河大高等數(shù)學(xué)(同濟(jì))下冊(cè)期末考試題及答案

1、高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（一）、填空題（每小題 3分，共計(jì)24分）D=1、z = qloga(x2 y2)(a 0)的定義域?yàn)橐灰?22、重積分 ln(x y)dxdy的符號(hào)為|x| |y| 13、由曲線 y ln x及直線xy 1所圍圖形的面積用二重積分表示為4、設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為(t)(t)（ x ）,則弧長(zhǎng)元素ds5、 ,2設(shè)曲面匯為x24 A 一y 9介于z23間的部分的外側(cè)，則（xy2 1)ds6、微分方程半dx-tan 丫的通解為 x x7、方程y(4) 4y0的通解為8、的和為n 1 n(n 1)二、選擇題（每小題 2分，共計(jì)16分） 1、二元函數(shù)z f（x, y）在（X0

2、,y°）處可微的充分條件是(B)(A) f (x, y)在(Xo, y°)處連續(xù);fx(x, y) , fy(x, y)在(X0,y0)的某鄰域內(nèi)存在;(C)z fx(X0,y。)x fy(x0,y°) y當(dāng)也 x)2y)20時(shí)，是無(wú)窮小;(D)limXy2、設(shè)(A)3、設(shè)(A) 4z fx(x0,y°) Xfy(x0,y°) y.( X)2 (y)20。yf () yy；2X02d02dxf('),其中X(B) X;z2 1, zf具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則(C)y;(D)0。0,則三重積分1 3r sin cos dr ； (B)002

3、d2uX XzdV等于d 1r2sin001 3r sin0cos dr 。21 32(C)0 d02dor sin cos dr ；(D)0 d 0d24、球面X22.22y z 4a與枉面x2y2ax所圍成的立體體積 V=(A) 4 02d2a cos0一 4a2 * r2 dr ； 2a cos 22出 4 02 d0 r 4a r dr；(C) 8 02d2acos0r 4a2 r2dr ；2a cos22(D)2 d r 4a r dr o_025、設(shè)有界閉區(qū)域 D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，函數(shù)P(x, y),Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 j Pdx Qdy (

4、),P Q、，(A)( )dxdy；d y xP Q(C)()dxdy；d x y6、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(,Q P、，(B) (一 一)dxdy ；d y x,Q P、，(D)()dxdy。d x y)(A)方程xy 2y x2y 0是三階微分方程;(B)(C)方程 ydy xdy ysin x；lb-一階微分方程; dx dx(D)方程與x x 是伯努利方程。dx 2 x7、已知曲線y y(x)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與直線2x y 6 0平行，而y(x)滿足微分方程y 2y 5y 0,則曲線的方程為 y ()x(A) e sin 2x ；x ，(B) e (sin 2x cos2x)；x

5、 ，(C) e (cos2x sin 2x)；x(D) e sin 2x。8、設(shè) lim nun 0 ,則 un (nn 1(A)收斂； (B)發(fā)散； 三、求解下列問(wèn)題(共計(jì) 15分)(C)不一定;(D)絕對(duì)收斂。1、(7分)設(shè)f , g均為連續(xù)可微函數(shù)。f ( x, xy ), v g (x xy ),x tu u2、(8 分)設(shè) u(x,t) f(z)dz,求一,。 x tx t四、求解下列問(wèn)題(共計(jì) 15分)。2221、計(jì)算 I dx e y dy。(7 分) 0 x .,22222、計(jì)算I (x y )dV ,其中 是由x y 2乙z 1及z 2所圍成的空間閉區(qū)域(8分)五、(13分)

6、計(jì)算I 0 xdy ydx ,其中L是xoy面上的任一條無(wú)重點(diǎn)且分段光滑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0)的封L x y閉曲線的逆時(shí)針?lè)较?。六?9分)設(shè)又任意x, y, f (x)滿足方程f (x y) fx一LLy),且f(0)存在，求f(x)。1 f(x)f(y)七、(8分)求級(jí)數(shù)n(1)1/O、2n 1n (x 2)一的收斂區(qū)間。2n 1高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(二)z z1、設(shè) 2sin(x 2y 3z) x 2y 3z,則一 一 x y39 xy2、limxyx 0y 03、設(shè)I22xdxf (x, y )dy ,交換積分次序后,0 x4、設(shè)f(u)為可微函數(shù)，且 f(0) 0,則lim3 t

7、 0 t3 x2I 。f (. x2 y2)d y2 t25、設(shè)L為取正向的圓周x2y24,則曲線積分xx"y(ye 1)dx (2 ye x)dy 2226、設(shè) A (x yz) i (y xz) j (z xy) k ,貝U div A 7、通解為y c1ex C2e 2、的微分方程是 。二、選擇題(每小題 2分，共計(jì)16分)。，則在點(diǎn)(0, 0)處(B)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；(D)不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。2xy1、設(shè)函數(shù) f (x, y)x2,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 (t)(t) 0,則曲線積分Lf(x,y)ds (A) f( (t), (t)dt；(B) f( (t), (t)h

8、T2(t)dt ；(C) f( (t), (t)/2(t)dt；(D) f( (t), (t)dt。 yxdydz ydzdx zdxdy =()(A) 0 ；(B) 2;(C);(D)4。7、下列方程中，設(shè) y1，y2是它的解，可以推知 yy?也是它的解的方程是()0,(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在； (C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在；2、設(shè)u(x, y)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足0,則()(A)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部；(B)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上；(C)最大值點(diǎn)在 D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在 D的邊界上；(D)最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在 D的邊界上。3、設(shè)平面區(qū)域

9、 D： (x 2)2 (y 1)2 1,若 Ii (x y)2d , I2 (x y)2226、設(shè)是取外側(cè)的單位球面 x y z 1,則曲面積分dDD則有()(D)不能比較。(A) Ii I2；(B) Ii I2；(C) Ii I2；4、設(shè)是由曲面zxy, y x,x 1及z 0所圍成的空間區(qū)域，則2 3xy z dxdydz =()(A)1；361(B)362(C)(D)1364x(t)(t )，其中(t), (t)在5、設(shè)f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為y(t)(A) y p(x)y q(x) 0;(B) y p(x)y q(x)y 0;(C) y p(x)y q(x

10、)y f(x)；(D) y p(x)y q(x) 0。8、設(shè)級(jí)數(shù) an為一交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則(n 1(A)該級(jí)數(shù)必收斂;(B)該級(jí)數(shù)必發(fā)散;(C)該級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)若an 0 (n 0),則必收斂。三、求解下列問(wèn)題(共計(jì) 15分)/22、,，、一 一，、.y z )在點(diǎn) A (0, 1, 0)沿 A 指向點(diǎn) B (3, -2, 2)的方向的方向?qū)?shù)。2、(7分)求函數(shù)f(x,y) x2y(4 x y)在由直線x y 6,y 0,x 0所圍成的I區(qū)域 D上的最大 值和最小值。四、求解下列問(wèn)題(共計(jì) 15分)1、(7分)計(jì)算I dv3,其中 是由x 0, y 0,z 0及x y z 1所圍

11、成的立體(1 x y z)域。2、(8分)設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，定義 Fz2 f(x2 y2)dv,-o o o dF其中 (x,y,z) 10 z h, x y t ，求二。dt五、求解下列問(wèn)題(15分)xx2 一1、(8 分)求 I L(e sin y my)dx (e cosy m)dy ,其中 L是從 A (a, 0)經(jīng) y Vax x 到 O (0, 0)的弧。2、(7 分)計(jì)算 Ix2dydz y2dzdx z2dxdy,其中 是 x2 y2 z2 (0 z a)的外側(cè)。六、(15分)設(shè)函數(shù) (x)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分L3 (x) 2 (x) xe2xydx(x)dy與

12、路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù) (x)。高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(三)一、填空題(每小題 3分，共計(jì)24分)yz .2u1、設(shè) u e dt,貝U 。xzz2、函數(shù) f (x, y) xyfT (0,0) =°sin(x 2y)在點(diǎn)(0, 0)處沿l (1,2)的方向?qū)?shù)223、設(shè) 為曲面z 1 x y ,z 0所圍成的立體，如果將三重積分If(x,y,z)dv化為先對(duì)z再對(duì)y最后對(duì) x三次積分，則 i=。1 -一.9994、設(shè) f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則 IJm 2f (x, y)d ,其中 D : x y t。t D5、°L(x (D) z x yy2)ds ,其中 L : x2 y

13、2 a2。6、設(shè)是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果函數(shù)P(x, y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z)在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系式： ,該關(guān)系式稱為 公式。_2_ 一， *7、微分方程y 6y 9yx 6x 9的特解可設(shè)為y 。(1)n 18、若級(jí)數(shù)-發(fā)歌,則ppn 1 n二、選擇題(每小題 2分，共計(jì)16分)1、設(shè)fx(a,b)存在，則limx 0f (x a,b) f (a x, b)=(A)fx(a,b) ; (B) 0； (C),， ，、1fx(a,b) ； (D) 2fx(a,b)。2、2xy ,結(jié)論正確的是(

14、A)0；(B)20; y x(C)0;3、f(x,y)為關(guān)于x的奇函數(shù),積分域 D關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱部分記為 D1 ,D2 , f (x, y)在D上連續(xù)，則f (x,y)d (A)0； (B) 2D1f (x, y)d；(C) 4f (x, y)d ；4、D1(x2(D)2D2f (x, y)d 。(A)853R5；4(B)-3R5;5、設(shè)在xoy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L,2、y )dxdydz=165(D) R5。15在點(diǎn)(x,y)處的線密度為(x, y),則曲線弧L的重心的x坐標(biāo)x_ 1_ 1(A)x = , x (x,y)ds；(B) x = j (x,y)dx；MLM L1（C）

15、X= x （x,y）ds;（D） x=一xds,其中M為曲線弧l的質(zhì)量。LM L曲面積分6、設(shè) 為柱面x2 y21和x 0, y 0, z 1在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則22o y zdxdy xzdydz x ydxdz=()(D)。4(A) 0;(B)；(C) 5-;4247、方程y 2y f(x)的特解可設(shè)為()(A) A,若f (x)1 ；(B)Aex,若 f(x) ex；(C) Ax4 Bx3Cx2DxE,若f(x)x2 2x ；(D) x(Asin5xBcos5x),若 f (x) sin 5x。1,x 0,則它的Fourier展開(kāi)式中的an等于（）2(A) 1n1)7(B) 0

16、;（C）工；(D) o三、（12分）設(shè)yf (x,t),t為由方程F(x,y,t)0確定的x, y的函數(shù)，其中f ,F具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求o四、（8分）在橢圓x4y24上求一點(diǎn)，使其到直線2x 3y6 0的距離最短。五、（8分）求圓柱面2 y被錐面z vx2y2和平面z0割下部分的面積A。六、（1 2分）計(jì)算Ixyzdxdy,其中為球面 x2 y2z21的x 0, y 0部分的外側(cè)。x,求f (x)。七、（10分）設(shè)立厘！ 1 sin2 d（cosx）八、（10分）將函數(shù)f （x） ln（1 xx3）展開(kāi)成x的哥級(jí)數(shù)。2、5、7、2、四、2、五、1、當(dāng)0負(fù)號(hào);1801、1、1、CiD；3、6

17、、1時(shí),.y sin -x高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（一）參考答案0x210dyCx；e 1 yeycos 2x C2 sin 2x C3e2、D;3、C;f(x2dx0柱面坐標(biāo)If1t)于是當(dāng)yf2 ；f(xy2dydrt)2xC4e4、B;5、D; 6、xg (x xy)；utyef (xy2dx2r3dzt)20yedr1時(shí),B；f(xy24、7、222(t)2(t)dt;8、1;A；8、C;t);dy J123 .1 2 r dzr21434)；,Q2y(x22x22y )Q , (x, y) (0,0)； xL所圍成的區(qū)域D中不含O(00)時(shí),Q，-，m一在D內(nèi)連續(xù)。所以由 Green

18、公式得：I=0; x所圍成的區(qū)域 D中含o (0, 0)時(shí),D內(nèi)除O （0, 0）外都連續(xù)，此時(shí)作曲線l2(01）,逆時(shí)針?lè)较?，并假設(shè)一*. . D為L(zhǎng)及l(fā)所圍成區(qū)域，則-0LGree心式 (D* xP)dxdy2yx2 y2 2六、由所給條件易得:2f (0) f(0)V1 f 2(0)f(0)f (xx)又 f (x)lim -x 0xf(x)f(x) f( x).1 f (x)f( x)=lim lx 0xf(x)lim -x 0 11 f2(x) f( x) f(0)f(x)f( x)f (0)1 f2(x)即 一f (x) f1 f2(x)(0)arctanf(x)f (0) xf(

19、x)tan f (0)x c又 f(0)0 即c k ,kf(x)tan(f (0)x)七、令x.2n 11)n-2n 1limnt 2n 32n 312n 12n 1t2當(dāng)t2 J" 1時(shí)，亦即3時(shí)所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;3或x 1時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散;1時(shí),級(jí)數(shù)n(1)n 1 -收斂;1 2n 13時(shí)，級(jí)數(shù)(1)n -收斂;n 1 2n 1級(jí)數(shù)的半徑為R=1,收斂區(qū)間為1, 3。高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（二）參考答案、1、1；4222 dy y/2 f(x, y)dx ； 4、% f (0)； 35、8 ;6、2(x y z) ； 7、y y 2y 0；8、0；8、C;三、1、函數(shù)u1、C;

20、2、B;3、A;4、D;5、C;6、D;7、B;ln(x Vy2 z2)在點(diǎn) A (1, 0, 1)處可微，且2、由(i,0,i)1/2;(1,0,1)0；AB (2,fxfy(i,0,i)1/22,1)，所以lu cos + y2xy(4f(0, y)而當(dāng)x令(2x3于是相應(yīng)(3,cos1)2x y)(4 x 2y)0, f(x,0) 02 1；一,一)，故在A點(diǎn)沿l 3 3A cosAB方向?qū)?shù)為:xy(6,x 0,y 0時(shí),1/2.1) 0得D內(nèi)的駐點(diǎn)為Mo(2,1),且 f (2,1) 4,一3f(x,y) 2x12x2(0 x 6)12x2) 0 得 Xi 0, x2 4yi6, y

21、22且 f (0,6) 0, f(4,2)64.f(x,y)在D上的最大值為f(2,1)4,最小值為f(4,2)64.四、1、的聯(lián)立不等式組為1所以I dx0dydz(1 xy z)3dx 0(11X y)21 4dy(-x3 X,1 . _)dx ln 2425162、在柱面坐標(biāo)系中2F(t) 0dtdr0z2f (r 2)rdzhf(r2)r 1 h3rdr所以dF2 hf (t 故所求函數(shù)為：(x) Gec2e- x(x 2)e)t 1h3t2 htf(t2) 1h2dt33五、1、連接OA,由Green公式得:一 一 0 一OA OAL OAOAGreen公式xx(e cosy e c

22、osy22x y ax,y 0m) dxdy 02、作輔助曲面z a222 ，上側(cè)，則由 Gauss公式得:x y a2 .2(x y z)dxdydz a dxdy x2 y2 z2,0 z ax2 y2 a2a=2 dz02 xzdxdy-a 342 z dz a 0六、由題意得:3 (x) 2 (x) xe2x(x)即(x) 3 (x) 2 (x)xe2x特征方程r2 3r 2 0,特征根r11,22對(duì)應(yīng)齊次方程白通解為：y c1ex c2e2x. *9v又因?yàn)?是特征根。故其特解可設(shè)為：y x(Ax B)e、，- L1代入方程并整理得：A -, B 12*1即 y -x(x 2)e高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（三）參考答案1、yey2z2x2z2xe ；3、1dx1 x2一dy1 x21 x2 y2f (x, y, z)dz ;4、 f(0,0);52 a3;6、( x-R)dvzPdydzQdzdx Rdxdy ,Gauss公式;7、Ax2Bx8、0。1、C；2、B;3、A4、6、8、B三、由于dyfx(x,t)dxft(x,t)dt, FxdxFydy Ftdt由上兩式消去dt ，即得:dyfx Ft ftFxdxFt ftFy四、設(shè)（