平面向量的復(fù)習(xí)

1、向量的正交分解及坐標(biāo)表示1、兩個(gè)向量的夾角（1）定義已知兩個(gè)非零向量和，作，則AOB=叫做向量與的夾角。（2）范圍向量夾角的范圍是001800，與同向時(shí)，夾角=00；與反向時(shí)，夾角=1800。（3）向量垂直如果向量與的夾角是900，則與垂直，記作。注：在ABC中，設(shè)，則向量與的夾角為ABC是否正確？（答：不正確。求兩向量的夾角時(shí)，兩向量起點(diǎn)應(yīng)相同，向量與的夾角為-ABC）。2平面向量的基本定理:若是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則； 若，則； 若=(x,y)，則=(x,

2、 y)； 若，則?；揪毩?xí)1在中,設(shè)是邊上的一點(diǎn),且滿足,則的值為（ D ）源 2 在中，若點(diǎn)滿足，則=（ A ） A. B. C. D. 3已知向量若與平行，則實(shí)數(shù)的值是（ D ）A -2B0C1D24設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是（ D ）來源:Zxxk.ComA2：1 B3：1 C4：3 D3：25，且，則的值為（ A ）A. B. C. D.6如果互相垂直，則實(shí)數(shù)等于（ D 或 或2例1已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求實(shí)數(shù)x、y，使=x +y 分析：根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可解：由題意有  x +y =x（1，-1）+y（-1

3、，3）=（x-y，-x+3y）     又 =（3，5） x-y=3且-x+3y=5 解之得 x=7 且y=4例2已知A（-1，2），B（2，8），= ，= -，求點(diǎn)C、D和向量的坐標(biāo)分析：待定系數(shù)法設(shè)定點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)向量 ， 和 關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，用方程思想解之 解：設(shè)C、D的坐標(biāo)為、，由題意得 =（），=（3，6）， =（），=（-3，-6）  又= ，= -  （）=（3，6）， （）=-（-3，-6）  即 ()=(1,2) ， ()=(1,2) 且，且  且 ，且 &

4、#160; 點(diǎn)C、D和向量 的坐標(biāo)分別為（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）  例3 如圖，已知，求線段中點(diǎn)和三等分點(diǎn)的坐標(biāo) 設(shè)，則 即 點(diǎn)的坐標(biāo)為同樣可求得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為 同步練習(xí)1 化簡以下各式結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是( C )； A B. C. D. 2是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)滿足 ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ C ） A外心 B.垂心 C.內(nèi)心 D. 重心 3下列說法正確的是（ B ）一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底； 一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底； 零向量不可作為基底中的向量A. B. C. D.4

5、設(shè)向量，若表示向量的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量為（ ） A. B. C. D.5設(shè)為單位向量，（1）若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則=|·(2)若與a0平行，則=|·；（3）若與平行且|=1，則=。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（ D ）A0B1C2D6已知平面向量a= ，b=， 則向量 ( )A平行于軸 B.平行于第一、三象限的角平分線 C.平行于軸 D.平行于第二、四象限的角平分線 答案 C7已知向量，如果那么 A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向答案 D8已知=1，=,=0,點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且AOC=30°，設(shè)=m+n(m、nR)，則等于（B ）A B

6、3 C D9已知中，點(diǎn)在上，且，則= 0 10若向量與相等，已知，則的值為 11若，則與平行的單位向量是 12已知向量，且三點(diǎn)共線，則= 13給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是_.答案 215已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量， .（1） 若/，求證：ABC為等腰三角形； （2） 若，邊長c = 2，角C = ，求ABC的面積 .證明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圓半徑， 為等腰三角形解（2）由題意可知由余弦定理可知， 16已知向量點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求與的值 ，17已知，直線，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，若，求

7、點(diǎn)的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)， 則 數(shù)量積及其應(yīng)用知識點(diǎn)（1）兩個(gè)非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則AA（）叫與的夾角；說明：（1）當(dāng)時(shí)，與同向；（2）當(dāng)時(shí)，與反向；（3）當(dāng)時(shí)，與垂直，記；4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0°q180°。（2）數(shù)量積的概念 已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律成立：；對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：；分

8、配律成立：。向量的夾角：cos=。（5）兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 已知兩個(gè)向量，則·=。基本練習(xí)1設(shè)是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題： 不與垂直 其中正確的是（ D ）A. B. C. D.2 若向量與的夾角為，則向量的模為（ C ）A. B. C. D.3 設(shè)，若在方向上的投影為2，且在方向上的投影為1，則與的夾角為（ B ） B C D 或4已知是兩個(gè)不共線的向量,它們的起點(diǎn)相同,且 ,三個(gè)向量的終點(diǎn)在同一直線上,則的值為（ A ）A B1 C2 35在中，的面積，則與夾角的取值范圍是（ B ）A B. C. D. 6已知與為互相垂直的單位向量，且與的夾角為銳角

9、，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ A ）A B. C. D. 例1(1)已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。 (2)已知向量，且，則 。4解析：(1)由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)·3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24xy+25y ；將變形代入可得：y=±；再代回得：。點(diǎn)評：這里兩個(gè)條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。例2 已知，求與的夾角； 求； 若

10、，求的面積(1) (2)= (3)例3 已知都是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角。思路解析：把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0聯(lián)立求與的關(guān)系應(yīng)用夾角公式求結(jié)果。解答： 例4已知向量且 求及； 若的最小值是，求的值，（2）同步練習(xí)1 設(shè)是兩個(gè)非零向量，是在的方向上的投影，而是在的方向上的投影，若與的夾角為鈍角，則（ C ） A B CD2 為銳角三角形的充要條件是（ D ）A    B C D 3在中，若且，則的形狀是（ A ）A 等邊三角形 B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D三邊均不相等的三角形4 設(shè)，則=（ C ）A B. C. D. 5 如圖，在AB

11、C中，則=D（A） （B） （C） （D）6定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下：對任意的，令，下面說法錯(cuò)誤的是(A)若a與b共線，則(B)(C)對任意的，有(D) 答案：B7已知向量i=(1,0),j=(0,1),A,B,若，則OCD的面積為BA。 B。 C。 D。1+2來源:Z*8若非零向量a，b滿足|，則a與b的夾角為A. 300 B. 600 C. 1200 D. 15009平面上三點(diǎn)不共線，設(shè),則的面積等于（A） （B） （C） （D）解析：選C. 10已知是兩個(gè)互相垂直的單位向量, 且,則對任意的正實(shí)數(shù),的最小值是 .11 在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn) ，若（），則 112已知向量與的夾角為，則= 7 13 在中，若， 則 14 設(shè)兩個(gè)向量滿足：的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，實(shí)數(shù)的范圍為_15若向量a=，b=，且a，b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是 . 16設(shè)為圓上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（不共線）求證：與垂直當(dāng)且時(shí)，求的值17 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,