第五章彈性力學的求解方法和一般性原理

1、第五章 彈性力學的求解方法和一般性原理一.內容介紹    通過彈性力學課程學習，我們已經(jīng)推導和確定了彈性力學的基本方程和常用公式。本章的任務是對彈性力學所涉及的基本方程作一總結，并且討論具體地求解彈性力學問題的方法。彈性力學問題的未知量有位移、應力和應變分量，共計15個，基本方程有平衡微分方程、幾何方程和本構方程，也是15個。面對這樣一個龐大的方程組，直接求解顯然是困難的，必須討論問題的求解方法。根據(jù)這一要求，本章的主要任務有三個：     一是綜合彈性力學的基本方程，并按邊界條件的性質將問題分類；   

2、 二是根據(jù)問題性質，確定基本未知量，建立通過基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。彈性力學問題的基本解法主要是位移解法、應力解法和混合解法等。應該注意的是對于應力解法，基本方程包括變形協(xié)調方程。    三是介紹涉及彈性力學求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原理、疊加原理和圣維南原理等，這些原理將為今后的彈性力學問題解建立基礎。     如果你在學習本章內容時有困難，請及時查閱和復習前三章相關內容，以保證今后課程的學習。 二. 重點1.彈性力學基本方程與邊界條件分類；2.位移解法與位移表示的平衡微分方程；3. 應力解法與應力表

3、示的變形協(xié)調方程；4. 混合解法；5. 逆解法和半逆解法；6. 解的唯一性原理、疊加原理和圣維南原理知識點彈性力學基本方程 邊界條件 位移表示的平衡微分方程 應力解法體力為常量時的變形協(xié)調方程 物理量的性質 逆解法和半逆解法解的迭加原理 彈性力學基本求解方法 位移解法 位移邊界條件變形協(xié)調方程 混合解法 應變能定理 解的唯一性原理 圣維南原理§5.1 彈性力學的基本方程及其邊值問題學習思路:    通過應力狀態(tài)、應變狀態(tài)和本構關系的討論，已經(jīng)建立了一系列的彈性力學基本方程和邊界條件。本節(jié)的主要任務是將基本方程和邊界條件作綜合總結，并且對求解方法作初步介紹

4、。    彈性力學問題具有15個基本未知量，基本方程也是15個，因此問題求解歸結為在給定的邊界條件下求解偏微分方程。    由于基本方程與15個未知量的內在聯(lián)系，例如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應變分量，然后通過物理方程可以得到應力分量；反之，如果已知應力分量，也可通過物理方程得到應變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過這時的應變分量必須滿足一組補充方程，即變形協(xié)調方程。基于上述的理由，為簡化求解的難度，可以選取部分未知量作為基本未知量求解。    根據(jù)基本未知量，彈性力學問題可以分為應力解法

5、、位移解法和混合解法。    上述三種求解方法對應于偏微分方程的三種邊值問題。學習要點：    1. 彈性力學基本方程；    2. 本構方程；    3. 邊界條件；    4. 彈性力學邊值問題；首先將彈性力學基本方程綜合如下：    1. 平衡微分方程         用張量形式描述     

6、      2. 幾何方程           用張量形式描述                變形協(xié)調方程 3.本構方程-廣義胡克定律        用應力表示的本構方程    用應變表示的本構方程  4邊界條件：  &

7、#160;     如果物體表面的面力Fsx，F(xiàn)sy，F(xiàn)sz為已知，則邊界條件應為： 稱為面力邊界條件，用張量符號表示為     如果物體表面的位移已知，則邊界條件應為稱為位移邊界條件。除了面力邊界條件和位移邊界條件，還有混合邊界條件。    綜上所述，彈性力學的基本未知量為三個位移分量，六個應力分量和六個應變分量，共計十五個未知量。基本方程為三個平衡微分方程，六個幾何方程和六個物理方程，也是十五個基本方程。    這里沒有考慮變形協(xié)調方程，原因是位移已經(jīng)作為基本未知量。對于

8、任意的單值連續(xù)的位移函數(shù)，如果設其有三階的連續(xù)導數(shù)，則變形協(xié)調方程僅僅是幾何方程微分的結果，自然地滿足，所以位移作為基本未知量時，不需要考慮變形協(xié)調方程。要使基本方程有確定的解，還要有對應的面力或位移邊界條件。  彈性力學的任務就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。當然，具體求解彈性力學問題時，并不需要同時求解十五個基本未知量，可以而且必須做出必要的簡化。根據(jù)幾何方程和本構方程可見，位移、應力和應變分量之間不是相互獨立的。    假如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應變分量，然后通過物理方程可以得到應力分量。反之，如果已知應力分量，

9、也可通過物理方程得到應變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過這時的應變分量必須滿足一組補充方程，即變形協(xié)調方程。     基于上述的理由，為簡化求解的難度，選取部分未知量作為基本未知量。        若以位移函數(shù)作為基本未知量求解，稱為位移解法；        若以應力函數(shù)作為基本未知量，稱為應力解法；        若以部分位移分量和部分應力分量作為基本未知量，稱為混合解法。&

10、#160;       在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題， 數(shù)學上稱為偏微分方程的邊值問題。    按照不同的邊界條件，彈性力學有三類邊值問題。        第一類邊值問題： 已知彈性體內的體力Fbx，F(xiàn)by，F(xiàn)bz和其表面的面力Fsx，F(xiàn)sy，F(xiàn)sz，求平衡狀態(tài)的彈性體內各點的應力分量和位移分量，這時的邊界條件為面力邊界條件。        第二類邊值問題：已知彈性體內的體力分量Fb

11、x，F(xiàn)by，F(xiàn)bz以及表面的位移分量， 求平衡狀態(tài)的彈性體內各點的應力分量和位移分量， 這時的邊界條件為位移邊界條件。        第三類邊值問題：已知彈性體內的體力分量Fbx，F(xiàn)by，F(xiàn)bz，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡狀態(tài)的彈性體內各點的應力分量和位移分量。這時的邊界條件在面力已知的部分，用面力邊界條件，位移已知的部分用位移邊界條件，稱為混合邊值問題。    以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實際工程問題。若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問題的解是唯一的。§5.2 位

12、移解法位移表示的平衡微分方程學習思路:    以位移函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學問題的方法稱為位移法。    位移解法的基本方程是位移表示的平衡微分方程。位移分量求解后，則可以通過幾何方程和物理方程求出相應的應變分量和應力分量。    如果問題的邊界條件為位移邊界條件，邊界條件描述比較簡單。如果問題為面力邊界條件，由于邊界條件是通過位移函數(shù)的導數(shù)描述的，因此應用困難。    總之若以位移為基本未知函數(shù)求解時，歸結為在給定的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。&

13、#160;  學習要點：1. 位移表示的應力分量； 2. 位移表示的平衡微分方程； 3. 位移邊界條件。位移解法是以位移函數(shù)作為基本未知函數(shù)求解的，所以需要通過幾何方程將位移函數(shù)表達為應變分量，再通過物理方程將其表達為應力分量，代入平衡微分方程即可得到位移解法的基本方程。        首先，根據(jù)物理方程和幾何方程，可以得到由位移分量表達的應力分量，即其中 將上述位移表示的應力分量代入平衡微分方程，整理后可得 這里是拉普拉斯運算符號，即     上述方程是以位移表示的平衡微分方程，稱為

14、拉梅（Lamé）方程，它可以表示為張量形式 或表達為矢量形式 上式中  為拉普拉斯算符矢量。對于邊界條件， 如果物體表面的位移已知，則直接由位移形式給定，即使用位移邊界條件。     如果給定的邊界條件是物體表面的面力， 則面力邊界條件式需用位移分量表示， 將應力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力邊界條件： 或表達為張量形式     顯然，如果給定的邊界條件是面力邊界條件，那么位移解法的邊界條件表達式十分復雜，因此求解的難度將是比較大的。      

15、60; 總之，如果以位移函數(shù)作為基本未知函數(shù)求解彈性力學問題，歸結為在給定的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，則可通過幾何方程和物理方程求出相應的應變分量和應力分量。§5.3 應力解法應力表示的應變協(xié)調方程學習思路:    如果選用應力分量或者應力函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學問題稱為應力解法。    應力解法的基本方程不僅有平衡微分方程，而且有變形協(xié)調方程。因為僅僅滿足平衡微分方程的應力分量并不一定是真實應力，這組應力分量求出的應變分量代入幾何方程，將可能得到一組矛盾方程，這就不可能求出單值

16、連續(xù)的位移分量。    由于變形協(xié)調方程是應變表示的，在應力解法中，需要轉化為基本未知量應力分量表示。    利用平衡微分方程的求導形式簡化變形協(xié)調方程，可以得到應力分量表示的變形協(xié)調方程。    總之，在以應力函數(shù)作為基本未知量求解時，歸結為在給定的邊界條件下，求解平衡微分方程和應力表達的變形協(xié)調方程所組成的偏微分方程。學習要點：    1. 應力解法的基本方程；    2. 變形協(xié)調方程的簡化；    3. 應力

17、分量表達的變形協(xié)調方程；    4. 體力為常量時的變形協(xié)調方程。以應力作為基本未知函數(shù)求解彈性力學問題時，應力分量必須滿足平衡微分方程和面力邊界條件。    但是僅此還不夠，僅僅滿足上述條件的應力分量并不是真正的應力。因為這組應力分量求出的應變分量代入幾何方程，將可能得到一組矛盾方程，不可能求出單值連續(xù)的位移分量。要使這組方程不矛盾，則要求應力分量不僅滿足平衡微分方程和面力邊界條件，而且應力分量對應的應變分量必須滿足變形協(xié)調方程。        這個問題也可以從物理上解釋，

18、應力分量滿足平衡微分方程和面力邊界條件，只能保證物體的平衡，但是不能保證物體的連續(xù)。只有這組應力分量求出的應變分量滿足變形協(xié)調方程時，才能保證變形后的物體是連續(xù)的。    當位移分量作為基本未知函數(shù)求解時，變形協(xié)調方程是自然滿足的。如果位移表示基本未知量，只有應力作為基本未知函數(shù)求解時，變形協(xié)調方程作為一組補充方程是必須的。        因此，對于應力解法，應力分量必須滿足平衡微分方程和變形協(xié)調方程。        由于變形協(xié)調方程是由應變分量

19、表達的，在應力解法中，需要將其轉換為由應力分量表達。    將物理方程改寫為其中 將上式代入變形協(xié)調方程的第一，四兩式，可得 輪換x，y，z可得其余四個方程。由此可得應力表達的變形協(xié)調方程。為了使問題進一步簡化，就是使上式有更簡單的形式，利用平衡微分方程再次對變形協(xié)調方程作進一步的簡化。    將平衡微分方程的第一和第二兩式分別對x，y求偏導數(shù)后再相加，則 將上式代入應力分量表示的變形協(xié)調方程第一式，并且注意到， 可得    輪換x，y，z以后，可得另外兩個類似的公式。    

20、; 將輪換后得到的三個公式相加，可得 將上式回代到簡化方程，可得     輪換 x，y，z以后，可得另外兩個類似的公式。下面我們對應力分量表示的變形協(xié)調方程的第二式作簡化。     首先對平衡微分方程的第二和第三兩式分別對z，y求偏導數(shù)，然后相加可以得到 將上式與變形協(xié)調方程的第二式相加后并整理，可得 上式為簡化后的方程，輪換x，y，z以后，可得另外兩個類似的公式。    綜上所述，我們一共得到以下六個關系式：     上述方程即為應力分量表達的變形協(xié)調方程，通常稱為貝爾特拉米-米切爾方程。如果彈性體體力為常量，則應力分量表達的變形協(xié)調方程可以簡化為     上述方程為應力分量表達的變形協(xié)調方程，通常簡稱為應力協(xié)調方程。但是應該注意：應力是不需要協(xié)調的，其實質仍為應變