導數(shù)與函數(shù)的單調性練習題

1、導數(shù)練習(三)導數(shù)與函數(shù)的單調性基礎鞏固題:1.函數(shù)f(x尸ax在區(qū)間(-2, +8)上為增函數(shù)，那么實數(shù) a的取值范圍為()x 2<a< <-1 或 a>l >>-222222.已知函數(shù)f(x) =x+2x+aln x,右函數(shù)f(x)在(0,1)上單倜，則實數(shù)a的取值范圍是()A. a>0 B . a<4 C , a>0 或 aw 4 D . a>0或 a<4一.93 .函數(shù)f(x) =x + 的單調區(qū)間為 x4 函數(shù)y x2 x3的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為5 .確定下列函數(shù)的單調區(qū)間：(1) y=x39x2+24x (2)

2、 y=3x x36 .函數(shù)y= ln( x2x 2)的單調遞減區(qū)間為 .7 .已知y= x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是單調增函數(shù)，則 b的范圍為 . 38 .已知 xe R 求證：ex>x+1.9 .已知函數(shù)f(x) x3 bx2 cx d的圖象過點P (0, 2),且在點M(1, f (1)處 的切線方程為6x y 7 0.(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式；(n)求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū) 間.11.已知函數(shù)f(x)=x 3- 2x2 .+bx+c.(1)若f(x)在(-8, +OO)上是增函數(shù)，求b的取值范圍；12.已知函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2, +8)

3、上是增函數(shù)，試確定實數(shù)a的取值范圍22 3 . 一13.已知函數(shù) f(x) 4x ax x (x R)在區(qū)間31,1上是增函數(shù)，求實數(shù) a的取值14.已知函數(shù)f (x)的切線方程6x y區(qū)間。15.已知函數(shù)f(x)強化提高題:bx2ax d的圖象過點p (0, 2),且在點M(1, f ( 1)處0, (1)求函數(shù)y f(x)的解析式；(2)求函數(shù)y f(x)的單調2x bI一 一、，乙一，、，、(x_ 1)2'求導函數(shù)f (x),并確定f(x)的單調區(qū)間.16.設f(x)、g(x)是R上的可導函數(shù)，f' (x), g' (x)分別為f(x)、g(x)的導函數(shù)，且滿 足

4、 f' ( x)g(x) + f (x) g' ( x)<0 ,貝U當 a<x<b 時，有()A . f(x)g(b)>f (b)g(x)B . f (x)g(a)>f (a)g(x)C . f (x)g(x)>f (b)g( b)D. f(x)g(x)>f(b)g(a)17 .若函數(shù)y = x3-ax2 + 4在(0,2)內單調遞減，則實數(shù) a的取值范圍是 .18 .已知函數(shù)f (x) =ax- ln x,若f(x)>1在區(qū)間(1 , 十°0)內恒成立，實數(shù) a的取值范圍 為. .19 .函數(shù)y=x2e-x的單調遞增區(qū)

5、間是 .20 . 若f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)在R增函數(shù)，則a,b,c的關系式為是21.若函數(shù)y= 4x3+bx有三個單調區(qū)間，則 b的取值范圍是 22.定義在 R上的奇函數(shù)f(x)在-a,-b (a>b>0)上是減函數(shù)且 f(-b)>0,判斷F(x) = f(x)2在b,a 上的單調性并證明你的結論23.設函數(shù)f (x) =x33ax2+3bx的圖象與直線12x+y 1 = 0相切于點(1 , 11).(1)求a、b的值；(2)討論函數(shù)f (x)的單調性.131224.右函數(shù)f(x) -x -ax (a 1)x 1在區(qū)間(1,4)內為減函數(shù)，在區(qū)間(6,)

6、 32上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.25 .設函數(shù)f(x)=x+ a(a>0).(1)求函數(shù)在(0, +8)上的單調區(qū)間，并證明之；(2)若函數(shù)xf(x)在a-2,+ 8上遞增，求a的取值范圍.26 .已知函數(shù)丫 = 2*與丫='在(0 , + 00)上都是減函數(shù) 試確定函數(shù)y= ax3+bx x2sin x= 0 只有一個根 x= 0.+5的單xx-e27 設 a 0, f(x) 一 a調區(qū)間.a 一二是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明f(x)在(0, + ) e28.求證：方程上是增函數(shù)。29 已知 f(x)=x2+c,且 f f(x) =f(x2+1)設g(x)

7、=f f (x),求g( x)的解析式;(2)設6 (x)=g(x)入f(x),試問：是否存在實數(shù)入，使6 (x)在(8 , 1)內為減函數(shù),且在( 1, 0)內是增函數(shù).課外延伸題：30 .方程x33x+c=0在0, 1上至多有 個實數(shù)根31 .若函數(shù)f(x) =x3-3x+ a有三個不同的零點，則實數(shù) a的取值范圍是 32.(2010湖北黃岡中學模擬，19)已知定義域為0, 1的函數(shù)f(x)同時滿足：對于任意 的 xC 0, 1,總有 f(x) >0; f(1)=1;若 x1 >0,x 2>0,x 1+x2W 1,則有 f(x 1+x2) > f(x 1)+f(x

8、2).(1)求 f(0)的值；(2)求 f(x)的最大值.33 .已知函數(shù)f(x)=( 工-1) 2+( 9-1) 2的定義域為m,n)且1Wm<nc 2.(1)討論函數(shù)f(x)的m x單調性；(2)證明：對任意x1、xzC m,n,不等式|f(x 1)-f(x 2)|<1恒成立.高考鏈接題：34. (2009 廣東文，8)函數(shù)f(x) = (x 3)ex的單調遞增區(qū)間是()A.(一巴 2)B. (0,3) C . (1,4)D. (2 , 十0o)35. (2010 新課標全國文)設函數(shù)f (x) = x(ex- 1) - ax2._1,、(1)右a=2,求f(x)的單倜區(qū)間；(

9、2)若當x>0時f(x)>0,求a的取值范圍.xe36. (2009江西)設函數(shù)f(x)x(1) 求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；若k 0,求不等式f'(x) k(1 x)f (x) 0的解集；,導數(shù)與函數(shù)的單調性基礎鞏固題：1 .函數(shù)f(x)= ax在區(qū)間(-2, +8)上為增函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍為(x 2<a<<-1 或 a>>>-2222、.12a.1答案：C 解析：.f(x)=a+ 在(-2,+ 8)遞增，1-2a<0,即 a>一.x 222.已知函數(shù)f (x) =x2+2x+aln x,若函數(shù)f (x)在(0,1)上

10、單調，則實數(shù)a的取值范圍是()A. a>0 B . a<一4C . a>0 或 aw - 4 D . a>0 或 a<一4答案：C 解析：£ ' (x) = 2x + 2+a, f(x)在(0,1)上單調，(x)>0 或 f ' (x)wox在(0,1)上恒成立，即 2x2+2x+a>0或2x2+ 2x+awo在(0,1)上恒成立， 所以a> (2x2 + 2x)或 aw (2x2+2x)在(0,1)上恒成立.記 g(x) =- (2x2+2x),0< x<1,可知一4<g(x)<0 , .a&g

11、t;0 或 aw 4,故選 C.3函數(shù)f(x)=x + 9的單調區(qū)間為答案：(3,0) , (0,3),9 x29解析：f (x) =1-x2 = x,令 f (x)<0,解得一3<x<0或0Vx<3,故單調減區(qū)間為(3,0)和(0,3)4 函數(shù)y x2 x3的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為-22o,2答案：(0, -) ; (,0),(一，) 解析： y 3x 2x 0,x 0,或x 3335 .確定下列函數(shù)的單調區(qū)間：(1) y=x3 9x2+24x (2) y=3x x3(1)解：y' =(x3 9x2+24x) ' =3x2 18x+24=3(x2)

12、( x 4)令 3( x- 2)( x-4) >0,解得 x>4 或 xv 2.y=x3 9x2+24x 的單調增區(qū)間是(4, +8)和(oo, 2)令 3(x- 2)( x-4) < 0,解得 2vxv 4.y=x3-9x2+24x的單調減區(qū)間是(2 , 4)(2)解：V, =(3x x3)' =3-3x2=-3(x2-1)= -3(x+1)( x-1)令-3(x+1)( x-1) >0,解得1 <x< 1.y=3xx3的單調增區(qū)間是(一1, 1).令3(x+1)( x 1) v 0,解得 x>1 或 xv1.y=3xx3的單調減區(qū)間是(一0

13、0, 1)和(1 , +oo)6 .函數(shù)y= ln( x2x 2)的單調遞減區(qū)間為 .答案(巴 -1) 解析 函數(shù)y=ln( x2 x2)的定義域為(2 , +8) u(8,21-1),令 f(x) = x x 2, f (x) =2x-1<0,得 x<2,函數(shù)y=ln( x2 x2)的單調減區(qū)間為(一°°, 1)1 3。7.已知y= -x + bx + (b+ 2)x + 3在R上不是單調增函數(shù)，則b的范圍為 .3答案b<1 或 b>2 解析 若 y' =x2 + 2bx+b + 2>0 恒成立，則 A = 4b2 4(b+ 2)&l

14、t;0, K bw2,由題意 bv 1 或 b>2.8 .已知 xCR,求證：ex>x+1.證明：設 f (x) =ex x1,貝Uf' (x) =ex- 1. .當 x=0 時，f' (x) =0,f (x) =0.當 x>0 時，f ' ( x) > 0,f (x)在(0,+ 8)上是增函數(shù).二. f (x) > f (0) =0.當 x<0 時，f ' (x) v 0, f (x)在(一8 ,0)上是減函數(shù)，f (x) > f (0) =0.八 一，1，人，一一，山斗、E 一、9 .已知函數(shù)y=x+,試討論出此函數(shù)

15、的單調區(qū)間x12 x2解：y =(x+ ) =1-1 - x =2xx1 (x 1)(x 1)(x 1)(x 1)2x> 0.解得 x>1 或 xv 1. .y=x+)的單調增區(qū)間；是(8, 1)和(1, +OO).令(x 1)(x 1) xx<0,解得一1vxv0或0vxv1.，y=x+1的單調減區(qū)間是(一1, 0)和(0, 1)x10.已知函數(shù)f(x)x3 bx2 cx d的圖象過點 P (0, 2),且在點 M(1, f (1)處的切線方程為6x y 7 0. (I)求函數(shù)y=f(x)的解析式；(n)求函數(shù)y=f(x)的單調 區(qū)間.解：(I)由f(x)的圖象經過 P (

16、0, 2),知d=2,所以 f (x) x3 bx2 cx 2, f (x) 3x2 2bx c.由 在 M(-1,f(-1) 處 的 切 線方 程 是 6xy70, 知6 f( 1) 7 0則(1) 1, f ( 1) 6.3 2b c 6,即 2b c 3, 1 b c 2 1. b c 0,解得b c 3.故所求的解析式是f (x) x3 3x2 3x 2.(n) f (x) 3x2 6x 3.令3x2 6x 3 0,即 x22x1 0.解得 Xi1 J2,x21 J2.當 x1 或x 1 J5時，f (x) 0;當 12 x 1 .2時，f(x) 0.故£他)在(,1 J2)

17、內是增函數(shù)，在(1 <2,1 <2)內是減函數(shù)，在(1 <2,)內是增函數(shù).點撥：本題考查函數(shù)的單調性、導數(shù)的應用等知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題 的能力.11 .已知函數(shù)f(x)=x 3-1x2+bx+c.若f(x)在(-8, +oo)上是增函數(shù)，求b的取值范圍；2解 (1) f (x)=3x2-x+b,因 f(x)在(-8, +oo)上是增函數(shù)，則 f(x) >0. IP 3x2-x+b>0,1. b>X -3x 2在(-°0, +OO)恒成立.設 g(x)=x-3x 2. 當 x=J 時，g(x) max= , . . b>

18、.6121212 .已知函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2, +8)上是增函數(shù)，試確定實數(shù)a的取值范圍.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x 2+ax1. f (x) =3x2-2(a+1)x+a要使函數(shù)2f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2,+ 8)上是增函數(shù)，只需 f (x) =3x -2(a+1)x+a 在(2, +8)上滿足.a 13 ,.a的取值范圍是aw _8 . 31,1上是增函數(shù)，求實數(shù) a的取值 范圍.解：f'(x) 4 2ax 2x2,因為f x在區(qū)間 1,1上是增函數(shù)，所以 f'(x) 0對 x 1,1恒成立，即x2 ax

19、 2 0對x 1,1恒成立，解之得：1 a 1所以實數(shù)a的取值范圍為1,1 .點撥：已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即“若函數(shù)單倜遞增，則 f (x) 0；若函數(shù)單調遞減，則 f (x) 0”來求解，注f (x) >0 即可.a的取值應滿足:13.已知函數(shù)f (x)f (x) =3x -2(a+1)x+a的對稱軸是a 13f (2)4x2axU 23f (彳) 3解得:aw.032x3(x R)在區(qū)間 3意此時公式中的等號不能省略，否則漏解.14 .已知函數(shù)f (x) x3 bx2 ax d的圖象過點P (0,2),且在點M(1, f ( 1

20、)處 的切線方程6x y 7 0, (1)求函數(shù)yf (x)的解析式；(2)求函數(shù)y f(x)的單調區(qū)間。 32解：(1)由 f(x)的圖象經過 P (0, 2),知 d 2,所以 f(x) x3 bx2 cx 2,f (x) 3x2 2bx c 由在點M( 1, f( 1)處的切線方程為6x y 7 0r 3 2b c 6f( 1) 1, f ( 1) 6 即解得 b c 31 b c 2 1故所求的解析式是 f (x) x3 3x2 3x 2f (x) 3x26x 3 令 3x26x3 0 ,解得 x11 J2,x21 <2當x1 行或x1 J5時，f (x) 0當 1 V2 x 1

21、 72 時，f (x) 0故f(x) x3 3x2 2在(,1 J2)內是增函數(shù)，在(1 J2,1 J2)內是減函數(shù)在(1 22,)內是增函數(shù)點撥：本題考查函數(shù)的單調性、導數(shù)的應用等知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題 的能力.15.已知函數(shù)f(x) = /" 二,求導函數(shù)f ' (x),并確定f(x)的單調區(qū)間. (x 1)2.解析：f ' (x) =(x-1)42(x1) -(2x- b) 2(x1)-2x + 2b-22x-(b-1)(x-1)3 一 (x-1)3令 f ' ( x) = 0,得 x = b 1 且 xw 1.當b 1v1,即bv2時

22、，f ' (x)的變化情況如下表:x(一 °0, b - 1)b- 1(b-1,1)(1 , +°°)f ' (x)一0十一當b 1>1,即b>2時，f ' (x)的變化情況如下表:x(8, 1)(1 , b-1)b- 1(b-1, +0°)f ' (x)一十0一所以，當b<2時，函數(shù)f(x)在(一8, b1)上單調遞減，在(b1,1)上單調遞增，在 (1 , + 00)上單調遞減.當b>2時，函數(shù)f(x)在(8, 1)上單調遞減，在(1 , b1)上單調遞增，在(b1, + OO )上單調遞減.,

23、一 ,2 ,當b 1 = 1,即b=2時，f(x)=所以函數(shù)f (x)在(一00, 1)上單倜遞減，在(1 ,x 1+ oo )上單調遞減.強化提高題：16.設f(x)、g(x)是R上的可導函數(shù)，f' (x), g' (x)分別為f(x)、g(x)的導函數(shù)，且滿足 f' (x)g(x) + f(x)g' (x)<0,貝U當 a<x<b時，有()A. f(x)g(b)>f(b)g(x) B . f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(x)>f(b)g(b) D , f(x)g(x)>f(b)g(a)答案：C解析

24、：令 y=f (x) - g(x),則 y' = f' ( x) g(x) + f (x) g' (x),由于 f' (x) g(x) + f (x)g' (x)<0 ,所以 y 在 R上單調遞減,又 x<b,故 f(x)g(x)>f (b)g(b).17.若函數(shù)y = x3-ax2 + 4在(0,2)內單調遞減，則實數(shù) a的取值范圍是 .答案3, +8）解析y' =3x22ax,由題意知3X22ax<0在區(qū)間（0,2）內恒成立，一 3 ，一、一 一，、即a>2x在區(qū)間（0,2）上恒成立，a>3.18.已知函數(shù)

25、f (x) =ax- ln x,若f（x） >1在區(qū)間（1 , +8）內恒成立，實數(shù) a的取值范圍答案a>1解析由已知1 + ln x . ,a>在區(qū)間(1 ,x+ 00）內恒成立.設 g(x)A 則 g'(x) xIn xx2 v 0(x>1),1 + ln x1- g(x)=在區(qū)間(1 , +8)x內單調遞減，g(x) vg(1) , g(1) =1,1 + In xV 1在區(qū)間(1 , +8)內恒成立 x19.函數(shù) y= x2ef的單調遞增區(qū)間是0vxv2,故選填(0,2).答案：(0,2)解析：y' = (2x-x2)e x>0?則a,b,

26、c的關系式為是20 若 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)在 R 增函數(shù)答案：a 0,且b23ac 解析：f'（x） 3ax2 2bx c 0恒成立，則a 0廠22,a 0,且 b 3ac4b2 12ac 021 .若函數(shù)y=- 4x3+bx有三個單調區(qū)間，則 b的取值范圍是 .3答案：b>0解析：y' =-4x2+b,若y'值有正、有負，則b>0.22 .定義在 R上的奇函數(shù)f(x)在-a,-b (a>b>0)上是減函數(shù)且 f(-b)>0,判斷F(x) = f(x)2在b,a 上的單調性并證明你的結論 .解析：設bwx

27、1;x2Wa,則-b >-x1>-x2> -a.f(x)在-a,-b 上是減函數(shù)，0<f(-b) & f(-x 1)<f(-x 2) & f(-a), f(x)是奇函數(shù)， -0<-f(x 1)<-f(x 2),則 f(x 2)<f(x 1)<0,f(x 1) 2< f(x 2) 2,即 F(Xi)<F(x 2).F(x)在b,a 上為增函數(shù).23.設函數(shù)f(x) =x33ax2+3bx的圖象與直線12x+y 1 = 0相切于點(1 , 11).(1)求a、b的值；(2)討論函數(shù)f (x)的單調性.解析(1)求導得

28、 f' (x) =3x26ax+3b.由于f(x)的圖象與直線12x+y1 = 0相切于點(1 , 11),所以f(1) =-11, f/ (1)=-12,解得 a= 1, b=- 3.1-3a+3b= 113-6a+3b= 12(2)由 a=1, b=- 3 得f' (x) =3x26ax+3b= 3(x2 2x3) =3(x+1)( x3).令 f' (x)>0,解得 x<1 或 x>3;又令 f' (x)<0,解得一1<x<3.所以當 xC(8,1)時，f(x)是增函數(shù)；當xC(3, 十°°)時，f(

29、x)也是增函數(shù)；當 xC(1,3)時，f(x)是減函數(shù).1124.右函數(shù)f(x) -x3 -ax2 (a 1)x 1在區(qū)間(1,4)內為減函數(shù)，在區(qū)間(6,)32上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.解：f (x) x2 ax a 1 (x 1)x (a 1),令 f (x) 0得 x 1 或 x a 1 ,當 x (1,4)時，f (x) 0,當 x (6,)時，f (x) 0, .4 a 1 6,5 a 7.25.設函數(shù)f(x)=x+ a(a>0).(1)求函數(shù)在(0, +8)上的單調區(qū)間，并證明之；(2)若函數(shù)xf(x)在a-2,+ 8上遞增，求a的取值范圍.解析：(1) f(x)在(

30、0,+8)上的增區(qū)間為Ja,+ 8,減區(qū)間為(0, V).一一 .a ,一證明：(x)=1 -,當 xe 4a,+ oo時，xf' (x)>0,當 xC (0,后)時，f' (x)<0.即f(x)在Va +°°上單調遞增，在(0, Va )上單調遞減.(或者用定義證)(2) a-2,+ 8 為/a , +8 的子區(qū)間，所以 a-2 > Jaa- Va -2 >0( <a-+1)( Ta-2) >0Oa -2 > 0a>4.26.已知函數(shù)丫 = 2*與丫= b在(0 , 十°°)上都是減函數(shù)

31、試確定函數(shù)y= ax3+bx2+5的單x調區(qū)間.解析： 可先由函數(shù)丫=2*與y = b的單調性確定a、b的取值范圍，再根據(jù) x取值范圍去確定 y=ax3+ bx2+ 5的單調區(qū)間.b< 0.解,函數(shù)y= 2*與丫=b在(0 , +8)上都是減函數(shù)，a<0, x由 y = ax3+bx2+5 得 y，=3ax2+2bx.令 y' >0,得 3ax2+2bx>0,- |b< x< 0.3a當 xC2b,0時，函數(shù)為增函數(shù).3a令 y' < 0,即 3ax2+2bxv0,2b -x< ,或 x> 0.3a在 一00,2b3a，(0

32、 , 十°°)上時，函數(shù)為減函數(shù).27 設 a 0, f(x)2是R上的偶函數(shù), e(1)求a的值；(2)證明f(x)在(0,上是增函數(shù)。解：(1)依題意，對一切x R,有f(x) f(x),即1 v1 .一即(a )(e) 0 ,所以對一切xa eR,(a1 x-)(ex aa1x) e1xae0恒成立xaex 1由于e不恒為0,所以ae證明：由f (x) ex e當 x (0,)時，有 ex(e2x1 0, a即a21 ,又因為a 0 ,所以a1) 0 ,此時 f (x)x 2xe (e 1)0 ,所以f(x)在(0是增函數(shù)個根x= 0.,11，28.求證：方程 x2s

33、inx=0只有、r -1證明 設 f(x) =x 2sin x, xC(8, +8), ，1貝U f (x) = 1 2cosx>0,.f(x)在(8, +8 )上是單調遞增函數(shù).而當 x= 0 時，f (x) = 0,1I，方程x Sin x= 0有唯一的根 x= 0.29 已知 f(x)=x2+c,且 f f(x) =f(x2+1)設g(x)=f f (x),求g(x)的解析式；(2)設6 (x)=g(x)入f(x),試問：是否存在實數(shù)入，使巾(x)在(一8 , 1)內為減函數(shù),且在( 1, 0)內是增函數(shù).解：(1)由題意得 f f(x) =f (x2+c)=( x2+c) 2+c

34、f (x2+1)=( x2+1) 2+c, . f f(x) =f(x2+1)(x2+c)2+c=( x2+1) 2+c,.1. x2+c=x2+1,c=1.1. f (x)=x2+1, g(x)=f f(x) =f (x2+1)=( x2+1)2+1(2)(1)(x)=g(x)-入 f(x)=x4+(2 入)x2+(2 入)若滿足條件的 人存在，則 曠(x)=4x3+2(2 入)x;函數(shù)6 (x)在(一8 , 1)上是減函數(shù)，當 x< - 1 時，6 ' (x) < 0即4x3+2(2 入)x< 0對于x e ( 8 , 1)恒成立 2(2-入)>4x2,.

35、x<- 1,4x2<- 4 2(2 入)4,解得入 W4又函數(shù)(J)(x)在(一1,0)上是增函數(shù) 當一1 vxv 0 時，6 ' (x) >0即4x2+2(2 入)x>0對于x C ( 1,0)恒成立 2(2 入)V4x2,. , 1V x< 0, 4V 4x2V 0 2(2 入)W4,解得人 >4故當入=4時，6 (x)在(一8 , 1)上是減函數(shù)，在(一1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的 入存在.課外延伸題：30.方程x3- 3x+c=0在0, 1上至多有 個實數(shù)根答案：1 解析.設 f (x) =x3-3x+c,貝U f (x) =3x23=3

36、 (x21).當xe(0, 1)時，f (x) <0恒成立.f (x)在(0, 1)上單調遞減. .f (x)的圖象與x軸最多有一個交點.因此方程x33x+c=0在0, 1)上至多有一實根.31.若函數(shù)f(x)=x33x+ a有三個不同的零點，則實數(shù) a的取值范圍是 答案：2<a<2 解析：f' (x) = 3x23=3(x+1)(x1).令 f ' (x) = 0,得 x= 1 或 x = 1. f (x)在(8, 1)和(1 , +8)上遞增，在(一1,1)上遞減，f( 1)>0 f(1)<0, 2<a<2.的函數(shù)f(x)同時滿足：

37、對于任意32.(2010湖北黃岡中學模擬，19)已知定義域為0, 1的 xC 0, 1,總有 f(x) >0; f(1)=1;若 x1 >0,x 2>0,x 1+x2W 1,則有 f(x 1+x2) >f(x 1)+f(x 2).(1)求 f(0)的值；(2)求 f(x)的最大值.解析：(1)對于條件，令xx2=0得f(0) W0,又由條件知f(0) >0,故f(0)=0.(2)設 0W x1<x2< 1,則 x2-x 1 £ (0,1)1. f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+x 1 -f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(

38、x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1) > 0.即 f(x 2)川 f(x 1),故 f(x)在0, 1上是單調遞增，從而 f(x)的最大值是f(1)=1.33.已知函數(shù)f(x)=(x-1) 2+( n-1) 2的定義域為m,n)且1Wm<nc 2.(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;(2)證明:對任意x1、x2£ m,n,不等式|f(x 1)-f(x2)|<1恒成立.(1)解析:解法一：: f(x)=(-1)m2 (n-1)2=J x m2n2x2x2n一+2,x2n23x2n2x (x -mn2-mx3+n2nx)=(x2-mx+mn)(x+mn )(x-.m

39、n).>0,x 2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+ , mn >0.一， 一 2.1 1< x<n < 2,''2 3m x令 f ' (x)=0,得 x= Jmn ,當 xe m, jrnn】時，(x)<o；當 xC Vmn ， n時，f ' (x)>0.1 f(x)在m, y/rmn 內為減函數(shù)，在 Vmn , n)為內增函數(shù)解法二：由題設可得x n 2 2n , f(x)=(1)+1.m x mx n令t=-m x.1 1 < m<nc 2,且 xC m,n,n >2.m1 令t '=mn=0,得 x= vmn . x當 x C m,、mn ,t ' <0;當 x C ( Jmn ,n)時，t '一 x n .>0. - t= 一 一在m, J mn 內 m x是減函數(shù)，在1.mn,n內是增函數(shù).=函數(shù)y=(t-1) 22n .+1在1m+OO上是增函數(shù),函數(shù)f(x)在m,jrnn 內是減函數(shù)，在vmn , n內是增函數(shù).(2)證明：由(1)可知,f(x)在m,n上的最小值為f( Jmn )=2( JF -1) 2,最大值為 f(m)=