平方差公式_教學(xué)案例

1、數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 案 例（人教版八年級數(shù)學(xué)上冊14.2.1）案例名稱：平方差公式所屬課程：數(shù)學(xué)所屬專業(yè)：初中數(shù)學(xué)授課課時：一課時平方差公式教學(xué)案例一、教學(xué)容與分析1容平方差公式兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。2.容分析本節(jié)容主要研究的是平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。平方差公式是學(xué)生學(xué)習(xí)了整式的加減及整式乘法等知識的基礎(chǔ)上，在已經(jīng)掌握了單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型例。對它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡便算法，而且為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法，同時也為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、

2、解一元二次方程、函數(shù)等容奠定了基礎(chǔ)。因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中具有承上啟下的作用。3教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)課的重點(diǎn)：理解平方差公式，掌握其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能運(yùn)用公式進(jìn)行運(yùn)算。本節(jié)課的難點(diǎn)：理解公式中字母的含義，即公式：中的字母a，b可以是具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式乃至任何代數(shù)式。正確找準(zhǔn)哪個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a，b.平方差公式的變式應(yīng)用。 二、教學(xué)目標(biāo)與解析1.目標(biāo)（1）知識目標(biāo)：掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。（2）能力目標(biāo)：在探索平方差公式的過程中，感悟從具體到抽象研究問題的方法；在驗(yàn)證平方差公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力、歸納能力；

3、在運(yùn)用公式的過程中，滲透轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。（3）情感目標(biāo)：讓學(xué)生在合作探究的學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于觀察、大膽猜想的創(chuàng)新思維品質(zhì)。2.目標(biāo)解析（1）理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問題。在數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，加深學(xué)生對公式的理解。（2）讓學(xué)生經(jīng)歷具體抽象的過程。從中發(fā)現(xiàn)、體會、理解公式，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感、觀察、歸納、猜想、推理能力，利用幾何圖形的面積驗(yàn)證公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合的思想。在運(yùn)用公式的過程中，滲透轉(zhuǎn)化、

4、建模等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。（3）通過自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，在解決問題過程中與他人合作交流的重要性，讓學(xué)生在公式的運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗(yàn)，體會成功的喜悅。三、學(xué)生情況分析學(xué)生已經(jīng)較熟練地掌握了多項(xiàng)式乘法，為學(xué)習(xí)本節(jié)知識做了知識準(zhǔn)備；學(xué)生已經(jīng)具備了小組合作能力、探究能力、歸納分析能力，能通過合作交流完成學(xué)習(xí)任務(wù)；通過創(chuàng)造問題情境，讓學(xué)生探索相應(yīng)問題，建立并運(yùn)用公式，從而拓展學(xué)生知識技能成為可能。四、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義的解。因此，教學(xué)中引

5、導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運(yùn)用變式訓(xùn)練揭示公式的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對公式的理解。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出新知問題1：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（屏幕顯示）（1） .（2） .（3） .師生活動：學(xué)生計(jì)算，三位同學(xué)在黑板上板書，師生共同分析結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過對特殊的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)平方差公式作了鋪墊，讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識規(guī)律，引出乘法公式平方差公式。 （二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)問題2：依照以上三道題的計(jì)算回答下列問題：（屏幕顯示）式子的左邊具有什么共同特征？它們右邊的結(jié)果有什么特征？能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)

6、律進(jìn)行推導(dǎo)嗎？師生活動：教師提問，學(xué)生通過自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，右邊是這兩個數(shù)的平方差，并猜想出： ，由學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法計(jì)算，驗(yàn)證了其公式的正確性?！驹O(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生已掌握的多項(xiàng)乘法法則的基礎(chǔ)上，探索具有特殊形式的多項(xiàng)式乘法平方差公式，這樣更加自然合理。讓學(xué)生經(jīng)歷具體抽象的過程。即經(jīng)歷觀察、比較、抽象、概括、推理的過程，從中體會研究數(shù)學(xué)問題的基本思想方法：“具體抽象”。（三）數(shù)形結(jié)合，幾何說理問題3：活動探究：將長為(a+b)，寬為(a-b)的長方形，剪下寬為b的長方形條，放在圖中處拼成有空缺的正方形，你能用等式表示剪拼前后的圖形的面積關(guān)系嗎？

7、（屏幕顯示） = 師生活動：小組合作，教師巡視指導(dǎo)，代表發(fā)言?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證了平方差公式的正確性,讓學(xué)生認(rèn)識平方差公式的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多角度、多方面來思考問題，再次驗(yàn)證了平方差公式的正確性。 （四）歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)新知問題4：前面探究所得的式子 ，稱為平方差公式，你能用文字語言表述它嗎？（屏幕顯示）師生活動：學(xué)生回答，相互補(bǔ)充。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵學(xué)生用自己的語言表述，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解。（五）剖析公式，發(fā)

8、現(xiàn)本質(zhì)問題5：在平方差公式中，認(rèn)真觀察其結(jié)構(gòu)特征，你能用自己的語言表述嗎？（屏幕顯示）師生活動：同桌討論后回答，相互補(bǔ)充并總結(jié)如下：左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，其中“a與a”是相同項(xiàng)，“b與-b”是相反項(xiàng)；右邊是二項(xiàng)式，相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差，即。師追問：以上三個算式中，哪些數(shù)或式子相當(dāng)于公式中的a，b。師生活動：獨(dú)自思考，代表發(fā)言?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡潔性,并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式。在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。（六）鞏固運(yùn)用，化新知問題6：判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公

9、式計(jì)算：（屏幕顯示）（1） （2） （3） （4） 師生活動：分組討論，代表發(fā)言，大家評判?！驹O(shè)計(jì)意圖】學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件。鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會字母a，b可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解。例題1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（屏幕顯示）（1）； （2）師生活動：師生共同分析解答，教師板書（1），學(xué)生板書（2）。在解答（1）的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生哪一個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a、b，然后按照公式寫出平方差，再計(jì)算出結(jié)果；在解答（2）的過程中，同樣注意上述問題，并提議用不同方法解答，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性。分析：在（1）

10、中，可以把3x看成a，2看成b，即 = (a + b) (a- b) = a2 - b2解：(1) (2) 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征，找準(zhǔn)哪個數(shù)或式表示公式中的a, 哪個數(shù)或式表示公式中的b，并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。練習(xí)1:下列計(jì)算對不對？若不對，應(yīng)怎樣改正。（屏幕顯示）（1）.（2）.（3）. （4）.（5）. 師生活動：同桌討論交流后，代表回答，老師引導(dǎo)學(xué)生訂正答案?！驹O(shè)計(jì)意圖】對學(xué)生常出現(xiàn)的錯誤，作具體的分析，以加深學(xué)生對公式的理解，進(jìn)一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算必須具備的條件。問題7：從以上例題和練習(xí)中，你認(rèn)為運(yùn)用公式解決問題應(yīng)注意什么？（屏幕顯示）師生

11、活動：學(xué)生回答問題，并相互補(bǔ)充?？偨Y(jié)以下經(jīng)驗(yàn)：1、在運(yùn)用平方差公式之前，一定要看是否具備公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；2、一定要找準(zhǔn)哪個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a, 哪個數(shù)或式相當(dāng)于公式中的b；3、總結(jié)規(guī)律：a的符號相同，b的符號相反；4、公式中的字母a，可以是具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等；5、勿忘記寫公式右邊的“平方”?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生深入分析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明確a、b的意義，在運(yùn)用公式計(jì)算時一定要抓住關(guān)鍵找準(zhǔn)哪個數(shù)或式相當(dāng)于“第一個數(shù)”a，哪個數(shù)或式相當(dāng)于“第二個數(shù)”b，通過此過程，突破本節(jié)課的難點(diǎn)。（七）拓展深化，發(fā)展思維例題2：計(jì)算：（屏幕顯示）（1） （2）98×102師生活動：師生

12、共同分析，得出：（1）中的前兩個多項(xiàng)式的積可以直接利用平方差公式，后兩個多項(xiàng)式的積不具備平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，不能用此公式；必須用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，并把計(jì)算的結(jié)果放在括號里。（2）是兩個數(shù)乘積的簡捷計(jì)算，這兩個因數(shù)恰好可以分解成兩個數(shù)（100與2）的和與這兩個數(shù)的差，且這兩個數(shù)的平方容易計(jì)算。問題（2）對一部分學(xué)生來說，有一定難度，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，并及時總結(jié)規(guī)律第一個數(shù)是兩個因數(shù)的平均數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】第（1）題是新舊知識的綜合運(yùn)用，此題要讓學(xué)生深刻理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明白只有符合公式結(jié)構(gòu)特征的乘法才能運(yùn)用公式簡化運(yùn)算；第（2）題是平方差公式在數(shù)的乘法中的應(yīng)用，屬于兩個數(shù)乘積的

13、簡捷計(jì)算問題，使學(xué)生將平方差公式的知識遷移到新的問題情境中，即鞏固新知，又培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力。此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性。 練習(xí)2:看誰算得快。（屏幕顯示）（1） （2）（3）501×（-499） （4）師生活動：四名學(xué)生板書，其他學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡視指導(dǎo)，完成后大家一起評判四名學(xué)生的解答。【設(shè)計(jì)意圖】通過同類型題的練習(xí)，幫助學(xué)生更好地理解平方差公式，較熟練地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。同時進(jìn)行查漏補(bǔ)缺。（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我問題8:在下列括號中填上合適的多項(xiàng)式：（屏幕顯示）（1）( )= （2）( )( )= 師生活動：獨(dú)立思考，代表發(fā)言，大家評判?！驹O(shè)計(jì)意

14、圖】此題旨在從反方面靈活運(yùn)用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時鍛煉了學(xué)生逆向思維能力，也為以后學(xué)習(xí)因式分解做了鋪墊。第2個填空題，屬開放設(shè)計(jì)型目的是加強(qiáng)學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時也鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。（九）暢所欲言，課時小結(jié)大家一起回顧本節(jié)課所學(xué)容，并請同學(xué)們回答下列問題：（屏幕顯示）（1）這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些容？（2）平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？（3）應(yīng)用平方差公式時要注意什么？師生活動：學(xué)生回答，相互補(bǔ)充?！驹O(shè)計(jì)意圖】從通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)容，把握本節(jié)課的核心平方差公式，進(jìn)一步認(rèn)識公式的結(jié)構(gòu)特征，為運(yùn)用公式積累經(jīng)驗(yàn)。（十）布置作業(yè) （屏

15、幕顯示）1.教課書習(xí)題14.2第1題（寫在作業(yè)本上）。2.預(yù)習(xí)完全平方公式?！驹O(shè)計(jì)意圖】作業(yè)1目的是鞏固所學(xué)知識，作業(yè)2主要培養(yǎng)學(xué)生良好的自學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣為目的。六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)1下列多項(xiàng)式乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（ ）A. B. C. D. 【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對平方差公式結(jié)構(gòu)特征的理解。2.填空題：(1) ( ).(2) .(3) ( ).(4) 設(shè)，則 .(5) 已知，那么a= .【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對平方差公式靈活運(yùn)用的能力。3.計(jì)算：（1） （2）（3） （4） 【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對平方差公式的理解及運(yùn)用。4.計(jì)算：（1）1998×2002 （1）-2013×2015【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對平方差公式的應(yīng)用兩個數(shù)乘積的簡捷計(jì)算的掌握。5.解答題：已知：兩個正方形的周長之和等于32cm，它們的面積之差為48cm2，求這兩個正方形的邊長?！驹O(shè)計(jì)意圖】綜合利用新舊知識解答實(shí)際生活中的問題，考查學(xué)生對知識綜合運(yùn)用的能力，同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。七、教學(xué)反思：本節(jié)課在輕松