放縮法使用技巧

1、例談“放縮法”證明不等式的基本策略近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點(diǎn), 有極大的遷移性, 對它的運(yùn)用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性?！胺趴s法”它可以和很多知識內(nèi)容結(jié)合，對應(yīng)變能力有較高的要求。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略，期望對讀者能有所幫助。1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例1、已知求

2、證：證明：若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時就舍去了，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例2、函數(shù)f（x）=，求證：f（1）+f（2）+f（n）>n+.證明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）>.此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征,先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進(jìn)行放縮，從而對左邊可以進(jìn)行求和.若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對于分

3、子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。3、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）例3、已知an=n，求證：3證明：=1=1 () =1123本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).4、放大或縮小“因式”；例4、已知數(shù)列滿足求證：證明 本題通過對因式放大，而得到一個容易求和的式子，最終得出證明.5、逐項(xiàng)放大或縮小例5、設(shè)求證：證明：，本題利用，對中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡的目的。6、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；例6、求證：證明：此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時，不

4、一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。7、利用基本不等式放縮例7、已知，證明：不等式對任何正整數(shù)都成立.證明：要證，只要證 .因?yàn)?，故只要證 ，即只要證 .因?yàn)椋悦}得證.本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由放大即可.8、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮例8、.已知i，m、n是正整數(shù)，且1imn.(1)證明：niAmiA；(2)證明：(1+m)n(1+n)m證明：(1)對于1im，且A =m··(mi+1)，由于mn，對于整數(shù)k=1，2，i1，有，所以(2)由二項(xiàng)式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+

5、Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1imn，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標(biāo)

6、尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進(jìn)一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段.求證證明本題觀察數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，采用通項(xiàng)放縮的技巧把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列，從而達(dá)到簡化證題的目的。求證 證明 說明：若本題從第二項(xiàng)起放大，則左邊<1+1-<2 ,這使的證明失敗.例 14 分析 淺談用放縮法證明不等式的方法與技巧放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項(xiàng)式中

7、“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變?。ù螅?，或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較小）因式代替”等效法，而達(dá)到其證題目的。所謂放縮的技巧：即欲證，欲尋找一個（或多個）中間變量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“縮”。常用的放縮技巧還有：（1）若（2）（3）若則（4）（5）（6）或（7）等等。用放縮法證明下列各題。例1 求證：證明：因?yàn)樗宰筮呉驗(yàn)?9100（放大）所以例2 （2000年海南理11）若求證：證明：因?yàn)樗砸驗(yàn)橐驗(yàn)椋ǚ糯螅?，所以又所以是增函?shù)，所以，所以例3 （2001年云南理1）求證：證明：（因?yàn)椋┯忠驗(yàn)椋ǚ糯螅?，所以所以? 已知求證：證明：因?yàn)槔? 求證：證明：因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋ǚ糯螅┧岳? （2000年湖南省會考）求證：當(dāng)時，函數(shù)的最小值是當(dāng)時，函數(shù)的最大值是證明：因?yàn)樵瘮?shù)配方得又因?yàn)樗裕s?。?，所以函數(shù)y的最小值是。當(dāng)所以（放大），所以函數(shù)y的最大值是例7 求證：證明：因?yàn)椋ǚ帜赣欣砘┧栽坏仁匠闪?。? （2002年貴州省理21）若求證：證明：因?yàn)槎运酝砜勺C（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）。例9 已知a、b、c分別是一個三角形的三邊之長，求證：證明：不妨設(shè)據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有：便得所以原不等式成立。例10 （1999年湖南省理16）求證：證明：因?yàn)橛炙栽坏仁匠闪?。?1 求證：證明：因?yàn)樽筮呑C畢。例12