微積分在物理學中的應用

1、 微積分在物理學中的應用The application of calculus in physics摘要: 關于“微積分”是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關概念和應用的數(shù)學分支，它是數(shù)學的一個基礎學科，內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數(shù)的運算，是一套關于變化率的理論，它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論，使運算也更加簡便 ?！皯脭?shù)學處理物理問題的能力”是我們必須掌握的一種解決物理問題的方法，“能夠根據(jù)具體問題找出物理量之間的數(shù)學關系，根據(jù)數(shù)學的特點、規(guī)律，進行推導、求解，并根據(jù)結果做出物理判斷、進行物理解釋，得出物理結論”是物理解題

2、中運用的數(shù)學方法，微積分就是其中一種。關鍵詞: 微積分Key words: calculus基金項目：本文為大學生科研項目批準文號xs11035資助項目作者簡介：姓名：李東康（出生年月198211），女，吉林?。粏挝蝗Q：通化師范學院物理學院，職稱：助教；研究方向：光學；劉明娟，通化師范學院物理學院本科學生； 1、微積分1.1定義：設函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個分點a= <<.< < =b把區(qū)間分成個小區(qū)間。在每個小區(qū)間上任取一點，作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積，并做出如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點怎樣取法，只要當區(qū)間的長度趨于零時，和S總趨于確定的極限I，這

3、時我們稱這個極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。 設函數(shù)在某區(qū)間內有定義，及在此區(qū)間內。如果函數(shù)的增量可表示為 （其中是不依賴于的常數(shù)），而是比高階的無窮小，那么稱函數(shù)在點是可微的， 稱作函數(shù)在點相應于自變量增量的微分，記作，即。設函數(shù)在某區(qū)間內有定義，及在此區(qū)間內。通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作，即。于是函數(shù)的微分又可記作。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導數(shù)。因此，導數(shù)也叫做微商。 1.2 幾何意義： 設是曲線上的點在橫坐標上的增量，是曲線在點對應在縱坐標上的增量，是曲線在點的切線對應在縱坐標上的增量很小時，比要小得多(高階無窮小)，因此在點附近，我們可以用切線段來近似代替曲線

4、段。1.3定積分和不定積分： 定積分是微分的逆運算，即知道了函數(shù)的導函數(shù)，反求原函數(shù)。在應用上，定積分作用不僅如此，它被大量應用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的一個函數(shù)的不定積分（亦稱原函數(shù)）指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導函數(shù)恰為前一函數(shù)。其中：一個實變函數(shù)在區(qū)間上的定積分，是一個實數(shù)。它等于該函數(shù)的一個原函數(shù)在的值減去在的值。定積分和不定積分的定義迥然不同，定積分是求圖形的面積，即是求微元元素的累加和，而不定積分則是求其原函數(shù)，它們又為何通稱為積分呢？這要靠牛頓和萊布尼茨的貢獻了，把本來毫不相關的兩個事物緊密的聯(lián)系起來了。2微積分在物理學中的應用:

5、微積分作為數(shù)學的一門分支學科，在物理學中有著非常重要的應用價值。 尤其是在大學物理中，微積分作為一種分析連續(xù)過程累積的方法已經(jīng)成為解決問題的基本方法，本文主要介紹了微積分在物理學中的一些應用。 微積分在大學物理中的應用有很多，它能使復雜的問題簡單化。例如質點運動學，功，粒子運動如速度，加速度，轉動慣量，安培定律，電磁感應定律等。 在應用微積分方法解物理問題時，微元的選取非常關鍵，選的恰當有利于問題的分析和計算，其一要保證在所選取的微元內能近似處理成簡單基本的物理模型，以便于分析物理問題；其二要盡量把微分元選取的大，這樣可使積分運算更加簡單，因為微分和積分互為逆運算，微分微的越細，越精確，但積分

6、越繁瑣，計算工作量較大，所以還要在微分和積分這對矛盾之間協(xié)調處理。微元的選取不唯一，在每一種微元里近似的物理模型是不同的，重積分遠比一元積分麻煩，所以在分析物理問題時，應充分利用對稱性，選取適當?shù)囊辉⒃?，使積分運算簡單；不管選取怎樣的微元，結果是相同的，都是問題的精確解。由此看出，用微積分解題的神奇之處，由于微元無限趨近于零，使得有限范圍內的近似到無限小范圍內的精確，從而完成了問題的精確求解。2.1力學力學是研究物質機械運動規(guī)律的科學，自然界物質有多種層次，從宇觀的宇宙體系、宏觀的天體和常宇宙體系，細觀的顆粒、纖維、晶體，到微觀的分子、原子、基本粒子。通常理解的力學以研究天然的或人工的宏觀對

7、象為主。但由于學科的互相滲透，有時也涉及宇觀或細觀甚至微觀各層次中的對象以及有關的規(guī)律。又稱經(jīng)典力學，是研究通常尺寸的物體在受力下的形變，以及速度遠低于光速的運動過程的一門自然科學。力學是物理學、天文學和許多工程學的基礎，機械、建筑、航天器和船艦等的合理設計都必須以經(jīng)典力學為基本依據(jù)。 力是物質間的一種相互作用，機械運動狀態(tài)的變化是由這種相互作用引起的。靜止和運動狀態(tài)不變，則意味著各作用力在某種意義上的平衡。因此，力學可以說是力和(機械)運動的科學。理論力學是研究物體的機械運動規(guī)律及其應用的科學，理論力學是力學的學科基礎。它可分為靜力學、運動學和動力學三部分：靜力學：研究物體在平衡狀態(tài)下的受力

8、規(guī)律；運動學：研究物體機械運動的描述，如速度、切向加速度、法向加速度等等，但不涉及受力；動力學：討論質點或者質點系受力和運動狀態(tài)的變化之間的關系。16世紀到17世紀間，理論力學開始發(fā)展為一門獨立的、系統(tǒng)的學科。伽利略通過對拋體和落體的研究，提出慣性定律并用以解釋地面上的物體和天體的運動。17世紀末牛頓提出力學運動的三條基本定律，使經(jīng)典力學形成系統(tǒng)的理論。根據(jù)牛頓三定律和萬有引力定律成功地解釋了地球上的落體運動規(guī)律和行星的運動軌道，此后兩個世紀中在很多科學家的研究與推廣下，終于成為一門具有完善理論的經(jīng)典力學。微積分在力學中應用的實例：例1.如圖 1 所示，計算半徑為，質量為，密度均勻圓盤繞過圓心

9、且與盤面垂直的轉軸的轉動慣量. Rm圖1我們用微分的方法來求解:如圖1 所示，把圓盤分成許多無限薄的圓環(huán)，圓盤的密度為 ，圓盤的厚度為，則半徑為，寬為的薄圓環(huán)的質量為： （11）薄圓環(huán)對軸的轉動慣量為: （12）然后沿半徑積分得: （13）其中為圓盤體積，為圓盤質量，故圓盤轉動慣量為例2.計算半徑為，質量為的均勻球體繞任意直徑轉動的轉動慣量.圖2解：如圖2所示,任選一體積元，則該體積元可近似為一質點，它到軸的距離為，繞軸的轉動慣量為: （21）所有微分元對軸的轉動慣量的和即積分值: （22）各質元質量與其到轉動軸線垂直距離平方乘積之和，叫做剛體對稱軸的轉動慣量，用來表示，即它決定于剛體本身的質

10、量分布以及轉動軸線的位置。剛體的轉動慣量應用實例：例如在汽車中，左邊轉動慣性大者稱飛輪，與發(fā)動機相連，右邊輪則與傳動裝置和驅動輪相連，待飛輪獲得轉速后，再與右方相連，利用飛輪大的慣性帶動傳動裝置和驅動輪運動起來。由此可以看出轉動慣量的重要性。剛體轉動慣量在剛體力學中有著廣泛的應用，若物體的密度均勻形狀規(guī)則，轉動慣量可以分為圓柱體對柱體軸線的，細圓環(huán)對任意切線，實球體對任意直徑的等。例1和例2都應用到了微積分解決問題即求剛體的轉動慣量的典型例題，（11）（21）是對質量的微分，（12）是對薄圓環(huán)的轉動慣量的微分，（13）（22）是對轉動慣量的積分， 用微積分去解決就比較容易，把各個復雜的軌跡分成

11、盡量小的幾個部分，例如軌跡可以把它分割成無限個小的可以看成直線的一段，算出一段的距離，然后在積在一起，這樣就比較簡單，使問題更加的容易理解和算出。 2.2電磁學電磁學是研究電、磁和電磁的相互作用現(xiàn)象，及其規(guī)律和應用的物理學分支學科。根據(jù)近代物理學的觀點，磁的現(xiàn)象是由運動電荷所產生的，因而在電學的范圍內必然不同程度地包含磁學的內容。所以，電磁學和電學的內容很難截然劃分，而“電學”有時也就作為“電磁學”的簡稱.早期，由于磁現(xiàn)象曾被認為是與電現(xiàn)象獨立無關的，同時也由于磁學本身的發(fā)展和應用，如近代磁性材料和磁學技術的發(fā)展，新的磁效應和磁現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)和應用等等，使得磁學的內容不斷擴大，所以磁學在實際上也就

12、作為一門和電學相平行的學科來研究了。電磁學從原來互相獨立的兩門科學(電學、磁學)發(fā)展成為物理學中一個完整的分支學科，主要是基于兩個重要的實驗發(fā)現(xiàn)，即電流的磁效應和變化的磁場的電效應。這兩個實驗現(xiàn)象，加上麥克斯韋關于變化電場產生磁場的假設，奠定了電磁學的整個理論體系，發(fā)展了對現(xiàn)代文明起重大影響的電工和電子技術。 麥克斯韋電磁理論的重大意義，不僅在于這個理論支配著一切宏觀電磁現(xiàn)象(包括靜電、穩(wěn)恒磁場、電磁感應、電路、電磁波等等)，而且在于它將光學現(xiàn)象統(tǒng)一在這個理論框架之內，深刻地影響著人們認識物質世界的思想。電子的發(fā)現(xiàn)，使電磁學和原子與物質結構的理論結合了起來，洛倫茲的電子論把物質的宏觀電磁性質歸

13、結為原子中電子的效應，統(tǒng)一地解釋了電、磁、光現(xiàn)象。和電磁學密切相關的是經(jīng)典電動力學，兩者在內容上并沒有原則的區(qū)別。一般說來，電磁學偏重于電磁現(xiàn)象的實驗研究，從廣泛的電磁現(xiàn)象研究中歸納出電磁學的基本規(guī)律；經(jīng)典電動力學則偏重于理論方面，它以麥克斯韋方程組和洛倫茲力為基礎，研究電磁場分布，電磁波的激發(fā)、輻射和傳播，以及帶電粒子與電磁場的相互作用等電磁問題，也可以說，廣義的電磁學包含了經(jīng)典電動力學。微積分在電磁學中的應用實例：例3.同軸電纜的內導體是半徑為的金屬圓柱，外道體是內外半徑分別為和的金屬圓桶，兩導體相對磁導率為，兩者之間充滿相對磁導率為的不導電的均勻介質。電纜工作時，兩導體的電流均為I（方向

14、相反），電流在每個導體的橫截面均勻分布。求各區(qū)的B。解：根據(jù)有介質時的安培環(huán)路定理分別在區(qū)內求解 (31) (32) (33)在區(qū)域，由有介質的安培環(huán)路定理得：H=0 B=0 (34)這是一個計算磁感應強度的典型例題，在空間的傳導電流分布及磁介質性質已知時，運用了安培環(huán)路定理，在恒定磁場理論原則上應能求的中安培環(huán)路定理是非常重要的一個定理，它說明了磁場不是勢場，不是勢場的矢量場稱為渦旋場。所以磁場B是渦旋場。在靜磁學中，當電荷分布有適當對稱性時單從安培環(huán)路定理就可求得恒定磁場。它對任意恒定磁場中的任意閉曲線都是成立的.當空間的傳導電流分布及磁介質的性質已知時，原則上應能求得空間各點的磁感應強度B。但是比較困難，運算的方式比較復雜。題中的電流分布電流在每個導體的橫截面均勻分布。滿足條件，如題中的（11）等，先把閉合曲線運用微分分解成無限小的，可以當成直線的小段，在運用有介質的安培環(huán)路定理去求磁場強度H，進而求出磁感應強度B。3.結束語由此可見，微積分不僅在數(shù)學中有重要的作用而且在物理學中也有著十分的廣泛的作用。在使用微積分解決問題時應注意由微積分導出的許多物理概念、物理定律，分析每個物理量的意義，讓學生把復雜的物理問題化整為零，然后再積零為整的這種方法學會，應用到實際問題中去，