數(shù)學(xué)建模之貸款問(wèn)題

1、數(shù)學(xué)建模之貸款問(wèn)題 姓名1： 張昌會(huì) 學(xué)號(hào)： 201105514 姓名2： 郭娟麗 學(xué)號(hào)： 201105534 姓名3： 武申金 學(xué)號(hào)： 201105547 專(zhuān) 業(yè)：統(tǒng)計(jì)學(xué)班 級(jí)：統(tǒng)計(jì)學(xué)1101班 2013年 11 月 25 日數(shù)學(xué)建模題目：貸款問(wèn)題 組員1： 姓名 張昌會(huì) 學(xué)號(hào) 201105514 班級(jí) 統(tǒng)計(jì)1101班 組員2： 姓名 郭娟麗 學(xué)號(hào) 201105534 班級(jí) 統(tǒng)計(jì)1101班 組員3： 姓名 武申金 學(xué)號(hào) 201105547 班級(jí) 統(tǒng)計(jì)1101班 摘 要隨著我國(guó)改革開(kāi)放的發(fā)展和人民生活水平的提高，人們?cè)絹?lái)越不滿足于只是吃飽、 穿暖， 而是向更高的目標(biāo)邁進(jìn)，房子、車(chē)子，自然成了人

2、們渴求的目標(biāo)。 俗話說(shuō)： “安居才能樂(lè)業(yè)”，擺在人們面前的問(wèn)題也就浮于水面。同時(shí)，從某種意義上來(lái)說(shuō)，人類(lèi)文明的進(jìn)程就是建筑和城市化的過(guò)程，人類(lèi)對(duì)居所的投資，直接為社會(huì)勞動(dòng)生產(chǎn)力的延續(xù)與發(fā)展創(chuàng)造了物質(zhì)載體。特別是國(guó)家的宏觀調(diào)控激活了房地產(chǎn)市場(chǎng)和汽車(chē)消費(fèi)市場(chǎng)，擴(kuò)大了內(nèi)需。社會(huì)傳統(tǒng)的房屋賣(mài)買(mǎi)方式受到較大沖擊而日趨縮萎， 取而代之的銀行按揭貸款買(mǎi)房買(mǎi)車(chē)成為新的購(gòu)房趨勢(shì),并日漸盛行。本文根據(jù)銀行住房貸款和我們的日常常識(shí)，首先對(duì)題目中的條件進(jìn)行合理的分析，比較并分析等額本息和等額本金兩種貸款方式，一是等額本息貸款, 計(jì)算原則是銀行從每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；二是等額本金貸款, 計(jì)算原則是每

3、月歸還的本金額始終不變，利息隨剩余本金的減少而減少。推導(dǎo)出月均還款及累計(jì)利息總額的公式，建立數(shù)學(xué)模型。其次根據(jù)給出的銀行利率，利用vc+軟件和已求出的公式，計(jì)算出月均還款額和所花費(fèi)的利息總額，制成圖表并借以分析貸款的期限與月還款之間的關(guān)系。最后對(duì)按揭貸款買(mǎi)房提出了一些我們的建議。這些天來(lái)我們對(duì)貸款買(mǎi)房的研究，使我們對(duì)這個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題有了較深的了解，相信這些實(shí)用知識(shí)對(duì)我們的 使我們對(duì)這個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題有了較深的了解，未來(lái)發(fā)展一定有很大的幫助。關(guān)鍵詞：貸款，利率，月均還款額，累計(jì)利息總額，等額本息，等額本金一、 問(wèn)題的提出隨著國(guó)家住房商品化及家用轎車(chē)商業(yè)化政策的推行，于是銀行提供了購(gòu)房貸款項(xiàng)目及轎車(chē)

4、貸款項(xiàng)目，幫助很多人解決了購(gòu)房款和購(gòu)車(chē)款的問(wèn)題。人民群眾住房條件改善的同時(shí)也帶來(lái)了不小的問(wèn)題，極少數(shù)居民有能力一次性付清房款，我國(guó)現(xiàn)行主流的兩種購(gòu)房貸款還款方式：等額本息和等額本金。現(xiàn)通過(guò)數(shù)學(xué)模型完成以下任務(wù)：1、 分別給出等額本金還款法和等額本息還款法的月供金額的計(jì)算方法。2、 通過(guò)具體的數(shù)據(jù)計(jì)算每種貸款方法月供金額和月支付利息。3、 分別計(jì)算兩種方法在貸款期限內(nèi)的總還款額和總支付利息。 4、 由計(jì)算數(shù)據(jù)分析兩種方法的還款特點(diǎn)及規(guī)律，并分析適用的人群。二、 模型的假設(shè)1、 銀行在貸款期利率不變 2、 在這段期間內(nèi)不考慮經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的影響 3、 銀行利息按復(fù)利計(jì)算 4、 客戶在還款期內(nèi)還款能力不變

5、三、 模型的參數(shù)及說(shuō)明1、 A：表示貸款總額（本金）；2、 ：表示第i個(gè)月還款本金；3、 ：表示月利率；4、 m:表示總期數(shù)（還款月數(shù)）；5、 ：表示第i個(gè)月的還款額；6、 X：表示等額本息還款法的月供金額7、 ：表示第個(gè)月還款前所剩貸款額；8、 L：表示總還款金額； 9、 S：表示總支付利息；10、：表示第i個(gè)月支付的利息；11、:表示年利率；四、 模型的分析銀行貸款還款的利息方式計(jì)算方法有等額本息還款法和等額本金還款法。在本例中，貸款總額A為300000 元，年利率R為6%，即0.06，則月利率r=年利率/12=0.5%，即0.005，貸款期數(shù)m為120 個(gè)月，即10年。（1） 等額本金還

6、款方式 等額本金，即每個(gè)月償還的本金是固定的。等額本金還款方式，即借款人除了每個(gè)月償還的固定本金之外，每個(gè)月還要支付月初剩余本金在本月的利息。每月還款額 = （貸款本金 / 還款月數(shù)）+（本金 已歸還本金累計(jì)額）×每月利率第個(gè)月月支付利息=第個(gè)月后所剩余的貸款額×月利率用數(shù)學(xué)公式直觀的表示如下：第i月還款時(shí)需還款的本金為： i=1,2,3,m第1個(gè)月應(yīng)還利息：第2個(gè)月應(yīng)還利息：第3個(gè)月應(yīng)還利息：第i個(gè)月應(yīng)還利息：第m個(gè)月應(yīng)還利息：所以，第i個(gè)月的月款金額=由上面的推導(dǎo)知，這m個(gè)月的利息逐月遞減，呈等差數(shù)列。附：因?yàn)槭紫酁?，公差為d的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為則首項(xiàng)為，公差為-，這

7、m個(gè)月的總支付利息S= = =（2） 等額本息還款方式等額，即每個(gè)月的月供金額是固定的，本息=本金總額+利息總額。等額本息還款方式，即把貸款的本金總額和利息總額加起來(lái)，然后均分到每個(gè)月。每月的還款金額=（本金總額+利息總額）/m各個(gè)月所欠銀行的貸款：第1個(gè)月： 第2個(gè)月：= =第3個(gè)月： = =附：等比數(shù)列求和 首項(xiàng)為，公比為q，則前n項(xiàng)和為 第m個(gè)月： = =因?yàn)榈趍個(gè)月欠款已全部換完，即為0。則 =0所以每個(gè)月的月供金額為 X=累計(jì)利息，即m個(gè)月的總支付利息為 S=（X-）*m第i個(gè)月所還本金為：第i個(gè)月所還利息為：五、 模型的建立及解我們建立了一個(gè)關(guān)于等額本金與等額本息的貸款問(wèn)題模型如下

8、：模型一：在滿足模型假設(shè)的情況下，貸款金額為300000 元，年利率R為0.06，月利率為0.005，貸款期數(shù)m為120 個(gè)月。（1） 等額本金還款法第i月還款時(shí)需還款的本金為： i=1,2,3,m第i個(gè)月應(yīng)還利息：第i個(gè)月的月款金額=總支付利息S=計(jì)算得到如下表格：第i個(gè)月所還本金（元）所還利息（元）月供金額（元）1250015004000225001487.53987.53250014753975425001462.52962.5118250037.52537.51192500252525120250012.52512.5求和30000090750390750由上表畫(huà)出的多線線圖如下：由上

9、述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表及統(tǒng)計(jì)圖可得到等額本金還款法有以下特點(diǎn)：等額本金還款，月供金額逐月遞減。月支付利息也是逐月遞減的，因此，等額本金還款法在貸款初期月還款額大，此后逐月遞減。（2） 等額本息還款法第i個(gè)月所還本金為：第i個(gè)月所還利息為：每個(gè)月的月供金額為 X=總支付利息為 S=（X-）*m計(jì)算得到如下表格：第i個(gè)月所還本金（元）所還利息（元）月供金額（元）11830.611500.003330.6121839.771490.843330.6131848.961481.653330.6141858.211472.403330.611183281.1549.463330.611193297.5533.06

10、3330.611203314.0416.573330.61求和30000099673.8399673.8由上表畫(huà)出的多線線圖如下：由上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表及統(tǒng)計(jì)圖可得到等額本息還款法有以下特點(diǎn)：等額本息還款，月供金額固定。月支付利息逐月遞減，月支付本金逐月遞增，因此，等額本息還款法每月還款額中的本金比重逐月遞增，利息比重逐月遞減。比較等額本金還款法和等額本息還款法，得出如下結(jié)論：等額本金還款法相對(duì)等額本息而言，總的利息支出較低，但是前期支付的本金和利息較多，還款負(fù)擔(dān)逐月遞減。這種方式很適合目前收入較高，但是已經(jīng)預(yù)計(jì)到將來(lái)收入會(huì)減少的人群。實(shí)際上，很多中年以上的人群，經(jīng)過(guò)一斷時(shí)間事業(yè)打拼，有一定的經(jīng)濟(jì)基

11、礎(chǔ)，考慮到年紀(jì)漸長(zhǎng)，收入可能隨著退休等其他因素減少，就可以選擇這種方式進(jìn)行還款。等額本息貸款法相對(duì)于等額本金還款法的劣勢(shì)在于支出利息較多，還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。但該方法每月的還款額固定，可以有計(jì)劃地控制家庭收入的支出，也便于每個(gè)家庭根據(jù)自己的收入情況，確定還貸能力。該方法比較適用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入將穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士，一般為青年人，特別是剛開(kāi)始工作的年輕人也適合選用這種方法，以避免初期太大的供款壓力。模型二：由于模型一是建立在一個(gè)沒(méi)有考慮現(xiàn)實(shí)生活中可能發(fā)生的一些情況，例如在假設(shè)還款能力和不考慮經(jīng)濟(jì)波動(dòng)這些方面的理

12、想情況，所以由模型一得出的結(jié)果可能會(huì)與實(shí)際情況有一定出入。由此我們?cè)诳紤]還款人在還款期間能夠?qū)⑺＝痤~一次還清其他假設(shè)均不變的情況下建立了模型二如下：（一）等額本金還款法假設(shè)貸款人在第i個(gè)月將所剩金額一次還清，則第i個(gè)月所還金額為：則全部還完后總的還款金額為：（二）等額本息貸款法：假設(shè)貸款人在第i個(gè)月將所剩金額一次還清，則第i個(gè)月應(yīng)還款金額為：則全部還完后總的還款金額為：提前還款一次性付清的等額本金和等額本息對(duì)比曲線如下：由上圖可發(fā)現(xiàn)，對(duì)于可以在未來(lái)的某個(gè)月一次性付清的人群來(lái)說(shuō)，可以選擇等額本金還款法，因?yàn)閮煞N還款方式最初性差不大，但是越往后，等額本金的優(yōu)勢(shì)就越明顯。六、 模型的合理性討論建模

13、時(shí)我們?nèi)藶楹雎赃€貸人可能出現(xiàn)的導(dǎo)致還貸不能進(jìn)行的特殊情況，例如市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的變動(dòng)，個(gè)人收入水平的波動(dòng)，全球范圍的金融危機(jī)，利率調(diào)整及經(jīng)濟(jì)波動(dòng)等干擾事件都有可能導(dǎo)致還款人對(duì)自己的還款計(jì)劃作出調(diào)整。在出現(xiàn)這些情況時(shí)，模型可能不再適用。但是在還款人收入穩(wěn)定，全球經(jīng)濟(jì)形勢(shì)沒(méi)有大的波動(dòng)，或者國(guó)家銀行的貨幣政策沒(méi)有改革的前提下，本模型明確的建立了還貸時(shí)間與還貸金額之間的關(guān)系，能夠較準(zhǔn)確反映每種還貸方式的特點(diǎn)，在忽略特殊情況的時(shí)候，模型可以用于解釋?zhuān)f(shuō)明各還貸方式在實(shí)際情況中的運(yùn)作過(guò)程。同時(shí)本模型直觀的反映出了等額本息和等額本金兩種還款方式的利弊，可以供不同收入人群參考，在我國(guó)大的經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)背景和國(guó)家的宏觀調(diào)控下

14、，我國(guó)的貸款政策或銀行利率近期不會(huì)變化，因此此種模型符合我國(guó)的貸款政策。七、 模型的改進(jìn)方向雖然等額本金還款法比等額本息還款法要還更少的錢(qián)，但開(kāi)頭的幾期或幾十期的負(fù)擔(dān)相對(duì)的會(huì)很重。而等額本息還款法是每月還銀行相等的金額,客戶的負(fù)擔(dān)沒(méi)那么大,所以,銀行一般都推薦等額本金還款法等額本金還款，適合目前收入較高的人群。 借款人在開(kāi)始還貸時(shí)，等額本金還款每月負(fù)擔(dān)比等額本息要重。隨著時(shí)間推移，還款負(fù)擔(dān)便會(huì)逐漸減輕。這種還款方式相對(duì)同樣期限的等額本息法，總的利息支出較低。 等額本息還款法的特點(diǎn)是每個(gè)月歸還一樣的本息和，容易作出預(yù)算。還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。 等額本息

15、還款法更適用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入將穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士。固定利率貸款就是在貸款合同簽訂時(shí)即設(shè)定好固定的利率，在貸款合同期內(nèi)，不論市場(chǎng)利率如何變動(dòng)，借款人都按照固定的利率支付利息，不需要“隨行就市”。等額遞增（減）還款方式，是指投資者在人住房商業(yè)貸款業(yè)務(wù)時(shí)，與銀行商定還款遞增或遞減的間隔期和額度。在初始時(shí)期，按固定額度還款，此后每月根據(jù)間隔期和相應(yīng)遞增或遞減額度進(jìn)行還款的操作辦法。其中，間隔期最少為1個(gè)月。它把還款年限進(jìn)行了細(xì)化分割，每個(gè)分割單位中，還款方式等同于等額本息，靈活性強(qiáng)。區(qū)別在于，每個(gè)時(shí)間分割單位的還款數(shù)額可能是等額增加或者等額遞減。 還可以有遞增法

16、，氣球貸等等，核心都是根據(jù)貸款人經(jīng)濟(jì)實(shí)力制定不同時(shí)期的本金和利息的還款額，理論上占用時(shí)間越少越省錢(qián)。模型的優(yōu)點(diǎn)：（1） 采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，可信度較高； （2） 本文建立的模型有相應(yīng)的軟件支持，推廣容易； （3） 本文建立的模型與實(shí)際緊密聯(lián)系，考慮現(xiàn)實(shí)情況的多樣性，從而使模型更貼近實(shí)際，實(shí)用性也更高； （4） 本文用數(shù)學(xué)工具，對(duì)模型嚴(yán)密求解，具有較強(qiáng)的科學(xué)性； （5） 為了更貼近實(shí)際，在靜態(tài)模型的的基礎(chǔ)上，考慮未來(lái)現(xiàn)金折現(xiàn)對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，加以驗(yàn)證；（6）借助圖表，比較形象直觀，從多方面對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析與驗(yàn)證。模型缺點(diǎn)：（1） 模型復(fù)雜因素較多，不能對(duì)其進(jìn)行全面考慮；（2） 利率的精確

17、度不同可能造成一定誤差；（3） 經(jīng)濟(jì)社會(huì)中隨機(jī)因素較多，使模型不能將其準(zhǔn)確反應(yīng)出來(lái)。模型的改進(jìn)：（1） 考慮通貨膨脹等市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的因素； （2） 考慮國(guó)家政策、重大事件比如加息對(duì)人們還貸行為的影響； （3） 對(duì)利率有更準(zhǔn)確的計(jì)算方法； （4） 考慮不同人群的消費(fèi)觀念和收入水平。八、 模型的應(yīng)用本模型適于銀行在貸款期利率不變 ，在這段期間內(nèi)不考慮經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的影響，銀行利息按復(fù)利計(jì)算 ，客戶在還款期內(nèi)還款能力不變的情況下等額本息和等額本金的貸款以及提前一次性還清的貸款問(wèn)題。參考文獻(xiàn)【1】 張廣慶等 C+程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ) 中國(guó)社會(huì)出版社?！?】 方道元，韋明俊，數(shù)學(xué)建模：方法導(dǎo)引與案例分析，浙江大學(xué)出版社

18、?！?】 周凱，宋軍全，鄔學(xué)軍，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽入門(mén)與提高，浙江大學(xué)出版社?！?】 吳禮斌 李柏年 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模 國(guó)防工業(yè)出版社?！?】 袁震東 數(shù)學(xué)建模方法 華東師范大學(xué)出版社 。附件1、等額本金還款法程序：#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;int main()int c;float a,b,d,e,f,sum=0;cout<<"請(qǐng)輸入貸款金額（元）："cin>>a;cout<<"請(qǐng)輸入年利率："cin>>

19、b;cout<<"請(qǐng)輸入還款期限（年）："cin>>c;d=a/(c*12);cout<<"等額本金還款法結(jié)果如下："<<endl;for(int i=1;i<=c*12;i+)e=(a-d*(i-1)*b/12;f=d+e;cout<<"第"<<i<<"個(gè)月 還款金額為："<<f<<"元；還的利息為："<<e<<"元。"<<endl;sum+=f;sum-=a;cout<<"累計(jì)利息為：&qu