微積分習(xí)題答案

1、一、填空題1設(shè)是的多項(xiàng)式，且，則 2 3 4設(shè)，則有 ， 4，25設(shè)，則 26 7函數(shù)的間斷點(diǎn)是 8為使函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，應(yīng)補(bǔ)充定義 19設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則參數(shù) 10函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則 2二、單項(xiàng)選擇題1設(shè)，且存在，則 2極限 不存在 3 ； ； ； 4的連續(xù)區(qū)間是_ 5函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)有 2個(gè) 3個(gè) 4個(gè) 4個(gè)以上6下列函數(shù)中，.當(dāng)時(shí)，與無窮小量相比是高階無窮小量的是_；是等價(jià)無窮小量的是_ ， 7當(dāng)時(shí)，與相比是 高階無窮小量 低階無窮小量 同階但不等價(jià)的無窮小量 等價(jià)無窮小量8當(dāng)時(shí)，與相比是 高階無窮小量 同階但不等價(jià)的無窮小量低階無窮小量 等價(jià)無窮小量9設(shè) 為連續(xù)函數(shù)，則k =_ 1 3 0

2、 310函數(shù)在點(diǎn)處有定義是當(dāng)時(shí)極限存在的 充分但非必要條件 必要但非充分條件充分必要條件 既非充分又非必要條件11當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)中比高階的無窮小量是 12當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)中為無窮小量的是 13當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)中為無窮小量的是 14設(shè)在某個(gè)極限過程中函數(shù)與均是無窮大量，則下列函數(shù)中哪一個(gè)也必是無窮大量 15設(shè)，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是 16是的 連續(xù)點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn) 無窮間斷點(diǎn)三、求下列極限1 2 345（）6 解 記 因?yàn)?即 ，由于，所以由夾逼定理，得7設(shè)，求 解 原式左端 （）由于極限存在，故。 ，四、分析題1討論極限解 因?yàn)?，故原極限不存在。2求的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類型

3、。解 因?yàn)椋?，因此有間斷點(diǎn)：為可去間斷點(diǎn)，為無窮間斷點(diǎn)。.3求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，若有間斷點(diǎn)，試指出間斷點(diǎn)的類型。解 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為，點(diǎn)為函數(shù)的第二類無窮間斷點(diǎn)。4討論函數(shù)的連續(xù)性。解 在點(diǎn)處沒有定義，是間斷點(diǎn)，故的連續(xù)區(qū)間為，點(diǎn)為的第二類無窮間斷點(diǎn)。5討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。解 ， 在點(diǎn)處連續(xù)性。6設(shè)函數(shù) （）（1）當(dāng)取何值時(shí)，點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)？是何種間斷點(diǎn)？（2）當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)在上連續(xù)？為什么？解（1）在點(diǎn)處， 當(dāng)且時(shí)，由于，所以點(diǎn)是的跳躍間斷點(diǎn)。 （2）當(dāng)時(shí)，由于，則在點(diǎn)處連續(xù)。又因?yàn)樵诨蛏?，為初等函?shù)，所以連續(xù)。故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上連續(xù)。7設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)的定義域； （2）討論函數(shù)在

4、點(diǎn)處的極限是否存在？為什么？ （3）為何值時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)？并求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；（4）畫出函數(shù)的圖形。解（1） （2）因?yàn)?，所以不存?（3）在點(diǎn)處， 所以，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。此時(shí)，的連續(xù)區(qū)間為： （4）略五、證明題1證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。證 設(shè)，在上連續(xù)，又，由零點(diǎn)定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即，故方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。2證明：方程（）至少有一個(gè)正根。證 設(shè)因?yàn)?，故由零點(diǎn)定理知，使得，所以方程至少有一正根。3證明方程（）至少有一個(gè)正根，并且不超過。證 設(shè)，下面分兩種情形來討論：情形1 若 ，則因?yàn)?，故是方程（）的正根，并且不超過。情形2 若，則因，故，又因在上連續(xù)，故由零點(diǎn)定理知，使得，因此是方程（）的正根，并且不超過。4設(shè)為正整數(shù)，函數(shù)在上連續(xù)，且，證明存在數(shù)，使得。證 若，即，取，結(jié)論成立。 若，作輔助函數(shù)，易知在上連續(xù)，因?yàn)?則個(gè)實(shí)數(shù)全部為零或同時(shí)有正數(shù)與負(fù)數(shù)， （1