有理數(shù)的四則運算

1、有理數(shù)的四則運算知識引入 我們已經(jīng)熟悉正數(shù)的加法運算，然而實際問題中做加法運算的數(shù)有可能超出正數(shù)范圍.例如，足球循環(huán)賽中，可以把進球數(shù)記為正數(shù)，失球數(shù)記為負數(shù)，他們的和叫做凈勝球數(shù).章前言中，紅隊進4個球，失2個球；藍隊進1個球，失1個球.于是紅隊的凈勝球為：4+（-2）黃隊的凈勝球為：1+（-1）這里就用到了正數(shù)和負數(shù)的加法.下面我們來借助數(shù)軸來討論有理數(shù)的加法：我們先規(guī)定，一個物體作左右方向的運動，我們規(guī)定向左為負，向右為正.向右運動5m記作5m，向左運動5m記作-5m（1）如果物體先向右運動5m，再向右運動3m，那么兩次運動后總的結(jié)果：物體從起點向右運動了8m，寫成算式就是： 5+3=8

2、（2）如果物體先向左運動5m，再向左運動3m，那么兩次運動后總的結(jié)果：物體從起點向左運動了8m，寫成算式就是： （-5）+（-3）=-8 這個運算也可以用數(shù)軸表示，其中假設原點O為運動起點（3）如果物體先向右運動5m，再向左運動3m，那么兩次運動后總的結(jié)果：物體從起點向右運動了2m，寫成算式就是： 5+（-3）=2 這個運算也可以用數(shù)軸表示，其中假設原點O為運動起點我們再次借助數(shù)軸來討論以下情況物體兩次運動的結(jié)果：（1）先向右運動3m，再向左運動5m，物體從起點向_運動了_m；（2）先向右運動5m，再向左運動5m，物體從起點向_運動了_m；（3）先向左運動5m，再向右運動5m，物體從起點向_運

3、動了_m.這三種情況運動結(jié)果的算是如下： 3+（-5）=-25+（-5）=0（-5）+5=0 如果物體第1秒向右（或左）運動5m，第2秒原地不動，兩秒后物體從起點向右（或左）運動了5m，寫成算是就是5+0=5 或 （-5）+0=-5 新知學習一、有理數(shù)的加法通過上面的算式我們發(fā)現(xiàn)有理數(shù)加法的運算法則：有理數(shù)加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).有理數(shù)加法的運算步驟：法則是運算的依據(jù)，根據(jù)有理數(shù)加法的運算法則，可以得到加法的運算步驟：確定和的符號；求和的絕對值，即確定

4、是兩個加數(shù)的絕對值的和或差.有理數(shù)加法的運算律：兩個加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.(加法交換律)三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變.(加法結(jié)合律)探究應用：（1）下列運算中正確的是( )(A)(8)(10)(108)2(B)(3)(2)(32)1(C)(5)(6)(65)11 (D)(6)(2)(62)8（2）足球比賽中，甲隊攻入乙隊兩球，同時被乙隊攻入五球，則計算甲隊凈勝球數(shù)的算式為_（3）2的相反數(shù)與的倒數(shù)的和的絕對值等于_有理數(shù)加法運算規(guī)律：我們以前學過加法交換律、結(jié)合律，在有理數(shù)的加法中它們還適用嗎？ 計算 30+(-20) (-20)+30兩次所得的和相同

5、嗎？ 換幾個加數(shù)再試一試.計算 8+(-5)+(-4) 8+(-5)+(-4)兩次所得的和相同嗎？ 換幾個加數(shù)再試一試.我們可以得到，在有理數(shù)的加法中：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.-加法交換律：_三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變.-加法結(jié)合律：_探究應用：（1） （2）(7)(21)(7)(21)（3）0(3.71)(1.71)(5) （4）（5）小結(jié)：有理數(shù)加法的運算技巧：分數(shù)與小數(shù)均有時，應先化為統(tǒng)一形式.帶分數(shù)可分為整數(shù)與分數(shù)兩部分參與運算.多個加數(shù)相加時，若有互為相反數(shù)的兩個數(shù)，可先結(jié)合相加得零.若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時，可先結(jié)合相加.若有同分

6、母的分數(shù)或易通分的分數(shù)，應先結(jié)合在一起.符號相同的數(shù)可以先結(jié)合在一起.二、有理數(shù)的減法在實際問題中，有事還要涉及有理數(shù)的減法.例如，某地一天的氣溫是，這天的溫差就是4-（-3）.這里用到正數(shù)和負數(shù)的減法.減法是與加法想法的運算，計算4-（-3），上就是要求出一個數(shù)x，使得x與-3相加得4.因為7與-3相加得4，所以x應該是7，即 4-（-3）=7另一方面，我們知道： 4+（+3）=7于是： 4-（-3）=4+（+3）我們再嘗試著換幾個數(shù)試試：9-8,9+（-8）；15-7,15+（-7），從中又能有新發(fā)現(xiàn)嗎？有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).有理數(shù)減法的運算步驟：把減號變?yōu)榧犹?/p>

7、（改變運算符號）把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)（改變性質(zhì)符號）把減法轉(zhuǎn)化為加法，按照加法運算的步驟進行運算.探究應用：（1）計算 (1)(15)(11)_； (2)(15)(11)_；(3)0(3.75)_； (4)49_；(5)9_0 (6)aba_（2）判斷正誤( )兩數(shù)之差一定小于被減數(shù)( )若兩數(shù)的差為正數(shù)，則兩數(shù)都為正數(shù)( )零減去一個數(shù)仍得這個數(shù)( )一個數(shù)減去一個負數(shù)，差一定大于被減數(shù)下面我們來研究怎樣進行有理數(shù)的加減混合運算：例：計算（-20）+（+3）-（-5）-（+7）分析：這個式子中有加法，也有減法，可以根據(jù)有理數(shù)減法法則，把它改寫為 （-20）+（+3）+（+5）+（-7） 使問

8、題轉(zhuǎn)化為幾個有理數(shù)的加法.（-20）+（+3）-（-5）-（+7）=（-20）+（+3）+（+5）+（-7）=（-20）+（-7）+（+5）+（+3）=(-27)+(+8)=-19式子（-20）+（+3）+（+5）+（-7）是-20,3,5，-7這四個數(shù)的和，為書寫簡單，可以省略式子中的括號和加號，把它寫為-20+3+5-7，那么上述運算過程也可以簡單地寫為：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）=-20+3+5-7=-20-7+3+5=-27+8=-19歸納：引入相反數(shù)后，加減混合運算可以統(tǒng)一為加法運算：三、有理數(shù)的乘法我們已經(jīng)熟悉正數(shù)及0的乘法運算，引入負數(shù)以后，怎么進行有理數(shù)的乘法運算

9、呢？下面，我們?nèi)匀唤柚鷶?shù)軸來研究有理數(shù)的乘法：上圖中，一只蝸牛沿直線l爬行，它現(xiàn)在的位置恰在l上的點O為區(qū)分方向，我們規(guī)定：向左為負，向右為正；為區(qū)分時間，我們規(guī)定：現(xiàn)在前為負，現(xiàn)在后為正（1）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？ 3分鐘后蝸牛應在l上點O右邊6cm處，這可以表示為：（2）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？ 3分鐘后蝸牛應在l上點O左邊6cm處，這可以表示為：（3）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？ 3分鐘后蝸牛應在l上點O左邊6cm處，這可以表示為：（4）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前

10、它在什么位置？ 3分鐘后蝸牛應在l上點O右邊6cm處，這可以表示為：觀察上面四個式子，根據(jù)你對有理數(shù)乘法的思考，填空：正數(shù)乘正數(shù)積為_數(shù)，負數(shù)乘正數(shù)積為_數(shù)，正數(shù)乘負數(shù)積為_數(shù)，負數(shù)乘負數(shù)積為_數(shù)，乘積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的_.于是，我們得到：有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)同0相乘，都得0.探究應用：（1）下列計算正確的是( )(A)(B)(C)(D)（2）直接將答案寫在橫線上：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_多個有理數(shù)相乘，可以把它們按順序依次相乘.下列各式的積是正的還是負的？幾個不是0的數(shù)相乘，積的符號是負因數(shù)的個數(shù)之間有什么關(guān)系？歸納：幾個

11、不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是_時，積為正數(shù)； 負因數(shù)的個數(shù)是_時，積為負數(shù)；同時，我們還能得到有理數(shù)乘法運算律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等. (乘法交換律)三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等. (乘法結(jié)合律)一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加. (乘法分配律)有理數(shù)乘法法則的推廣： 幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù). 幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，則積為0. 在進行乘法運算時，若有帶分數(shù)，應先化為假分數(shù)，便于約分；若有小數(shù)及分數(shù)，一般先將小數(shù)化為

12、分數(shù)，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算.探究應用：（1）式子的符號為_（2）兩個有理數(shù)之積是0，那么這兩個有理數(shù)( )(A)至少有一個是0(B)都是0(C)互為倒數(shù) (D)互為相反數(shù)（3）這個運算應用了( )(A)加法結(jié)合律(B)乘法結(jié)合律(C)乘法交換律(D)分配律（4）四、有理數(shù)的除法怎樣計算呢？根據(jù)除法的意義，這就是要求一個數(shù)，使它與（-4）相乘得8. 因為，所以 另一方面，我們有，于是有我們可以得到有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).，()兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.有理數(shù)除法的運算步驟：首先確

13、定商的符號，然后再求出商的絕對值.因為有理數(shù)的除法可以化成乘法，所以可以利用乘法的運算性質(zhì)簡化運算.乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后就出結(jié)果例：探究應用：（1）若兩數(shù)之積為1，則這兩數(shù)互為_；若兩數(shù)之商為1，則這兩數(shù)_；若兩數(shù)之積為1，則這兩數(shù)互為_；若兩數(shù)之商為1，則這兩數(shù)互為_（2）零乘以_都得零，零除以_都得零（3）化簡下列分數(shù)：=_；=_.（4）填空：(1)_；(2)_；(3) _；(4)_；五、有理數(shù)的乘方求n個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，記作，乘方的結(jié)果叫做冪，在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，讀作a的n次冪。例如，中，底數(shù)是9，指數(shù)是4，讀作9的4次方，或9的

14、4次冪.一個數(shù)就可以看作這個數(shù)本身的一次方，例如，5就是，指數(shù)1通常省略不寫.根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可以得出：負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正式.顯然，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何次冪都是0注意： 探究應用：（1）對于(2)6，6是_的指數(shù)，底數(shù)是_，(2)6_.對26，6是_的指數(shù)，底數(shù)是_，26_（2）計算：(1)34_； (2)34_； (3)(3)4_；(4)(3)4_；_； _； _；_；（3）當n為正奇數(shù)時，(a)n_；當n為正偶數(shù)時，(a)n_（4）的計算結(jié)果是( )(A)(B)(C)(D)基礎(chǔ)演練模塊一、有理數(shù)的加法【習題1】 計算下列各題： (1) (一11)+(一9)

15、； (2) (一3.5)+(+7)； (3)(一1.08)+0； (4)()+() （5）(-22)+(-27)+(+27)； （6）(-22)+(-27)+(+27) 【變式練習】計算：（1）（2）（3）【習題2】 小明家冰箱冷凍室的溫度為-5，調(diào)高4后的溫度為（）A4 B9 C-1 D-9【習題3】 絕對值不大于10的所有整數(shù)的和等于（）A-10 B0 C10 D20【習題4】 已知a，b，c的位置如圖，化簡：|a-b|+|b+c|+|c-a|= _模塊二、有理數(shù)的減法【習題5】 計算 （1） （2） 【變式練習】計算（1） 【習題6】 對于任何有理數(shù)a，下列各式中一定為負數(shù)的是（）A B

16、 C D【習題7】 a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a，b，a+b，a-b中，負數(shù)的個數(shù)是（）A1個 B2個 C3個 D4個【習題8】 兩個數(shù)的差是負數(shù)，則這兩個數(shù)一定是（）A被減數(shù)是正數(shù)，減數(shù)是負數(shù) B被減數(shù)是負數(shù)，減數(shù)是正數(shù) C被減數(shù)是負數(shù)，減數(shù)也是負數(shù) D被減數(shù)比減數(shù)小【習題9】 如果a，b均為有理數(shù)，且b0，則a，a-b，a+b的大小關(guān)系是（）Aaa+ba-b Baa-ba+b Ca+baa-b Da-ba+ba模塊三、有理數(shù)的乘法【習題10】 下面計算正確的是（）A-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80 B

17、12×（-5）=-50 C（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180 D（-36）×（-1）=-36【變式練習】 _【變式練習】（1） （2）；（3） （4） 【習題11】 若兩個有理數(shù)的和與積都是正數(shù)，則這兩個有理數(shù)（）A都是負數(shù) B一正一負且正數(shù)的絕對值大 C都是正數(shù) D無法確定【習題12】 、為非零有理數(shù)，它們的積必為正數(shù)的是（ ）A，同號 B，異號 C，異號 D同號【習題13】 已知|x|=3，|y|=2，且xy0，則x+y的值等于（）A5或-5 B1或-1 C5或1 D-5或-1【習題14】 有理數(shù)a，b，c在

18、數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，給出下面四個命題：（1）abc0 （2）|a-b|+|b-c|=|a-c|（3）（a-b）（b-c）（c-a）0 （4）|a|1-bc其中正確的命題有（）A4個 B3個 C2個 D1個模塊四、有理數(shù)的除法【習題15】 下列關(guān)于0的說法中，正確的個數(shù)是（）0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；0既是整數(shù)也是有理數(shù)；0沒有倒數(shù)；0沒有絕對值A(chǔ)1 B2 C3 D4【習題16】 下列運算有錯誤的是（）A B C8-（-2）=8+2 D2-7=（+2）+（-7）【變式練習】計算：（1） （2）（3）； （4）；【習題17】 兩個有理數(shù)的商為正，則（）A和為正 B和為負 C至少一個為正 D積為正數(shù)【習題18】 用“”或“”填空（1）如果，那么 _ 0 ； （2）如果，那么_0 .模塊五、有理數(shù)的乘方【習題19】 計算：（1） （2）【