相似三角形典型模型及例題

1、優(yōu)秀教案歡迎下載1:相似三角形模型:相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（三）母子型三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示:（五）一線三直角型：三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方 形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似, 這往往是很

2、多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。（六）雙垂型:相似三角形判定的變化模型一線三等角的變形DC一線三直角的變形2:相似三角形典型例題（1）母子型相似三角形例1 :如圖，梯形 ABCD中，AD / BC,對角線 AC、BD交于點O, BE/ CD交CA延長線于 E.2求證：OC =OA OE .例2：已知：如圖， “BC中，點E在中線AD上，NDEB=/ABC.求證：（1） DB2=DE，DA; （2） NDCE=/DAC.例3:已知：如圖，等腰 那BC中，AB=AC, ADXBC于D, CG/AB, BG分別交AD、AC于E、F.求證：BE2 =EF EG .21、如圖，已知 AD為

3、"BC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證： FD = FB FC .2、已知：AD是RtAABC中/ A的平分線，/ C=90° , EF是AD的垂直平分線交 AD于M , EF、BC的延長線交于一點 N。求證：(1)AAMENMD; (2)ND2=NCNB3、已知：如圖，在 AABC 中，/ ACB=90° , CD，AB 于 D, E 是 AC 上一點，CF，BE 于 F。求證：EB DF=AE DB4.在AABC中，AB=AC ,高AD與BE交于H, EF_LBC ,垂足為F,延長AD到G,使DG=EF, M是AH的中點。求證：/GBM=90'

4、AB5已知：如圖，在 Rt祥BC中，/ C=90 °, BC=2, AC=4, P是斜邊 AB上的一個動點， PDXAB,交邊 AC 于點D (點D與點A、C都不重合)，E是射線DC上一點，且/ EPD = Z A.設(shè)A、P兩點的距離為 x, ABEP 的面積為y. (1)求證：AE=2PE;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)ABEP與GABC相似時，求 4BEP的面積.P(2)雙垂型1、如圖，在 AABC中，/ A=60°, BD、CE分別是 AC、AB上的高求證：(1) AABDsace；(2) AADEsabc； (3)BC=2ED2、如圖，已知

5、銳角 AABC , AD、CE分別是BC、AB邊上的高，AABC和ABDE的面積分別是 27和3, DE=6拒，求：點B到直線AC的距離。(3)共享型相似三角形，已知BD=1 , CE=3,求等邊三角形的邊長1、AABC是等邊三角形， DBCE在一條直線上，/DAE=120DAE=45°.求證：(1)9BEs祥CD；(2) BC2 =2BE CD .(4) 一線三等角型相似三角形例1:如圖，等邊 9BC中，邊長為6, D是BC上動點，/ EDF=60°(1)求證：BDEsCFD(2)當(dāng) BD=1, FC=3 時，求 BED例2:(1)在AABC中，AB = AC=5, BC

6、 =8 ,點P、Q分別在射線點B重合)，且保持NAPQ =/ABC.若點P在線段CB上(如圖)，且BP=6,求線段CQ的長；若BP = x, CQ = y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;例3:已知在梯形 ABCD中,當(dāng)CE= 1時，寫出AP的長.(2)正方形ABCD的邊長為5 (如下圖)，點P、Q分別在直繾CB、DC上(點P不與點C、點B重合)，且保持NAPQ =90 當(dāng)CQ =1時，求出線段 BP的長.AD/BC, ADVBC,且 AD = 5, AB = DC = 2.(1)如圖8, P為AD上的一點，滿足/ BPC = Z A.求證；ZBPA DPC求AP的長.(2)如果

7、點P在AD邊上移動(點 P與點A、D不重合)，且滿足/ BPE=/A, PE交直線BC于點E,同時交直線DC于點Q,那么當(dāng)點Q在DC的延長線上時，設(shè)AP = xCQ = y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;例4：如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB = CD = BC=6, AD =3 .點M為邊BC的中點，以M為頂點作NEMF =/B ,射線ME交腰AB于點E ,射線MF交腰CD于點F ,聯(lián)結(jié)EF .(1)求證：4MEFBEM ;(2)若4BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；(3)若 EF -LCD ,求 BE的長.ApA d1、如圖，在 那BC中，AB=AC=

8、8, BC=10, D是BC邊上的一個動點，點 E在AC邊上，且 ZADE =/C .求證：AABDsDCE;(2)如果BD=x, AE =y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的定義域；(3)當(dāng)點D是BC的中點時，試說明 那DE是什么三角形，并說明理由.2、如圖，已知在 那BC中， AB=AC=6, BC=5, D是AB上一點，BD=2, E是BC上一動點，聯(lián)結(jié) DE,并作/DEF =/B ,射線EF交線段AC于F.(1)求證：ADBEsecf；(2)當(dāng)F是線段AC中點時，求線段 BE的長；(3)聯(lián)結(jié)DF,如果ADEF與4DBE相似，求FC的長.3、已知在梯形 ABCD 中，AD / B

9、C, ADvBC,且 BC =6, AB=DC=4,點 E 是 AB 的中點.(1)如圖，P為BC上的一點，且 BP=2.求證：BEPsCPD;(2)如果點P在BC邊上移動(點 P與點B、C不重合)，且滿足/ EPF = /C, PF交直線CD于點F, 同時交直線 AD于點M,那么當(dāng)點F在線段CD的延長線上時，設(shè) BP=X, DF=y，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的 定義域；4、如圖，已知邊長為3的等邊4ABe，點F在邊BC上，CF =1，點E是射線BA上一動點，以線段EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG，直線EG，F(xiàn)G交直線ac于點M , N ,(1)寫出圖中與ABEF相似的三角形；(2)證明

10、其中一對三角形相似；(3)設(shè)BE =x,MN = y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;(4)若AE =1，試求AGMN的面積.甲 C(5) 一線三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3 ,點P是AD上的一個動點，且和點A,D不重合，過點P作PE _L CP , 交邊AB于點E,設(shè)PD = x, AE = y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍。例 2、在 AABC 中，NC =90°, AC = 4, BC =3,0 是 AB 上的一點，且C也 =2 ,點P是AC上的一個動點，PQ _L OP交線段BC于點Q,(不/ AB 5QP

11、與點B,C重合)，設(shè)AP = x,CQ = y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出/卜定義域。o31 .在直角AABC中，/C=90 ,AB =5,tan B =，點D是BC的中點，點E是AB邊上的動點，DF _l DE 4交射線AC于點F(1)、求AC和BC的長(2)、當(dāng)EFBC時，求BE的長。(3)、連結(jié)EF,當(dāng)ADEF和AABC相似時，求BE的長。2 .在直角三角形 ABC中，ZC =90°, AB =BC,D是AB邊上的一點，E是在AC邊上的一個動點，(與A,C不重合)，DF _L DE ,DF與射線BC相交于點F.(1)、當(dāng)點D是邊AB的中點時，求證： DE =DFt AD - DE 鉆/古(2)、當(dāng)=m，求的值DBDFAD 1(3)、當(dāng)AC =BC =6,=,設(shè)AE = x,BF =丫,求丫關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域DB 233 .如圖，在AABC中，/C=90> AC=6, tanB=, D是BC邊的中點，E為AB邊上的一個動點, 4作ZDEF =90°, EF交射線BC于點F .設(shè)BE = x , ABED的面積為y .(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(2)如果以B、E、F為頂點的三角形與 ABED相似，求ABED