平方差公式_教學案例

1、數(shù) 學 教 學 案 例（人教版八年級數(shù)學上冊14.2.1）案例名稱：平方差公式所屬課程：數(shù)學所屬專業(yè)：初中數(shù)學授課課時：一課時平方差公式教學案例一、教學容與分析1容平方差公式兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。2.容分析本節(jié)容主要研究的是平方差公式的推導和應(yīng)用。平方差公式是學生學習了整式的加減及整式乘法等知識的基礎(chǔ)上，在已經(jīng)掌握了單項式乘法、多項式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認知規(guī)律的典型例。對它的學習和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法，而且為完全平方公式的學習提供了方法，同時也為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、

2、解一元二次方程、函數(shù)等容奠定了基礎(chǔ)。因此，平方差公式在初中階段的教學中具有承上啟下的作用。3教學重點與難點本節(jié)課的重點：理解平方差公式，掌握其結(jié)構(gòu)特點，并能運用公式進行運算。本節(jié)課的難點：理解公式中字母的含義，即公式：中的字母a，b可以是具體的數(shù)、單項式、多項式、分式乃至任何代數(shù)式。正確找準哪個數(shù)或式相當于公式中的a，b.平方差公式的變式應(yīng)用。 二、教學目標與解析1.目標（1）知識目標：掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運用公式進行計算。（2）能力目標：在探索平方差公式的過程中，感悟從具體到抽象研究問題的方法；在驗證平方差公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合的思想，進一步發(fā)展學生的符號感和推理能力、歸納能力；

3、在運用公式的過程中，滲透轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的思維能力和數(shù)學應(yīng)用意識。（3）情感目標：讓學生在合作探究的學習過程中體驗成功的喜悅，培養(yǎng)學生勇于探索、善于觀察、大膽猜想的創(chuàng)新思維品質(zhì)。2.目標解析（1）理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運用平方差公式解決問題。在數(shù)學活動中，引導學生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，加深學生對公式的理解。（2）讓學生經(jīng)歷具體抽象的過程。從中發(fā)現(xiàn)、體會、理解公式，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，進一步發(fā)展學生的符號感、觀察、歸納、猜想、推理能力，利用幾何圖形的面積驗證公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合的思想。在運用公式的過程中，滲透轉(zhuǎn)化、

4、建模等數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的思維能力和數(shù)學應(yīng)用意識。（3）通過自主探究與合作交流的學習方式，讓學生經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過程，發(fā)揮學生的主體作用，在解決問題過程中與他人合作交流的重要性，讓學生在公式的運用中積累解題的經(jīng)驗，體會成功的喜悅。三、學生情況分析學生已經(jīng)較熟練地掌握了多項式乘法，為學習本節(jié)知識做了知識準備；學生已經(jīng)具備了小組合作能力、探究能力、歸納分析能力，能通過合作交流完成學習任務(wù)；通過創(chuàng)造問題情境，讓學生探索相應(yīng)問題，建立并運用公式，從而拓展學生知識技能成為可能。四、教學問題診斷分析學生學習平方差公式的困難在于對公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義的解。因此，教學中引

5、導學生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運用變式訓練揭示公式的本質(zhì)特征，以加深學生對公式的理解。五、教學過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出新知問題1：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（屏幕顯示）（1） .（2） .（3） .師生活動：學生計算，三位同學在黑板上板書，師生共同分析結(jié)果?！驹O(shè)計意圖】通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，既復習了舊知，又為下面學習平方差公式作了鋪墊，讓學生感受從一般到特殊的認識規(guī)律，引出乘法公式平方差公式。 （二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)問題2：依照以上三道題的計算回答下列問題：（屏幕顯示）式子的左邊具有什么共同特征？它們右邊的結(jié)果有什么特征？能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)

6、律進行推導嗎？師生活動：教師提問，學生通過自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，右邊是這兩個數(shù)的平方差，并猜想出： ，由學生運用多項式乘法計算，驗證了其公式的正確性?！驹O(shè)計意圖】在學生已掌握的多項乘法法則的基礎(chǔ)上，探索具有特殊形式的多項式乘法平方差公式，這樣更加自然合理。讓學生經(jīng)歷具體抽象的過程。即經(jīng)歷觀察、比較、抽象、概括、推理的過程，從中體會研究數(shù)學問題的基本思想方法：“具體抽象”。（三）數(shù)形結(jié)合，幾何說理問題3：活動探究：將長為(a+b)，寬為(a-b)的長方形，剪下寬為b的長方形條，放在圖中處拼成有空缺的正方形，你能用等式表示剪拼前后的圖形的面積關(guān)系嗎？

7、（屏幕顯示） = 師生活動：小組合作，教師巡視指導，代表發(fā)言?！驹O(shè)計意圖】通過學生小組合作，完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,讓學生認識平方差公式的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想。引導學生學會從多角度、多方面來思考問題，再次驗證了平方差公式的正確性。 （四）歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)新知問題4：前面探究所得的式子 ，稱為平方差公式，你能用文字語言表述它嗎？（屏幕顯示）師生活動：學生回答，相互補充。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。【設(shè)計意圖】鼓勵學生用自己的語言表述，發(fā)展學生的數(shù)學語言表達能力加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解。（五）剖析公式，發(fā)

8、現(xiàn)本質(zhì)問題5：在平方差公式中，認真觀察其結(jié)構(gòu)特征，你能用自己的語言表述嗎？（屏幕顯示）師生活動：同桌討論后回答，相互補充并總結(jié)如下：左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即。師追問：以上三個算式中，哪些數(shù)或式子相當于公式中的a，b。師生活動：獨自思考，代表發(fā)言?！驹O(shè)計意圖】通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性,并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式。在認清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。（六）鞏固運用，化新知問題6：判斷下列算式能否運用平方差公

9、式計算：（屏幕顯示）（1） （2） （3） （4） 師生活動：分組討論，代表發(fā)言，大家評判。【設(shè)計意圖】學生經(jīng)過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件。鞏固平方差公式，進一步體會字母a，b可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解。例題1：運用平方差公式計算：（屏幕顯示）（1）； （2）師生活動：師生共同分析解答，教師板書（1），學生板書（2）。在解答（1）的過程中，教師引導學生哪一個數(shù)或式相當于公式中的a、b，然后按照公式寫出平方差，再計算出結(jié)果；在解答（2）的過程中，同樣注意上述問題，并提議用不同方法解答，以體現(xiàn)學生的創(chuàng)造性。分析：在（1）

10、中，可以把3x看成a，2看成b，即 = (a + b) (a- b) = a2 - b2解：(1) (2) 【設(shè)計意圖】讓學生熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征，找準哪個數(shù)或式表示公式中的a, 哪個數(shù)或式表示公式中的b，并運用公式進行計算。練習1:下列計算對不對？若不對，應(yīng)怎樣改正。（屏幕顯示）（1）.（2）.（3）. （4）.（5）. 師生活動：同桌討論交流后，代表回答，老師引導學生訂正答案?！驹O(shè)計意圖】對學生常出現(xiàn)的錯誤，作具體的分析，以加深學生對公式的理解，進一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運用平方差公式進行計算必須具備的條件。問題7：從以上例題和練習中，你認為運用公式解決問題應(yīng)注意什么？（屏幕顯示）師生

11、活動：學生回答問題，并相互補充。總結(jié)以下經(jīng)驗：1、在運用平方差公式之前，一定要看是否具備公式的結(jié)構(gòu)特點；2、一定要找準哪個數(shù)或式相當于公式中的a, 哪個數(shù)或式相當于公式中的b；3、總結(jié)規(guī)律：a的符號相同，b的符號相反；4、公式中的字母a，可以是具體的數(shù)、單項式、多項式等；5、勿忘記寫公式右邊的“平方”?！驹O(shè)計意圖】引導學生深入分析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明確a、b的意義，在運用公式計算時一定要抓住關(guān)鍵找準哪個數(shù)或式相當于“第一個數(shù)”a，哪個數(shù)或式相當于“第二個數(shù)”b，通過此過程，突破本節(jié)課的難點。（七）拓展深化，發(fā)展思維例題2：計算：（屏幕顯示）（1） （2）98×102師生活動：師生

12、共同分析，得出：（1）中的前兩個多項式的積可以直接利用平方差公式，后兩個多項式的積不具備平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，不能用此公式；必須用多項式的乘法計算，并把計算的結(jié)果放在括號里。（2）是兩個數(shù)乘積的簡捷計算，這兩個因數(shù)恰好可以分解成兩個數(shù)（100與2）的和與這兩個數(shù)的差，且這兩個數(shù)的平方容易計算。問題（2）對一部分學生來說，有一定難度，教師要注意引導學生認真觀察，并及時總結(jié)規(guī)律第一個數(shù)是兩個因數(shù)的平均數(shù)。【設(shè)計意圖】第（1）題是新舊知識的綜合運用，此題要讓學生深刻理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明白只有符合公式結(jié)構(gòu)特征的乘法才能運用公式簡化運算；第（2）題是平方差公式在數(shù)的乘法中的應(yīng)用，屬于兩個數(shù)乘積的

13、簡捷計算問題，使學生將平方差公式的知識遷移到新的問題情境中，即鞏固新知，又培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力。此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性。 練習2:看誰算得快。（屏幕顯示）（1） （2）（3）501×（-499） （4）師生活動：四名學生板書，其他學生在練習本上完成，教師巡視指導，完成后大家一起評判四名學生的解答?！驹O(shè)計意圖】通過同類型題的練習，幫助學生更好地理解平方差公式，較熟練地運用平方差公式進行有關(guān)計算。同時進行查漏補缺。（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我問題8:在下列括號中填上合適的多項式：（屏幕顯示）（1）( )= （2）( )( )= 師生活動：獨立思考，代表發(fā)言，大家評判?！驹O(shè)計意

14、圖】此題旨在從反方面靈活運用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項和相反項，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時鍛煉了學生逆向思維能力，也為以后學習因式分解做了鋪墊。第2個填空題，屬開放設(shè)計型目的是加強學生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時也鍛煉學生的發(fā)散思維。（九）暢所欲言，課時小結(jié)大家一起回顧本節(jié)課所學容，并請同學們回答下列問題：（屏幕顯示）（1）這節(jié)課你學習了哪些容？（2）平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是什么？（3）應(yīng)用平方差公式時要注意什么？師生活動：學生回答，相互補充?！驹O(shè)計意圖】從通過小結(jié)，使學生梳理本節(jié)課所學容，把握本節(jié)課的核心平方差公式，進一步認識公式的結(jié)構(gòu)特征，為運用公式積累經(jīng)驗。（十）布置作業(yè) （屏

15、幕顯示）1.教課書習題14.2第1題（寫在作業(yè)本上）。2.預(yù)習完全平方公式?！驹O(shè)計意圖】作業(yè)1目的是鞏固所學知識，作業(yè)2主要培養(yǎng)學生良好的自學學習習慣為目的。六、目標檢測設(shè)計1下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是（ ）A. B. C. D. 【設(shè)計意圖】考查學生對平方差公式結(jié)構(gòu)特征的理解。2.填空題：(1) ( ).(2) .(3) ( ).(4) 設(shè)，則 .(5) 已知，那么a= .【設(shè)計意圖】考查學生對平方差公式靈活運用的能力。3.計算：（1） （2）（3） （4） 【設(shè)計意圖】考查學生對平方差公式的理解及運用。4.計算：（1）1998×2002 （1）-2013×2015【設(shè)計意圖】考查學生對平方差公式的應(yīng)用兩個數(shù)乘積的簡捷計算的掌握。5.解答題：已知：兩個正方形的周長之和等于32cm，它們的面積之差為48cm2，求這兩個正方形的邊長?！驹O(shè)計意圖】綜合利用新舊知識解答實際生活中的問題，考查學生對知識綜合運用的能力，同時激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。七、教學反思：本節(jié)課在輕松