近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識

1、近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識初等代數(shù)、高等代數(shù)和線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù)( Classical algebra),它的研究對象主 要是代數(shù)方程和線性方程組)。近世代數(shù)(modern algebra)又稱為抽象代數(shù)(abstract algebra), 它的研究對象是代數(shù)系，所謂代數(shù)系，是由一個集合和定義在這個集合中的一種或若干種運算所構(gòu)成的一個系統(tǒng)。近世代數(shù)主要包括：群論、環(huán)論和域論等幾個方面的理論，其中群論是基礎(chǔ)。下面，我們首先簡要回顧一下集合、映射和整數(shù)等方面的基礎(chǔ)知識，然后介紹本文需要用到的近世代數(shù)的相關(guān)知識。3. 1集合、映射、二元運算和整數(shù)3. 1. 1集合集合是指一些對象的總體，這些對象稱為集

2、合的元或元素?！霸豠是集合A的元”記作“x A”，反之，“a A”表示“ x不是集合A的元”。設(shè)有兩個集合 A和B,若對A中的任意一個元素 a (記作 a A)均有a B ,則稱A是 B的子集，記作A B。若A B且B A,即A和B有完全相同的元素，則稱它們相等， 記作A B。若A B ,但A B ,則稱A是B的真子集，或稱B真包含A,記作A B。不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一個集合的子集。集合的表示方法通常有兩種：一種是直接列出所有的元素，另一種是規(guī)定元素所具有 的性質(zhì)。例如：A a, b, c ;S xp(x),其中p(x)表示元素x具有的性質(zhì)。本文中常用的集合及記號有：整數(shù)集合

3、Z 0, 1, 2, 3,;非零整數(shù)集合Z Z 01, 2, 3,；正整數(shù)(自然數(shù))集合 Z 1,2,3,；有理數(shù)集合Q,實數(shù)集合R,復數(shù)集合C等。一個集合A的元素個數(shù)用 A表示。當A中有有限個元素時，稱為 有限集，否則稱為 無限集。用A 表示A是無限集， A 表示A是有限集。3. 1. 2 映射映射是函數(shù)概念的推廣，它描述了兩個集合的元素之間的關(guān)系。定義1設(shè)A, B為兩個非空集合，若存在一個 A到B的對應(yīng)關(guān)系f,使得對A中的 每一個元素x,都有B中唯一確定的一個元素 y與之對應(yīng)，則稱f是A到B的一個映射， 記作 y=f(x)。y稱為x的像，x稱為y的原像，A稱為f的定義域，B稱為f的定值域。

4、定義2設(shè)f是A到B的一個映射若x1，x2 A和x x2均有f(x1) f(x2),則稱f是一個單射。(2)若y B均有x A使f(x) y,則稱f是滿射。(3)若f既是單射又是滿射，則稱 f是雙射。3.1.3 二元運算3. 1. 3. 1集合的笛卡兒積由兩個集合可以用如下方法構(gòu)造一個新的集合。定義3設(shè)A, B是兩個非空集合，由 A的一個元素a和B的一個元素b可構(gòu)成一個 有序的元素對(a,b),所有這樣的元素對構(gòu)成的集合， 稱為A與B的笛卡兒積，記作A B , 即A B (a,b)a A,b B。用笛卡兒積還可定義一個集合中的運算。定義4設(shè)S是一個非空集合，若有一個對應(yīng)規(guī)則f,對S中每一對元素a

5、和b都規(guī)定了一個唯一的元素 c S與之對應(yīng)，即f是S SS的一個映射，則此對應(yīng)規(guī)則就稱為S中的一個二元運算，并表示為 a?b c,其中“ ？”表示運算符，若運算“ ？”是通常的加 法或乘法，a?b就分別記作a b或ab。由定義可見，一個二元運算必須滿足：(1)封閉性：a?b S；(2)唯一性：a ?b是唯一確定的。定義5設(shè)S是一個非空集合，若在S中定義了一種運算？(或若干種運算+,?,等)， 則稱S是一個代數(shù)系統(tǒng)，記作(S, ?)或(S, +, ?)等。3. 1. 3. 2 二元關(guān)系我們經(jīng)常需要研究兩個集合元素之間的關(guān)系或者一個集合內(nèi)元素間的關(guān)系。定義6設(shè)A, B是兩個集合，若規(guī)定一種規(guī)則R：

6、使對 a A和對 b B均可確定a和b是否適合這個規(guī)則，若適合這個規(guī)則，就說 a和b有二元關(guān)系R,記作aRb,否則就說a和b沒有二元關(guān)系R,記作aR b。3. 1. 2. 3等價關(guān)系和等價類等價關(guān)系是集合中一類重要的二元關(guān)系。定義7設(shè)是集合A上的一個二元關(guān)系，滿足以下條件：對a A,有aa；(反身性)(2)對a,b A ,有ab ba ；(對稱性)(3)對a,b,c A,有ab和bc ac。(傳遞性)則稱為A中的一個等價關(guān)系。子集a xx A,xa即所有與a等價的元素的集 合，稱為a所在的一個等價類，a稱為這個等價類的代表元。例如：設(shè)n是一取定的正整數(shù)，在整數(shù)集合Z中定義一個二元關(guān)系(mod

7、n)如下：a b(mod n) n (a b),這個二元關(guān)系稱為模 n的同余(關(guān)系)，a與b模n同余指a和b分別用n來除所得的余數(shù) 相同。同余關(guān)系是一個等價關(guān)系， 每一個等價類記作 a xx Z,x a(modn)稱為一個同 余類或剩余類。3.1.4整數(shù)在近世代數(shù)中整數(shù)是最基本的代數(shù)系。這里僅重述有關(guān)整數(shù)的基本性質(zhì)和常用概念。3. 1.4. 1 整數(shù)的運算整數(shù)的運算包括加、減、乘、除、開方、乘方、取對數(shù)等，這些運算及其性質(zhì)這里不再贅述。在整數(shù)運算中有以下兩個基本的定理：帶余除法定理 設(shè)a,b Z, b 0,則存在唯一的整數(shù) q, r滿足：a qb r, 0 r b。當r 0時，稱a能被b整除，

8、或b整除a ,記作b a ；當r 0時，稱a不能被b整 除。只能被1和它本身整除的正整數(shù)稱為 素數(shù)；除1和本身外，還能被其它整數(shù)整除的正 整數(shù)稱為合數(shù)。算術(shù)基本定理 每一個不等于1的正整數(shù)a可以分解為素數(shù)的哥之積：12saplp2ps,其中一的3. 1Pi,P2, ,ps為互不相同的素數(shù)，i Z ,(i 1,2, s)。除因子的次序外分解式是唯 此分解式稱為整數(shù)的標準分解式。.4. 2 最大公因子和最小公倍數(shù)其中令：則且有設(shè)a,b Z ,由算術(shù)基本定理可將它們表示為:Xi X2aPiP2bPiP2Pi,P2, ,Ps為互不相同的素數(shù)，Xi, Yi (iiminXi,yi(iimaxXi,yi(

9、iXsPs ,YsPs ，1,2,s)為非負整數(shù)，某些可以等于0。1,2, ,s),1,2,s),(a,b)P1 1 P2 2Pss,b12sP1 P2Ps ，設(shè)a,b Z ,不全為0,它們的正最大公因子記作(a,b),正最小公倍數(shù)記作a,b 。ab (a,b)? a, b。最大公因子還有以下重要性質(zhì)：最大公因子定理設(shè)a,b Z , a,b不全為0, d (a,b),則存在p, q Z使Pa qb d。3. 1.4. 3 互素若a,b Z ,滿足(a,b)1,則稱a與b互素。關(guān)于整數(shù)間的互素關(guān)系有以下性質(zhì):(a,b) 1 p, q Z ,使 pa qb 1。(2) a bc且(a,b)1（3）

10、設(shè)a,b Z, p為素數(shù)，則有：p abpa或pb。（4）（a,b） 1, （a,c） 1 （a,bc） 1。 a c, b c且（a,b） 1 ab c。（6）歐拉函數(shù)：設(shè)n為正整數(shù)， （n）為小于n并與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，小于n并與n互素的正整數(shù)的集合記為：Pn1,r2, ,r （n）。若n的標準分解式為： 12snP1 P2Ps ,則111（n） n（1 一）（1 一） （1 一）。P1P2Ps3. 2 群近世代數(shù)的研究對象是代數(shù)系，最簡單的代數(shù)系是在一個集合中只定義一種運算，群是由一個集合和一個二元運算構(gòu)成的代數(shù)系，它在近世代數(shù)中是最基本的一個代數(shù)系。 3. 2. 1 群的基本概念定

11、義1設(shè)G是一個非空集合，若在 G上定義一個二元運算 ？滿足：結(jié)合律：對 a,b,c G,有（a?b）?c a ? （b ?c）。則稱G是一個半群，記作（G,?）。若（G,?）還滿足：（2）存在單位元e使對 a G,有e?a a?e a；對a G有逆元a1,使a1?a a ?a 1 e,則稱（G,?）是一個群。當二元運算“ ？”為通常的加法時，（G,?）稱為加法群或加群；當二元運算“ ？”為通 常的乘法時，（G,?）稱為乘法群或乘群。定義中條件（2）可改為：有一個左單位元eL （或右單位元 eR）,使eL?a a （或a?eRa）,對 a G成立。因為由此可推出 eL eL?% eR。定義中條件

12、（3）可改為：對 a G ,有一個左逆元aL 1 （或右逆元 aR 1）,使I 1aL?ae(或 a?aR e) 成立。因為由此可推出II ii、， iiiiaLaL ?e aL ?(a?aR) (aL ?a)?aRe?aR aR 。定理1半群(G,?)是群的充要條件是：對 a,b G ,方程ax b和ya b在G中 均有解。定理2半群(G,?)是群的充要條件是左、右消去律都成立：a 0, ax ayx y,a 0, xa yax y。如果半群中含有單位元，則稱為含幺半群。如果群(G,?)適合交換律：對 a,b G,有a?b b?a ,則稱G為可換群或阿貝爾(Abel)群。通常把群的定義概括為

13、四點：封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元。如果一個群 G是個有限集，則稱 G是有限群，否則稱為無限群。G的元素個數(shù) G稱 為群的階。元素的倍數(shù)和哥定義為：na a a a,n個aan a?a? ?a,n個an為正整數(shù)，并規(guī)定 a0 e。且有：n_m_nm n、m_nmn_nn(na)b a(nb) nab, a a a , (a ) a ,當 ab ba 時有(ab) a b。滿足a2 a的元素稱為哥等元，滿足an 0,n Z的元素稱為哥零元。例1： Zn 0,1,2,二 是整數(shù)模n的同余類集合，在Zn中定義加法(稱為模 n 的加法)為a b a b。由于同余類的代表元有不同的選擇，我們必須驗證以上

14、定義的運算結(jié)果與代表元的選 擇 無 關(guān)。 設(shè) aa2, b b2, 則 有n(aa2),n (b1 b2) n (a1 a2)(b1b2) n (a1b1)(a2 b2)a1b1a2b2 所以模n的加法是Zn中的一個二元運算。顯然，單位元是0 , k Zn, k的逆元是R-k。所以(Zn，)是群。例2：設(shè)Znk|k Zn,(k,n) 1 ,在Zn中定義乘法(稱為模 n的乘法)為a ?b ab。對這個運算不僅需要檢驗它的唯一性，而且要檢驗它的封閉性，因為由a Zn ,b Zn得出ab Zn并不明顯。先證封閉性：因為由a,b Zn (a,n) 1和(b,n) 1 (ab,n) 1,所以ab Zn

15、。再證唯一性：設(shè) a a? ,b1b2 , 則有 n (a a?),n(b1b2)n(aa2) ?(b1b2)n(a1b1a2b2a1b2a2b1)n (ab1a2b2)(a2 a1)b2 a2(b2 b1) n (a1bl a2b2)a1bl a2b2所以模n的乘法是Zn中的一個二元運算。結(jié)合律顯然滿足。單位元是1。對 a Zn ,由(a,n) 1知p, q Z ,使pa qn 1 , 因而有pa 1(mod n),即p?a pa彳，所以a 1 Q ,即Zn中每一元素均有逆元。 綜上，Zn對*H n的乘法構(gòu)成群。Zn的階數(shù)為 (n)歐拉函數(shù)：小于 n并與n互素的正整數(shù)的個數(shù)。3. 2. 2群

16、的基本性質(zhì)(1)群中單位元是唯一的證明：設(shè)G中有兩個單位元 e1和e2,則有：e1 e, ?e2 e2,所以單位元是唯一的。在不致混淆的情況下，單位元簡記為1。(2)群中每個元素的逆元是唯一的證明：設(shè) a G, a有兩個逆元a1 1 G和a2 1 G ,則有：111,1、，1、111 I 八 ，,a1a e a (aa2 ) (a1 a)a2ea2a2 ，所以 a 的逆兀是唯一的。a的逆元有以下性質(zhì):(a 1)1 a；(2)若a,b可逆，則ab也可逆，且有(ab) 1 b 1a 1 ；(3)若a可逆，則an也可逆，且有(an) 1 (a 1)n an。3. 2. 3子群定義2設(shè)S是群G的一個非

17、空子集，若S對G的運算也構(gòu)成群，則稱S是G的一個 子群，并記作：S Go當S G且S G時，稱S是G的真子群，記作S G。定理3設(shè)S是群G的一個非空子集，則以下三個命題互相等價：(i )S是G的子群；1(11)對 a,b S,有 ab S和 a S;1(in)對 a,b S ,有 ab S。3. 2. 4元素的階定義3設(shè)G是有限群，a G ,可以證明一定存在最小的正整數(shù)n使：an e(1)成立，n稱為a的階或周期，記作o(a)。若沒有這樣的正整數(shù)存在，則稱 a的階是無 限的。由定義3可知，單位元的階是 1。在加群中，式(1)變?yōu)椋簄a 0(2)定理4設(shè)G是群，a G ,則：am 1 o(a)

18、m。關(guān)于元素的階還有以下重要結(jié)果：(1)有限群中每一個元素的階是有限的；(2)設(shè) G 是群，a,b G , o(a) m , o(b) n ,若(m,n) 1 和 ab ba ,則o(ab) mn ；(3)設(shè)G是群，若除單位元外其它元素都是2階元，則G是Abel群。3. 2. 5循環(huán)群和生成群設(shè)G是群，a G ,令:H ak k Z ,因為ak1,ak2 H ,有ak1(ak2) 1 ak1 k2 H ,所以H是G的子群，此子群稱為由a生成的循環(huán)子群，記作a , a稱為它的生成元。若 G= a ，則稱G是循環(huán)群。循環(huán)子群是由一個元素生成的，由幾個元素或一個子集也可生成一個子群。定義4設(shè)S是群G

19、的一個非空子集，包含 S的最小子群稱為由 S生成的子群，記作S , S稱為它的生成元集。如果G S ,且任何S的真子集的生成子群均不是G,則稱S是G的極小生成元集。任何一個生成子群都有一個極小生成元集。當 S 時，元素個數(shù)最少的生成元集稱 為最小生成元集。定義5設(shè)(G, )是一個群，H G,a G ,則a?H稱為H的一個左陪集，H ?a 稱為H的一個右陪集。定義6設(shè)G是群，H G , H在G中的左(右)陪集個數(shù)稱為 H在G中的指數(shù)，記作G : H 。當G是有限群時，則子群的階數(shù)與指數(shù)也都是有限的，它們有以下關(guān)系：定理5 (拉格朗日(Lagrange) 設(shè)G是有限群，H G ,則：G|H ?G:

20、 H這就是說，有限群G的子群的階是群 G的階的一個因子。 由拉格朗日定理立即可得如下推論：(1)設(shè)G是有限群，H G,則H| G ;(2)當G 時，對任何a G ,有o(a) G ；(3)若G p (素數(shù))，則G Cp( p階循環(huán)群)，即素數(shù)階群必為循環(huán)群。3. 3 環(huán)環(huán)是有兩個二元運算并建立在群的基礎(chǔ)上的一個代數(shù)系統(tǒng)。定義1設(shè)A是一個非空集合，在 A中定義兩中二元運算， 一種叫加法，記作+,另 種叫乘法，記作。且滿足:（1） （A, +）是一個可換群；（2） （A, ）是一個半群；（3）左、右分配律成立，對a,b,c A,有：a（b c） ab ac, （a b）c ac bc則稱代數(shù)系（A

21、, +, ）是一個環(huán)。例：設(shè)Zn0,1,2, ,1是整數(shù)模n的同余類集合，在 Zn中定義加法和乘法分別為模n的加法和乘法：aba b , a ?b ab。在前面我們已經(jīng)知道（Zn,）是群，（Zn,?） 是半群。下面我們證明分配律成立：a（b c） a（b c） a（b c） ab ac ab ac。類似有（a b）c ac bc ,所以（Zn, ,?）是環(huán)，稱為整數(shù)模n的同余類（或剩余類）環(huán)。如果環(huán)（A, +, ）對乘法也是可交換的，則稱A是可換環(huán)。設(shè)（A, +, ）是一個環(huán)，加群（A, +）中的單位元通常記作 0,稱為零元。元素a在 加群中的逆元記作 a ,稱為負元。環(huán)中的單位元指乘法半群（

22、A, ）中的單位元，記作 1。 一個元素a的逆元指的是它在乘法半群中的逆元，記作 a 1。定義2設(shè)A是一個環(huán)，a,b A,若ab 0,且a 0和b 0,則稱a為左零因子，b為右零因子。若一個元素既是左零因子又是右零因子，則稱它為零因子。定義3設(shè)（A, +, ）是環(huán)若A 0,可交換，且無零因子，則稱 A是整環(huán)。若A滿足：（1）A中至少有兩個元0和1 （即環(huán)中有單位元）；（2）A A 0構(gòu)成乘法 群。則稱A是一個除環(huán)。若A是一個可換的除環(huán)，則稱 A是域。在前述例子中，當n不是素數(shù)時，Zn中有零因子，因而不是整環(huán)，但當n是素數(shù)時，Zn是域。定理1 （Zn, ,?）是域的充要條件是n是素數(shù)。環(huán)中無左（

23、右）零因子的充分必要條件是乘法消去律成立。因此，在整環(huán)中，乘法消 去律成立。定理2 一個非零的有限的無左(右)零因子環(huán)是除環(huán)。推論有限整環(huán)是域。定義4設(shè)A和A是兩個環(huán)，若有一個A到A的映射f滿足：對任何a,b A有:f(a b) f(a) f(b),f(ab) f(a)f(b),則稱f是一個A到A的同態(tài)。如果f是單射，則稱f是一個單同態(tài)。如果f是滿射，則稱f是一個滿同態(tài)。如果f是雙射，則稱f是A到A 一個同構(gòu)映射，A和A稱為同構(gòu)。3. 4 域3. 4. 1素域和域的特征域是環(huán)的一種，如果一個環(huán)至少含有0和1兩個元素，每一個非零元均有逆元，即非零元構(gòu)成乘法群，則此環(huán)稱為除環(huán)，可交換的除環(huán)為 域。

24、在一個除環(huán)中，由于非零元素構(gòu)成群，消去律成立，因而除環(huán)中無零因子。同樣，域 中也無零因子，因而域必須是整環(huán)。如果一個域F是個有限集，則稱 F是有限域，否則稱為無限域。F的元素個數(shù)|F稱為 域的階。定理1設(shè)F是域，則元素1在(F, +)中的階數(shù)或為某個素數(shù) p,或為無窮大。定義1設(shè)F是域，若元素1在(F, +)中的階數(shù)為素數(shù) p,則稱p為域F的特征。若元 素1在(F, +)中的階數(shù)為無窮大，則稱 F的特征為0, F的特征記作chF。關(guān)于域有以下的結(jié)論：(1)若chF=0,則F是無限域。若F是有限域，則chF是某個素數(shù)。(2)若F是特征為p的域，則：(i )對任何a F ,有pa 0 ；(五)對任

25、何 a F ( F =F0)，且 na ma ,貝U n m(mod p)；mmm(iii)對任何a,b F ,有(a b)p ap bp , m為任意正整數(shù)。(3) n Z , p為素數(shù)，且n不能被p整除，則有：np 1 1(modp)。(4)域F的乘群(F ,?)的任何有限子群都是循環(huán)群。3. 4. 2子域與擴域定義2設(shè)(K,+, )是域，F(xiàn)是K的非空子集，且(K, +, )也是域，則稱F是K的子 域，K是F的擴域，記作FKo設(shè)S是域F中的一個非空子集，則包含S的最小子域，稱為由S生成的子域，記作S。 由元素1生成的子域稱為素域。3. 4. 3擴張次數(shù)、代數(shù)元和超越元設(shè)F是域，K是F的擴域

26、，由于對任何u1,u2 K和對任何a, b F ,有 au1 bu2 K，我們可以把K中元素看作向量，則au1 bu2是向量u1與u2在F上的線 性組合，從而K是F上的一個向量空間 或線性空間，此空間的維數(shù)就稱為 K對F的擴張次 數(shù)，記作(K : F )。當(K : F )有限時，稱K是F上的有限擴張，否則稱為 無限擴張。擴張次數(shù)反映了擴域與子域之間的相對大小，但還沒有反映它們的元素在性質(zhì)上的差別。我們對域中的元素作以下的分類：設(shè) K是F的擴域，uC K,若u是F上的一個多項式 f(x)的根，則稱u是F上的代數(shù)元，否則稱為超越元，多項式f(x)稱為u的化零多項式，F(xiàn) 上次數(shù)最低的首1多項式的根

27、，稱為 u在F上的最小多項式。設(shè)u在F上的最小多項式為 m(x),且degm(x)=r ,則稱u是F上的r次代數(shù)元。有 理數(shù)域Q上的代數(shù)元稱為 代數(shù)數(shù)，Q上的超越元稱為 超越數(shù)。設(shè)K是F的擴域，若K中的每一元素都是 F上的代數(shù)元，則稱K是F上的代數(shù)擴張域， 否則，稱K為F上的超越擴張域。3. 4. 4有限域具有有限個元素的域，稱為 有限域。一個有限域的特征必然是某個素數(shù) p,即chF=p, F的素域為Zp,設(shè)F對乙的擴張次數(shù)為n,即(F:Zp尸n,因為F是Zp上的n維線性空間，存 在一組基 uu2, ,un使 F a1u1 a2u2anun ai Zp,(1 i n)，所以 F中元素n個個數(shù)(

28、即F中元素在基Ui,U2, ,un下坐標組的個數(shù))為： p? p? ? p pn。這就是說，有限域的階為特征之哥。有限域又稱為 伽羅瓦(Galois )域，將pn階有限域記作GF(pn)。3. 4. 5有限域元素的性質(zhì)GF ( pn)的非零元的集合 GF (pn)是一個乘群，具有以下性質(zhì)：定理2 GF(pn)是一個pn 1階循環(huán)群。GF(pn)的生成元又叫 本原元。定義3(1)乘群GF(pn)中pn 1階的元素 稱為域GF(pn)的n次本原元。GF(pn)的n 次本原元 在Zp上的最小多項式稱為 Zp上的n次本原多項式。 rh(2)若 是萬程x 1 0的根，但不是任何x 10(h r)的根，則

29、稱 是r次本原單位根或單位原根。由以上定義可以看出， GF(pn)上的n次本原元就是乘群 GF(pn)的生成元，也是 npn 1次本原單位根(即 p 1),可以通過本原元把 GF(pn)表示的更簡單一些。 設(shè)是GF(pn)的一個n次本原元，則 GF(pn)又可表示為：GF(pn) Zp( )0, , 2, pn 1。定理3任何兩個元素個數(shù)相同的有限域是同構(gòu)的。兩個同構(gòu)的域，如果不管它們的實際背景而只考慮它們的代數(shù)性質(zhì)，可以將它們等同 起來看作一個域。伽羅瓦(Galois )域GF(q),(q ),有兩種類型：第一種：包含q=p個元素，p為一個素數(shù)，這種域同構(gòu)于整數(shù)模 p的同余類域Zp。例如：

30、若在集合Zn0,1,2, ,( p為素數(shù))中定義模p加法和模p乘法，則Zn是域GF(p)。第二種：包含pn個元素，p為素數(shù)，n為大于或等于2的整數(shù)，稱為GF(p)的擴域 GF(pn)。GF ( pn)(n 2)可看成一個多項式環(huán)，多項式的最高次數(shù)為 (n-1),多項式的系數(shù)為 Zp的元素，環(huán)中的運算為模 f(x)的多項式加法和乘法，其中，f(x)為Zp上的任一個n次不可約多項式(即f(x)的所有根都不在 Zp上)，則這個多項式環(huán)就是有限域GF(pn)。例設(shè)Fx是數(shù)域F上的多項式環(huán)例構(gòu)造一個8階的域。解 因為8 23,則 p=2,Z20,1,取 q(x)1 x2 x3Zzx,由于q(0) 0,q

31、(1) 0,故q(x)在Z2上不可約，所以Z2上的擴域：E Z2/(q(x)b0b1xb2x2,biZp0,1,x,1 x,x2,1 x2 ,xx2,1 x x2就是一個8階的有限域。有限域還具有以下的性質(zhì)：(1)若F是有限域，則 F的特征(characteristic)chF是某個素數(shù)。(2)若F是特征為p的域，則：(i )對任何a F ,有pa 0;(ii)對任何 a F F F 0 ,且 na ma ,則 n m(mod p)；n n n(m)對任何a,b F ,有(a b)p ap bp , n為任意正整數(shù)。(3) n Z Z Z 0 , p為素數(shù)，且 p?n,則有：np 1 1(mo

32、d p)。(4)域F的乘群(F ,)的任何有限子群都是循環(huán)群。以下給出有限域性質(zhì)(5)(14)的證明，性質(zhì)(1)(4)的證明參看文獻121315。(5) GF(q),q 3中含有(q 1)個本原元，表示歐拉函數(shù)，且(q 1) 一定為偶數(shù)。證明 設(shè)(q 1)的標準分解式為 團：叫 m2mr(q 1)Pi p2pr,式中：Pi,P2,Pr為互不相同的素數(shù)，mi Z ,(i 1,2, r)。則：(q 1) (q 1)(1 )(1 -) (1 ,)pj 1 Prmr 1( Pi 1) (Pr 1)PiP2Pr(A-1)注意到(q 1) 一定為正偶數(shù)，設(shè)(q 1) 2k, k Z。因為q 3,所以：若k

33、 2k1, k1 Z，則(q 1) 22k,所以(q 1)一定為2的倍數(shù)，即(q 1) 一定為偶數(shù)；Z ，則(q 1)2(2k2 1),所以 Pi,P2, , Pr 中至少有若 k 2k2 1, k2個不為2的素數(shù)，即P1,P2, , Pr中至少有一個為奇數(shù)，所以 (q 1) 一定為2的倍數(shù),即(q 1) 一定為偶數(shù)。綜上，(q 1)一定為偶數(shù)。(1)GF(q)中含有(q 1)個本原元，表示歐拉函數(shù)。2 2.1 1例 對 GF(101),因為 101 1 100 2 5,故(100) 2 5 (2 1)(5 1) 40,所以GF(101)具有40個本原元。(6) GF(q),q 2中含有的本原

34、元最多為(q 1)/2個，當且僅當q 2k 1, k Z時，本原元的個數(shù)達到最大值(q 1)/2。證明 因為q為大于或等于2的素數(shù)。當q=2時，GF(2)中含有一個本原元一1。設(shè)q為大于2的奇數(shù)，則(q-1)為偶數(shù)。所以與(q-1)互素的正整數(shù)必須為奇數(shù)，而 小于(q-1)的奇數(shù)個數(shù)為(q 1)/2,這樣小于(q-1)并與(q-1)互素的個數(shù)一定小于或等于(q 1)/2,即(q 1) (q 1)/2。所以，GF(q),q 2中含有的本原元個數(shù)最多為(q 1)/2個。當 q 2k 1 時，(q 1) 2k, (q 1) (q 1)(1 1/2)(q 1)/2,即 GF (q)中含有的本原元達到最

35、大值 (q 1)/2。若GF (q)中含有的本原元達到最大值(q 1)/2,即(q 1) (q 1)/2,由此可推出：(q 1) (q 1)(1 1/P1)，且 P1 2,即 q 2k 1。設(shè) 為GF (q)的本原元，則：(q1)21。證明 因為為GF(q)的本原元，所以 的階為(q-1),即(q-1)是使(q 1)1的最小正整數(shù)。由(q 1) 1 ,可得(q)21。若(q 1)'21，與(q-1)是使(q 1) 1的最小正整數(shù)矛盾，所以(q 1"21。(8)設(shè) 為GF(q)的本原元，則：1也是GF(q)的本原元，且 1 q2。證明 因為 為GF(q)的本原元，所以的各次哥(

36、k,k 1,2,(q 1)生成GF (q)的所有非零元素，這些非零元素構(gòu)成循環(huán)群，所以k的逆元(k) 1存在且唯一。所有非零元素，所以1也是GF (q)的本原元。因為q 2q 11所以 1 q 2(9)設(shè) 為GF (q)中的非零元素，則：q證明設(shè)， GF(q),為本原元，k,k 1,2,(q 1)得到：q 1 ( k)q 1( q 1 )k 1k 1(10)設(shè) 和 為GF(q)(q 2)的本原元,m, 1 m (q特別地，若為GF (q)的本原元，Pq 1(A-2)(A-3)111 o為任意非零元素，且：(A-4)(A-5)則：1),且m為奇數(shù)。1，2，r (q 1)為小于(q-1)并與(q-

37、1)互又因為k的逆元為(1)k,所以每個(1)k存在且唯一。即1的各次哥生成GF(q)的素的正整數(shù)的集合，則：GF(q)的所有本原元可表示為：1, r2, r(q1),即Pq證明假設(shè)2n (n Z )為659)的本原元，則：(2n)(q 1"2 ( (q 1)n 1 ,當q>2時，這與性質(zhì)(7)是矛盾的(在 GF(2)中，1 1 (mod 2),但這種情況只出現(xiàn)在 GF(2)中)。因此，當q>2時，GF(q)中的一個本原元不能是另一個本原元的偶次哥。即GF(q)中的一個本原元只能是另一個本原元的奇次哥。即：m, 1 m (q 1),且m為奇數(shù)。設(shè) 1 r q 1,且 rP

38、q 1 ,則存在 n q 1,使得 rn l(q 1),l Z ，則:( r)n rn l(q 1)1 ，因為 n q 1 ，所以 r 不是本原元。另外，設(shè)1 r (q 1),且rPqi,n是使(r )n 1的最小正整數(shù)，則n等于(q-1),即 r 的階為 (q-1) ，所以 r 是本原元。所以 GF (q) 的所有本原元可表示為： k , kPq 1 ，即 GF (q) 中含有 (q 1)個本原元。(11) 有限域 GF (q) 中， 具有(q 1)2 個本原元， 其中， 為歐拉 函數(shù)， 為正整數(shù)。所有2個本原元可分為兩組，設(shè)為 Q)和 )，每組 個元素，這兩組的元素之間可用某個哥指數(shù)n(1

39、<n<q-1),且(n,q-1)=1)來聯(lián)系，即：(n).(n)i 1 i,若哥指數(shù)n改變值，則I組與n組對應(yīng)的元素對會發(fā)生改變，但每組的元素個數(shù)不變，都為。證明 設(shè) 為 GF (q) 的本原元，Pq 11, r2 , r (q 1) 為小于 (q-1) 并與 (q-1) 互素的正整數(shù)的集合，由有限域性質(zhì)(10) 可知， GF (q ) 的所有本原元可表示為： k , kPq 1 。設(shè) nPq 11r2,r (q 1) ，由 (k,q 1) 1, (n,q 1) 1 ，可得：(k n m(q 1),q 1) 1, 1 (k n m(q 1) q 1, m 0,1,2,， 所 以k n m(q 1)kn 為本原元。設(shè)k1, k2Pq 1,k1 k2 ，則：k1 n m1(q 1)k2 n m2(q 1),