)平衡的要求：作用在每個(gè)結(jié)點(diǎn)上的力的總和為零，因此得到如下方程：總和為零，因此得到如下方程： )(2)()()(1111iiiiiiavgiieqiuulEAAuulEAuukFlEAAkiieq2)(1等價(jià)單元?jiǎng)偠龋篧 Y 3:43 2022-3-519/38X.Z.Lin

22、將這些方程將這些方程進(jìn)行變化可得進(jìn)行變化可得到：到： 矩陣形式為：矩陣形式為： 在載荷矩陣在載荷矩陣中區(qū)分施加力中區(qū)分施加力與反作用力也與反作用力也是必要的。因是必要的。因此矩陣式又可此矩陣式又可寫為寫為 ：W Y 3:43 2022-3-520/38X.Z.Lin 反作用力矩陣反作用力矩陣 剛度矩陣剛度矩陣 位移矩陣位移矩陣 載荷矩陣載荷矩陣 對(duì)我們所討論的問對(duì)我們所討論的問題，因?yàn)闂U的頂端固定，題，因?yàn)闂U的頂端固定，結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)1的位移應(yīng)力的位移應(yīng)力0，即，即 u10，將此邊界條件用于，將此邊界條件用于上式，得到如下矩陣：上式，得到如下矩陣： 解此方程組即可得到各結(jié)點(diǎn)的位移解此方程組即可得到各

23、結(jié)點(diǎn)的位移 W Y 3:43 2022-3-521/38X.Z.Lin討論討論 一般單元的單元?jiǎng)偠染仃?，并討論總體剛度矩陣的集成。一般單元的單元?jiǎng)偠染仃?，并討論總體剛度矩陣的集成。 先以一個(gè)單元（含兩個(gè)結(jié)點(diǎn)）作為研究對(duì)象，其傳輸力先以一個(gè)單元（含兩個(gè)結(jié)點(diǎn)）作為研究對(duì)象，其傳輸力可用圖可用圖4.9表示。表示。圖圖4.9 單元傳輸力單元傳輸力FiFiFi+1Fi+1=)()(111iieqiiieqiuukFuukF確定每個(gè)單元的方程：確定每個(gè)單元的方程： 單元?jiǎng)倖卧獎(jiǎng)偠染仃嚩染仃嘩 Y 3:43 2022-3-522/38X.Z.Lin集成單元：集成單元： 首先寫出各單元?jiǎng)偠染仃嚰捌湓诳傮w剛度矩

24、陣中的位置如下：首先寫出各單元?jiǎng)偠染仃嚰捌湓诳傮w剛度矩陣中的位置如下：?jiǎn)卧獑卧?1單元單元 2單元單元 3單元單元 4組裝（相加），即得總體剛度矩陣：組裝（相加），即得總體剛度矩陣：W Y 3:43 2022-3-523/38X.Z.Lin施加邊界條件和載荷施加邊界條件和載荷 桿的頂端固定，應(yīng)滿足邊界條件桿的頂端固定，應(yīng)滿足邊界條件 u1=0載荷載荷P 施加施加在結(jié)點(diǎn)在結(jié)點(diǎn)5上。應(yīng)用這些條件得到下式上。應(yīng)用這些條件得到下式 ： 剛度矩陣剛度矩陣 位移矩陣位移矩陣 載荷矩陣載荷矩陣 有限元分析的一般格式有限元分析的一般格式（固體力學(xué)問題）（固體力學(xué)問題）解此方程組即可得到各結(jié)點(diǎn)的位移解此方程組即

25、可得到各結(jié)點(diǎn)的位移 W Y 3:43 2022-3-524/38X.Z.Lin桿的截面沿桿的截面沿 y 軸的變化可以描述為：軸的變化可以描述為： 計(jì)算得：計(jì)算得：1()2iieqAA Ekl由等價(jià)單元?jiǎng)偠龋▌偠认禂?shù)）公式：由等價(jià)單元?jiǎng)偠龋▌偠认禂?shù)）公式：計(jì)算得：計(jì)算得：各單元?jiǎng)偠染仃嚍椋焊鲉卧獎(jiǎng)偠染仃嚍椋篧 Y 3:43 2022-3-525/38X.Z.Lin解此矩陣方程（線性方程組），即可得到各結(jié)點(diǎn)的位移值：解此矩陣方程（線性方程組），即可得到各結(jié)點(diǎn)的位移值：將單元?jiǎng)偠染仃嚱M合，得到總體剛度矩陣：將單元?jiǎng)偠染仃嚱M合，得到總體剛度矩陣： 應(yīng)用邊界條件并施加載荷，得到：應(yīng)用邊界條件并施加載荷，

26、得到： W Y 3:43 2022-3-526/38X.Z.Lin因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)的位移已知、上式也可直接從應(yīng)力因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)的位移已知、上式也可直接從應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得到：應(yīng)變關(guān)系得到： F 對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行后處理，我們可以得到其他一些信息。對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行后處理，我們可以得到其他一些信息。如：每個(gè)單元中的平均正應(yīng)力。這些值可以從下式得到：如：每個(gè)單元中的平均正應(yīng)力。這些值可以從下式得到： 對(duì)本例，可計(jì)算出各單元的平均正應(yīng)力值如下：對(duì)本例，可計(jì)算出各單元的平均正應(yīng)力值如下： W Y 3:43 2022-3-527/38X.Z.Lin 有限元法程序總體可分為三個(gè)組成部分：有限元法程序總體可分為三個(gè)組成部分：前處理部

27、分、有前處理部分、有限元分析本體程限元分析本體程 序、后處理部分序、后處理部分。 有限元法的實(shí)現(xiàn)必須通過計(jì)算機(jī)，全部有限元法的計(jì)算原有限元法的實(shí)現(xiàn)必須通過計(jì)算機(jī)，全部有限元法的計(jì)算原理和數(shù)值方法集中反映在有限元法的程序中，因此有限元法的理和數(shù)值方法集中反映在有限元法的程序中，因此有限元法的程序極為重要。它應(yīng)具有程序極為重要。它應(yīng)具有分析準(zhǔn)確可靠、計(jì)算效率高、使用方分析準(zhǔn)確可靠、計(jì)算效率高、使用方便、易于擴(kuò)充和修改便、易于擴(kuò)充和修改等特點(diǎn)：等特點(diǎn)：（1）特點(diǎn)）特點(diǎn)（2）結(jié)構(gòu)）結(jié)構(gòu)W Y 3:43 2022-3-528/38X.Z.Lin 對(duì)于一個(gè)實(shí)際的工程問題，離散模型的數(shù)據(jù)文件十分龐大，靠人對(duì)

28、于一個(gè)實(shí)際的工程問題，離散模型的數(shù)據(jù)文件十分龐大，靠人工處理和生成一般是不可能的。為了解決這一問題，有限元分析程序必工處理和生成一般是不可能的。為了解決這一問題，有限元分析程序必須有前處理程序。須有前處理程序。前處理程序前處理程序是根據(jù)使用者提供的對(duì)計(jì)算模型外形及網(wǎng)是根據(jù)使用者提供的對(duì)計(jì)算模型外形及網(wǎng)格要求的簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)描述，自動(dòng)或半自動(dòng)地生成離散模型的數(shù)據(jù)文件，并格要求的簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)描述，自動(dòng)或半自動(dòng)地生成離散模型的數(shù)據(jù)文件，并要生成網(wǎng)格圖供使用者檢查和修改。這部分程序的功能很大程度上決定要生成網(wǎng)格圖供使用者檢查和修改。這部分程序的功能很大程度上決定了程序使用的方便性。了程序使用的方便性。 有限元分

29、析本體程序有限元分析本體程序是有限元分析程序的核心，它根據(jù)離散模型是有限元分析程序的核心，它根據(jù)離散模型的數(shù)據(jù)文件進(jìn)行有限元分析；有限元分析的原理和采用的數(shù)值方法集的數(shù)據(jù)文件進(jìn)行有限元分析；有限元分析的原理和采用的數(shù)值方法集中于此，因此它是有限元分忻準(zhǔn)確可靠的關(guān)鍵。選用計(jì)算方法的合理中于此，因此它是有限元分忻準(zhǔn)確可靠的關(guān)鍵。選用計(jì)算方法的合理與否決定了有限元分析程序的計(jì)算效率和結(jié)果的精度及可靠性與否決定了有限元分析程序的計(jì)算效率和結(jié)果的精度及可靠性 。 W Y 3:43 2022-3-529/38X.Z.Lin 同樣，有限元分析程序的計(jì)算結(jié)果也是針對(duì)離散模型得到的。例同樣，有限元分析程序的計(jì)算

30、結(jié)果也是針對(duì)離散模型得到的。例如靜力平衡問題可以得到離散模型各結(jié)點(diǎn)的位移、各單元的應(yīng)力等，如靜力平衡問題可以得到離散模型各結(jié)點(diǎn)的位移、各單元的應(yīng)力等，輸出的文本文件量很輸出的文本文件量很 大，但卻不易得到所分析對(duì)象的全貌，例如位移大，但卻不易得到所分析對(duì)象的全貌，例如位移哪里最大、應(yīng)力集中發(fā)生在什么部位以及變化趨勢(shì)如何等。因此一個(gè)哪里最大、應(yīng)力集中發(fā)生在什么部位以及變化趨勢(shì)如何等。因此一個(gè)使用方便的有限元分析程序木不僅要有可供選擇輸出內(nèi)容的文本文件，使用方便的有限元分析程序木不僅要有可供選擇輸出內(nèi)容的文本文件，還需有結(jié)果的圖形顯示，如位移圖、等應(yīng)力線圖或截面應(yīng)力分布圖等；還需有結(jié)果的圖形顯示，

31、如位移圖、等應(yīng)力線圖或截面應(yīng)力分布圖等；這部分程序稱這部分程序稱后處理程序后處理程序。與前處理程序相似，后處理程序?qū)Τ绦蚴?。與前處理程序相似，后處理程序?qū)Τ绦蚴褂玫姆奖阈杂信e足輕重的作用。用的方便性有舉足輕重的作用。 有限元分析程序的三個(gè)組成部分對(duì)于一個(gè)較好的用于實(shí)際問題分有限元分析程序的三個(gè)組成部分對(duì)于一個(gè)較好的用于實(shí)際問題分析的有限元程序來說，前后處理的析的有限元程序來說，前后處理的程序量程序量常常超出有限元分析的本體常常超出有限元分析的本體程序，前后處理功能越強(qiáng)，程序的使用就越方便。有限元分析程序中程序，前后處理功能越強(qiáng)，程序的使用就越方便。有限元分析程序中前后處理程序一般可占到全部程序

32、條數(shù)的前后處理程序一般可占到全部程序條數(shù)的 2/3 4/5。有的近期發(fā)展的。有的近期發(fā)展的通用程序更注重程序的通用程序更注重程序的“包裝包裝”和使用功能。有限元分析本體程序以和使用功能。有限元分析本體程序以外部分的比例更高。外部分的比例更高。 W Y 3:43 2022-3-530/38X.Z.Lin ANSYS（Analysis System）世界著名力學(xué)分析專家、匹茲堡大學(xué)J.Swansan教授創(chuàng)立的SASI（Swansan Analysis System Inc.）的大型通用有限元分析軟件世界最權(quán)威的有限元產(chǎn)品。 SAP （Structural Analysis Program）美國加州

33、大學(xué)伯克利分校M.J.Wilson教授的線性靜、動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)分析程序。 NASTRAN（NASA Structural Analysis ）美國國家航空宇航局（NASA）的結(jié)構(gòu)分析程序。 ADINA（A Finite Element Program for Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis ）美國麻省理工學(xué)院機(jī)械工程系的自動(dòng)動(dòng)力增量非線性分析有限元程序。 IDEAS（Integrate Design Engineering Analysis System）美同SDRC公司的機(jī)械通用軟件，集成化設(shè)計(jì)工程分析系統(tǒng)。集設(shè)計(jì)、分析、數(shù)控加工

34、、塑料模具設(shè)計(jì)和測(cè)試數(shù)據(jù)為一體的工作站用軟件。 AGOBJ美國AGOBJ 公司在SAP5和ADINA 有限元分析程序的基礎(chǔ)上針對(duì)微機(jī)平臺(tái)開發(fā)的通用有限元分忻系統(tǒng)。W Y 3:43 2022-3-531/38X.Z.Lin ANSYS軟件是軟件是20世紀(jì)世紀(jì)70年代由美國年代由美國ANSYS公司開發(fā)的一套功能公司開發(fā)的一套功能強(qiáng)大的有限元通用分析程序，具有強(qiáng)大的前處理、求解和后處理能強(qiáng)大的有限元通用分析程序，具有強(qiáng)大的前處理、求解和后處理能力，目前廣泛應(yīng)用于航空、航天、汽車、力，目前廣泛應(yīng)用于航空、航天、汽車、 船舶、土木、電子、機(jī)械船舶、土木、電子、機(jī)械等科學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域。等科學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域。ANSY

35、S把把CAD、CAE、CAM技術(shù)集成于一身，技術(shù)集成于一身，可以滿足用戶從設(shè)計(jì)、計(jì)算、制造全過程的使用要求。程序的開放可以滿足用戶從設(shè)計(jì)、計(jì)算、制造全過程的使用要求。程序的開放性是衡量其能力的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，性是衡量其能力的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)， ANSYS自帶的自帶的APDL語言可以直語言可以直接以接以ANSYS程序?yàn)槠脚_(tái)，為用戶提供二次開發(fā)，其語法簡(jiǎn)單，易學(xué)程序?yàn)槠脚_(tái)，為用戶提供二次開發(fā)，其語法簡(jiǎn)單，易學(xué)易用，是用戶進(jìn)行深入研究的強(qiáng)大輔助工具。易用，是用戶進(jìn)行深入研究的強(qiáng)大輔助工具。 ANSYS程序可以采用程序可以采用APDL命令流輸入建模分析，也可以采用命令流輸入建模分析，也可以采用GUI交互式輸

36、入方式交互式輸入方式 建模。前一種方式最適合科研人員對(duì)同一個(gè)產(chǎn)建模。前一種方式最適合科研人員對(duì)同一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行參數(shù)分析，修改方便，耗用計(jì)算機(jī)資源少，而且高級(jí)使用者品進(jìn)行參數(shù)分析，修改方便，耗用計(jì)算機(jī)資源少，而且高級(jí)使用者還可以結(jié)合行業(yè)的特殊問題進(jìn)行擴(kuò)展開發(fā)，滿足用戶的特殊需求。還可以結(jié)合行業(yè)的特殊問題進(jìn)行擴(kuò)展開發(fā)，滿足用戶的特殊需求。 后一種方式操作簡(jiǎn)單、直觀，適合于初學(xué)者；同時(shí)，對(duì)已確定的模后一種方式操作簡(jiǎn)單、直觀，適合于初學(xué)者；同時(shí)，對(duì)已確定的模型進(jìn)行分析快捷高效。型進(jìn)行分析快捷高效。W Y 3:43 2022-3-532/38X.Z.Lin1結(jié)構(gòu)靜力分析結(jié)構(gòu)靜力分析 用來求解穩(wěn)態(tài)外載引起的

37、系統(tǒng)或部件的位移、應(yīng)變、應(yīng)力和用來求解穩(wěn)態(tài)外載引起的系統(tǒng)或部件的位移、應(yīng)變、應(yīng)力和力。靜力分析很適合求解慣性和阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的影響并不顯著的問力。靜力分析很適合求解慣性和阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的影響并不顯著的問題，如確定結(jié)構(gòu)中應(yīng)力集中現(xiàn)象。題，如確定結(jié)構(gòu)中應(yīng)力集中現(xiàn)象。ANSYS程序中的靜力分析不僅程序中的靜力分析不僅可以進(jìn)行線性分析，而且可以進(jìn)行非線性分析，如塑性、蠕變、可以進(jìn)行線性分析，而且可以進(jìn)行非線性分析，如塑性、蠕變、膨脹、大膨脹、大 變形、大應(yīng)變及接觸分析。變形、大應(yīng)變及接觸分析。2結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析用來求解隨時(shí)間變化的載荷對(duì)結(jié)構(gòu)或部件的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析用來求解隨時(shí)間變化的

38、載荷對(duì)結(jié)構(gòu)或部件的影響。與靜力分析不同，影響。與靜力分析不同， 動(dòng)力學(xué)分析要考慮隨時(shí)間變化的力載荷動(dòng)力學(xué)分析要考慮隨時(shí)間變化的力載荷以及對(duì)阻尼和慣性的影響。以及對(duì)阻尼和慣性的影響。ANSYS可進(jìn)行的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析類型可進(jìn)行的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析類型包括：瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析、模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析及隨機(jī)振動(dòng)響包括：瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析、模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析及隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析。應(yīng)分析。 W Y 3:43 2022-3-533/38X.Z.Lin3結(jié)構(gòu)非線性分析結(jié)構(gòu)非線性分析 結(jié)構(gòu)非線性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)或部件的響應(yīng)隨外載荷不成比例的變化。結(jié)構(gòu)非線性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)或部件的響應(yīng)隨外載荷不成比例的變化。ANSYS可求解靜態(tài)和瞬態(tài)非線

39、性間題，包括材料非線性、幾何非可求解靜態(tài)和瞬態(tài)非線性間題，包括材料非線性、幾何非線性、單元非線性線性、單元非線性3種。種。 （1）幾何非線性）幾何非線性 ：主要包括大變形、大應(yīng)變、應(yīng)力強(qiáng)化、旋轉(zhuǎn)軟主要包括大變形、大應(yīng)變、應(yīng)力強(qiáng)化、旋轉(zhuǎn)軟化、非線性屈曲等問題的分析化、非線性屈曲等問題的分析（2）材料非線性：）材料非線性：主要包括彈塑性（雙線性隨動(dòng)硬化、雙線性各主要包括彈塑性（雙線性隨動(dòng)硬化、雙線性各向同性硬化、多線性隨動(dòng)硬化、多線性各向同性硬化、非線性隨動(dòng)向同性硬化、多線性隨動(dòng)硬化、多線性各向同性硬化、非線性隨動(dòng)硬化、非線性各向同性硬化、非均勻各向異性、速率相關(guān)塑性、硬化、非線性各向同性硬化、非

40、均勻各向異性、速率相關(guān)塑性、 復(fù)合彈塑性等）、非線性彈性（分段線性彈性）、超彈性（各種橡復(fù)合彈塑性等）、非線性彈性（分段線性彈性）、超彈性（各種橡膠、膠、Ni-Ti合金等）、合金等）、 粘彈性各種玻璃、塑料等）、粘塑性（高粘彈性各種玻璃、塑料等）、粘塑性（高溫金屬等）、蠕變、膨脹（核材料、巖土和混凝土材料等）。溫金屬等）、蠕變、膨脹（核材料、巖土和混凝土材料等）。（3）單元非線性）單元非線性 ：W Y 3:43 2022-3-534/38X.Z.Lin4運(yùn)動(dòng)學(xué)分析運(yùn)動(dòng)學(xué)分析 ANSYS 可以分析大型三維柔體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)的積累起主要影響可以分析大型三維柔體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)的積累起主要影響作用時(shí)，可使

41、用這些功能分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)在空間的運(yùn)動(dòng)特性，并確定結(jié)作用時(shí)，可使用這些功能分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)在空間的運(yùn)動(dòng)特性，并確定結(jié)構(gòu)中由此產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和變形。構(gòu)中由此產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和變形。 6電磁場(chǎng)分析電磁場(chǎng)分析 主要用于電磁場(chǎng)問題的分析，如電感、電容、磁通量密度、渦流、主要用于電磁場(chǎng)問題的分析，如電感、電容、磁通量密度、渦流、電場(chǎng)分布、磁力線分布、力、運(yùn)動(dòng)效應(yīng)、電路和能量損失等，還可以電場(chǎng)分布、磁力線分布、力、運(yùn)動(dòng)效應(yīng)、電路和能量損失等，還可以應(yīng)用于應(yīng)用于 調(diào)節(jié)器、發(fā)電機(jī)、磁體、電解槽及無損檢測(cè)裝置等的設(shè)計(jì)和分調(diào)節(jié)器、發(fā)電機(jī)、磁體、電解槽及無損檢測(cè)裝置等的設(shè)計(jì)和分析領(lǐng)域析領(lǐng)域 。 5熱分析熱分析 ANSYS

42、軟件可處理熱傳遞的軟件可處理熱傳遞的3種基本類型：傳質(zhì)、對(duì)流和輻射，對(duì)種基本類型：傳質(zhì)、對(duì)流和輻射，對(duì)熱傳遞的熱傳遞的3種類型均可進(jìn)行穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)、線性和非線性分析。種類型均可進(jìn)行穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)、線性和非線性分析。ANSYS熱分析還具有可以模擬材料固化和熔解過程中的相變分析能力，以及熱分析還具有可以模擬材料固化和熔解過程中的相變分析能力，以及模擬熱與結(jié)構(gòu)應(yīng)力之間的熱結(jié)構(gòu)耦合分析能力。模擬熱與結(jié)構(gòu)應(yīng)力之間的熱結(jié)構(gòu)耦合分析能力。 W Y 3:43 2022-3-535/38X.Z.Lin7流體動(dòng)力學(xué)分析流體動(dòng)力學(xué)分析 ANSYS流體單元能進(jìn)行流體動(dòng)力學(xué)分析，分析類型可以為瞬態(tài)或穩(wěn)流體單元能進(jìn)行流體動(dòng)力學(xué)

43、分析，分析類型可以為瞬態(tài)或穩(wěn)態(tài)，分析結(jié)果可以是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力和通過每個(gè)單元的流率。并且可以態(tài)，分析結(jié)果可以是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力和通過每個(gè)單元的流率。并且可以利用后處理功能產(chǎn)生壓力、流率和溫度分布的圖形顯示。另外，還可以利用后處理功能產(chǎn)生壓力、流率和溫度分布的圖形顯示。另外，還可以使用三維表面效應(yīng)單元和熱流管單元模擬結(jié)構(gòu)的流體繞流，并包括對(duì)使用三維表面效應(yīng)單元和熱流管單元模擬結(jié)構(gòu)的流體繞流，并包括對(duì)流換熱效應(yīng)。流換熱效應(yīng)。9壓電分析壓電分析 用于分析二維或二維結(jié)構(gòu)對(duì)用于分析二維或二維結(jié)構(gòu)對(duì)AC(交流交流)、DC(直流直流)或任意隨時(shí)間變化或任意隨時(shí)間變化的電流或機(jī)械裁荷的響應(yīng)。這種分析類型可用于換熱

44、器、振蕩器、諧振的電流或機(jī)械裁荷的響應(yīng)。這種分析類型可用于換熱器、振蕩器、諧振器、麥克風(fēng)等部件及其他電子設(shè)備的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能分析，可進(jìn)行器、麥克風(fēng)等部件及其他電子設(shè)備的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能分析，可進(jìn)行 4 種類種類型的分析：靜態(tài)分析、模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析、瞬態(tài)響應(yīng)分析。型的分析：靜態(tài)分析、模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析、瞬態(tài)響應(yīng)分析。8、聲場(chǎng)分析、聲場(chǎng)分析 軟件的聲學(xué)功能用來研究含流體的介質(zhì)中的聲波傳播，或分析浸在軟件的聲學(xué)功能用來研究含流體的介質(zhì)中的聲波傳播，或分析浸在流體中的固體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。這些功能可用來確定音響話筒的頻率響流體中的固體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。這些功能可用來確定音響話筒的頻率響應(yīng)，研究音樂大廳的聲場(chǎng)強(qiáng)度分布，應(yīng)，研究音樂大廳的聲場(chǎng)強(qiáng)度分布， 或預(yù)測(cè)水對(duì)振動(dòng)船體的阻尼效應(yīng)。或預(yù)測(cè)水對(duì)振動(dòng)船體的阻尼效應(yīng)。W Y 3:43 2022-3-536/38X.Z.Lin1多物理場(chǎng)耦合分析多物理場(chǎng)耦合分析 考慮兩個(gè)或多個(gè)物理場(chǎng)之間的相互作用對(duì)于正確求解很多實(shí)際工程考慮兩個(gè)或多個(gè)物理場(chǎng)