基于WDFT的頻率偏移估計(jì)

1、基于WDFT的頻率偏移估計(jì)摘要：WDFT提供了在不增加采樣數(shù)目N的情況下，對任意選定的頻譜區(qū)域增加頻譜精度?？梢詫⒋幚硇盘柕闹攸c(diǎn)頻段的頻譜精度大幅提高，又能保持信號非重點(diǎn)頻段的頻譜精度的基本要求。該文重點(diǎn)研究了利用WDFT算法來估計(jì)高頻載波信號的一個(gè)比較小的頻率偏移。在估計(jì)精度和計(jì)數(shù)復(fù)雜程度上,與傳統(tǒng)的DFT和NDFT進(jìn)行了比較，突出了WDFT的優(yōu)越性，并用數(shù)例充分說明了這個(gè)比較。 關(guān)鍵詞：DFT; NDFT; WDFT; Computational complexity Estimation of frequency offset using warped discrete fourier

2、 transformAbstract: WDFT provided without increasing the number of samples in the case of N, for any selected frequency spectrum to increase the precision region. Signal processing can be the focus of a substantial increase in precision frequency spectrum, while preserving the signal frequencies of

3、the spectrum of non-focus accuracy of the basic requirements. This paper focuses on the use of WDFT algorithm to estimate the high-frequency carrier signal of a relatively small frequency offset. Count in the estimation accuracy and complexity, and the traditional DFT and NDFT compared, highlighting

4、 the advantages of WDFT and fully illustrated with several cases of this comparison.1.引言隨著數(shù)字技術(shù)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字信號處理技術(shù)已深入到各學(xué)科領(lǐng)域?？焖俑盗⑷~變換（FFT）技術(shù)的提出，大大減少了離散傅立葉變換（DFT）的計(jì)算量，使之得到廣泛的應(yīng)用。但是DFT只能給出均勻分布點(diǎn)處Z變換的值，要提高頻譜精度，必須增加采樣點(diǎn)數(shù)目N，這就導(dǎo)致計(jì)算量迅速增加。為克服DFT算法的上述缺陷，我們期望獲得更為一般的采樣點(diǎn)處的Z變換值，于是提出了使用FFT來計(jì)算單位圓上非均勻分布采樣點(diǎn)處Z變換的算法，從而可以用不均勻

5、的頻譜精度來進(jìn)行頻譜的計(jì)算分析，這就是彎曲離散傅立葉變換( Warped Discrete Fourier Transform , WDFT )。WDFT提供了在不增加采樣數(shù)目N的情況下，對任意選定的頻譜區(qū)域增加頻譜精度的一種良好選擇。WDFT與被分析信號的頻率特性相結(jié)合，通過選擇全通彎曲函數(shù)及其彎曲參數(shù)，可以將待處理信號的重點(diǎn)頻段的頻譜精度大幅提高，又能保持信號非重點(diǎn)頻段的頻譜精度的基本要求，因而可作為數(shù)字信號處理中非常有用的工具。我們知道，信號處理領(lǐng)域的信號都和一定的頻段有關(guān)系，例如在分析語音信號時(shí)，由于人耳的生理心理模型的作用，我們更關(guān)注語音信號低頻段的情況，而較少關(guān)注其高頻段的情況。這

6、就剛好和某一類AWF及彎曲參數(shù)相吻合，因此，可以使用WDFT技術(shù)，不增加采樣點(diǎn)數(shù)目N就可以得到更好的語音信號分析精度。應(yīng)用WDFT的理論可以估計(jì)射頻信號的一個(gè)很小的頻率偏移,并且在估計(jì)精度和計(jì)算次數(shù)上,與DFT和NDFT相比,有很大的優(yōu)越性。在很多地方（如接收器或蜂窩系統(tǒng)的基站），都需要估計(jì)在一個(gè)大載波信號附近的頻率偏移。典型的，如信號 (1)是有限長時(shí)間信號，經(jīng)過頻率為的抽樣信號抽樣后就轉(zhuǎn)化成了一個(gè)N點(diǎn)離散序列，這時(shí)可表示為： ，n=0，2，,N-1 和 (2) Xn中的頻率偏移就是用WDFT的理論來估計(jì)的。 該論文的結(jié)構(gòu)如下：第一部分簡要介紹了WDFT和NDFT的理論，第二部分討論了WDF

7、T估計(jì)頻率偏移的應(yīng)用，第三部分將WDFT在估計(jì)精度和計(jì)算復(fù)雜度上與DFT、NDFT進(jìn)行了比較，第四部分做出了總結(jié)。1.1 DFT DFT在分析離散信號頻譜上的應(yīng)用很廣泛。對于給定長度為N的序列xn，其離散傅立葉變換Xk就定義為z平面單位圓上均勻分布的N個(gè)點(diǎn)處z變換的值。 (3)在估計(jì)頻率偏移的問題上，xn的頻率抽樣必須達(dá)到高頻，由于DFT只能提供固定精度，要估計(jì)頻率偏移，其長度必須很大，因此考慮到了采用WDFT或NDFT理論來估計(jì)。1.2 NDFT有限長度N序列x(n)的非均勻離散傅立葉變換定義為： k=0,1,N-1 (4)其中,是Z平面上任意分布的N個(gè)不同點(diǎn)，式(4)可以寫成如下矩陣形式：

8、 X=Dx (5) 其中： , (6) (7)注意，NDFT矩陣D是范德蒙特矩陣（Vandermonde），完全由N個(gè)點(diǎn)來決定。對于頻率偏移的估計(jì)，NDFT的頻率響應(yīng)中的w可以達(dá)到，因此可以估計(jì)頻偏。通常情況下，NDFT的計(jì)算涉及到了由x(n)組成的長度為N的矢量D的乘法。其抽樣點(diǎn)的靈活性可以使頻譜精度達(dá)到我們所期望的任何值，然而，隨著計(jì)算的深入，需要個(gè)復(fù)雜的乘法運(yùn)算。在某些特殊情況下，例如在單位圓上，NDFT可以應(yīng)用Goertzel算法達(dá)到計(jì)算量的簡化。1.3 WDFTWDFT是一般非均勻離散傅立葉變換(NDFT)的特殊形式，與被分析信號的頻率特性相結(jié)合，通過選擇全通彎曲函數(shù)及其彎曲參數(shù)，全

9、通彎曲函數(shù)(AWF)將頻率坐標(biāo)彎曲了，在平面單位圓上均勻分布的點(diǎn)被映射到z平面單位圓上的不均勻分布點(diǎn)?？梢詫⒋幚硇盘柕闹攸c(diǎn)頻段的頻譜精度大幅提高，又能保持信號非重點(diǎn)頻段的頻譜精度的基本要求，它與DFT最大的不同是避免了單純靠提高采樣點(diǎn)數(shù)目N來提高頻譜精度的問題。為方便起見，我們記長度為N的序列xn的N點(diǎn)WDFT 等于采用下列變換將Xz的修正Z變換在N個(gè)均勻分布點(diǎn)的頻譜采樣值： (8)將映射應(yīng)用到 (9) 可得 (10) 若定義 (11) 其中是的鏡像多項(xiàng)式，即=，即得到 (12) WDFT就定義為在處的值 (13)2. 應(yīng)用WDFT估計(jì)頻率偏移對于Xn的頻率響應(yīng)，須在頻率附近抽樣密集，才能有

10、效的估計(jì)(2)式中的頻率偏移，的最大值頻率抽樣可以幫助我們確定附近的頻率偏移。需要選擇的參數(shù)如下：1 WDFT的長度2 全通函數(shù)的階數(shù)M3 的系數(shù)參數(shù)選定后，接下來就討論WDFT的計(jì)算理論。2.1 WDFT的計(jì)算上面已經(jīng)定義了WDFT的值， 再定義 = (14) 其中是的第i個(gè)系數(shù)，同樣地，定義 (15)和的階次都是N-1，因?yàn)?(16) 則WDFT的計(jì)算可以從式(13)而化為 (17) 令，分別為從和的系數(shù)得到的長度為N的序列的N點(diǎn)DFT ， (18) 則 (19) 最后，WDFT的系數(shù)可以寫成 (20) 其中 (21)接下來我們用一個(gè)例子來說明這個(gè)過程，并比較分別由WDFT,DFT,NDF

11、T計(jì)算的結(jié)果。2.2 例子 在(1)中，令，并且序列Xn的長度N為64。若使用傳統(tǒng)的DFT，其頻率精度為，因此用64點(diǎn)DFT來估計(jì)的頻率偏移的最大誤差為 (22) 如果我們假設(shè)，那就意味著在附近用64點(diǎn)DFT來估計(jì)的頻率偏移的最大誤差為 (23) 現(xiàn)在我們用2階全通函數(shù)，64點(diǎn)WDFT來估計(jì)頻率偏移。令，此時(shí)頻率映射為： ，a，b為適當(dāng)?shù)膶?shí)系數(shù) (24) 令，可以得到 (25) 由 (26) (27) 由(25)式比較兩邊的實(shí)部和虛部，可以得到以下的頻率映射 (28) 3三種算法的比較三種算法的比較主要是從估計(jì)頻偏的精度和計(jì)算的復(fù)雜程度兩方面來對比的。3.1 精度在WDFT的頻率范圍a，b內(nèi)，

12、我們?nèi)山M值，一組為的正向偏差頻率點(diǎn)，一組為的負(fù)向偏差頻率，可以獲得比直接在附近取單向偏差更高的精度。對于一個(gè)64點(diǎn)的WDFT，當(dāng)a=2.176,b=-1.166和a=-2.087,b=-1.633,在WDFT抽樣幅度取最大的情況下,可以較精確的計(jì)算兩組值的頻率偏差。MATLAB可以很好的驗(yàn)證上述結(jié)論，此時(shí)在附近的頻率偏移量的范圍為-0.05rad/sample到+0.05rad/sample。(22)式表明，64點(diǎn)DFT不能估計(jì)此范圍的頻偏，而64點(diǎn)WDFT可以估計(jì)此范圍的頻偏，且最大誤差為： (29) 若和取(23)的值，此時(shí) =35Hz (30) 我們可以看出利用WDFT理論需要64點(diǎn)就

13、可以有效的估計(jì)，但是使用DFT需要1024個(gè)點(diǎn)。利用64點(diǎn)NDFT的理論來估計(jì)上述例子，在的頻率范圍內(nèi)分均勻取樣，可以得到最大誤差 (31) (32) 顯然，對于M=2，與利用WDFT的理論相比，利用NDFT的理論來估計(jì)頻偏可獲得更高的精度，但是這是以犧牲計(jì)算量來獲得的。如果使用高階彎曲函數(shù)，并且選擇適當(dāng)?shù)膹澢鷧?shù)，可以提高WDFT的精度。3.2 計(jì)算復(fù)雜度令x為N維復(fù)數(shù)輸入向量，N點(diǎn)的DFT要求次復(fù)數(shù)乘和次復(fù)數(shù)加，假設(shè)一次復(fù)數(shù)相乘包括四次實(shí)數(shù)乘和二次實(shí)數(shù)加，一次復(fù)數(shù)加包括兩次實(shí)數(shù)加，即等于次實(shí)數(shù)乘及次實(shí)數(shù)加。WDFT要求次實(shí)數(shù)乘和次實(shí)數(shù)加.對于N=64，則需要5120次實(shí)數(shù)乘和9344次實(shí)數(shù)

14、加，而1024點(diǎn)FFT需要20480次實(shí)數(shù)乘和30720次實(shí)數(shù)加。如果應(yīng)用NDFT理論，我們靈活選取抽樣點(diǎn)，可以獲得更高的精度，但是同時(shí)也增加了計(jì)算的復(fù)雜度。從x直接計(jì)算NDFT，要求計(jì)算x與階復(fù)矩陣相乘，即次實(shí)數(shù)乘法和次實(shí)數(shù)加。對于N=64，則需要16384次實(shí)數(shù)乘和16256次實(shí)數(shù)加。事實(shí)上NDFT是在Z平面的單位圓上進(jìn)行抽樣的，利用Goertzel算法可以減少計(jì)算量。二階Goertzel算法需要次實(shí)數(shù)乘和次實(shí)數(shù)加。對于N=64，則要求8704次實(shí)數(shù)乘和16768次實(shí)數(shù)加。 對于N=64，不同算法的運(yùn)算次數(shù)總結(jié)如下表，當(dāng)N增加時(shí)，其計(jì)算次數(shù)也會增加。N=64 實(shí)數(shù)乘 實(shí)數(shù)加DFT 768 1152 WDFT 5120 9344NDFT 16384 162564 總結(jié)在這篇論文中，我們討論了應(yīng)用WDFT估計(jì)頻率偏移。選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，可以獲得較高的精度和較理想的計(jì)算量。特別是對于N較大時(shí)，WDFT比NDFT更有效率，計(jì)算次數(shù)少，雖然后者在選取采樣點(diǎn)時(shí)更隨便。盡管這篇論文的例子都是應(yīng)用二階全通翹曲函數(shù)，然而高階全通翹曲函數(shù)更方便。隨著階數(shù)的的增高，估計(jì)精度也會