數(shù)列求和方法及鞏固

1、數(shù)列求和的方法1、公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式來(lái)求.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：， 1+3+5+(2n-1)=，等.2、倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.例1、 已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得：

2、所以.小結(jié)：解題時(shí)，認(rèn)真分析對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和.針對(duì)訓(xùn)練3、求值：3、錯(cuò)位相減法：類似于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到，即數(shù)列是一個(gè)“差·比”數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令 則 兩式相減并整理即得例2、（2008年全國(guó)第19題第（2）小題，滿分6分）已知 ，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解： 得小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比；將兩個(gè)等式相減；利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.針對(duì)訓(xùn)練4、求和：4、裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，

3、即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法。適用于類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法：（1），特別地當(dāng)時(shí)，（2），特別地當(dāng)時(shí)例3、數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和解： = 小結(jié)：裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差，且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同.針對(duì)訓(xùn)練5、求數(shù)列的前n項(xiàng)和.5、分組求和法：有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)

4、等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例4、求和：解：小結(jié)：這是求和的常用方法，按照一定規(guī)律將數(shù)列分成等差（比）數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，使問(wèn)題得到順利求解.針對(duì)訓(xùn)練6、求和：基本練習(xí)1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2，則_.2.設(shè)，則_.3. .4. =_5. 數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，前n項(xiàng)和 6 的前n項(xiàng)和為_(kāi)提高練習(xí)1數(shù)列an滿足：a11，且對(duì)任意的m，nN*都有：amnamanmn，則 ( )ABCD2數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列，若其首項(xiàng)滿足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，則數(shù)列前10項(xiàng)的和等于 ( )A100B85C70D553設(shè)m=1×2+2×3+

5、3×4+(n-1)·n，則m等于 ( )A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)4若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1·n，則S17+S3350等于 ( )A.1 B.-1 C.0 D.25設(shè)an為等比數(shù)列,bn為等差數(shù)列，且b1=0,cn=an+bn,若數(shù)列cn是1,1,2,則cn的前10項(xiàng)和為 ( )A.978 B.557 C.467 D.97961002-992+982-972+22-12的值是 ( )A.5000 B.5050 C.10100 D.202007一個(gè)有2001項(xiàng)且各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為 .8若1

6、2+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a= ,b= ,c= .9已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第二、三、四項(xiàng)(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)任意自然數(shù)n均有成立求c1c2c3c2003的值10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,n1.(1)求證數(shù)列an+(-1)n是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4,有基礎(chǔ)練習(xí)答案1、 2、 3、 4、5、 6。提高練習(xí)答案1解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用疊加法得到：，答案：A.2解：an

7、a1n1，bnb1n1a1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3則數(shù)列也是等差數(shù)列，并且前10項(xiàng)和等于：答案：B.3解：因?yàn)?an=n2-n.，則依據(jù)分組集合即得.答案;A.4解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即： Sn=答案：A5解 由題意可得a1=1,設(shè)公比為q,公差為d,則q2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,Sn=978.答案：A6解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B7 解： 設(shè)此數(shù)列an,其中間項(xiàng)為a1001,則S奇=a1+a3+a5+a2001=100

8、1·a1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a1001.答案: 8解： 原式=答案：9解：(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0)解得d2，an2n1，可得bn3n1(2)當(dāng)n1時(shí)，c13；當(dāng)n2時(shí)，由，得cn2·3n1，故故c1c2c3c200332×32×322×320023200310(1)證明 由已知得an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n2),化簡(jiǎn)得 an=2an-1+2(-1)n-1(n2),上式可化為 an+(-1)n=2an-1+(-1)n-1(n2),a1=1,a