河南省南陽市高二下期中數(shù)學試卷理科解析

1、2015-2016學年河南省南陽市高二（下）期中數(shù)學試卷（理科）一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1復數(shù)的虛部是（）AiBiC1D12如果命題p（n）對n=k成立（nN*），則它對n=k+2也成立，若p（n）對n=2成立，則下列結(jié)論正確的是（）Ap（n）對一切正整數(shù)n都成立Bp（n）對任何正偶數(shù)n都成立Cp（n）對任何正奇數(shù)n都成立Dp（n）對所有大于1的正整數(shù)n都成立3已知函數(shù)f（x）=+1，則的值為（）ABCD04直線與曲線相切，則b的值為（）A2B1CD15已知復數(shù)z的模為2，則|zi|的最大值為（）A1B2CD36曲

2、線y=ex在點（0，1）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（）AB1C2D37用反證法證明某命題時，對其結(jié)論：“自然數(shù)a、b、c中恰有一個奇數(shù)”正確的反設(shè)為（）Aa、b、c都是奇數(shù)Ba、b、c都是偶數(shù)Ca、b、c中至少有兩個奇數(shù)Da、b、c中至少有兩個奇數(shù)或都是偶數(shù)8已知函數(shù)f（x）=x33x+c有兩個不同零點，且有一個零點恰為f（x）的極大值點，則c的值為（）A0B2C2D2或29已知ba，下列值： f（x）dx， |f（x）|dx，|的大小關(guān)系為（）A|f（x）|dxf（x）dxB |f（x）|dx|f（x）dx|f（x）dxC |f（x）|dx=|f（x）dx|=f（x）dxD |f（x

3、）|dx=|f（x）dx|f（x）dx10設(shè)f（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，將y=f（x）和y=f（x）的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）ABCD11設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（，0）上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，則不等式（x+2014）2f（x+2014）4f（2）0的解集為（）A（，2012）B（2012，0）C（，2016）D（2016，0）12已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（x）kx有3個零點，則實數(shù)k的取值范圍為（）ABC（1，+）D二.填空題，本大題共4小題每小題5分，共20分.13（x+x2+sinx）dx=14若f（n）=12+2

4、2+32+（2n）2，則f（k+1）與f（k）的遞推關(guān)系式是15已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a處取到極小值，則實數(shù)a的取值范圍是16先閱讀下面的文字：“求的值時，采用了如下的方法：令=x，則有=x，從而解得x=（負值已舍去）”；運用類比的方法，計算： =三.解答題，本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17已知復數(shù)，若|z|2+az+b=1i（）求；（）求實數(shù)a，b的值18已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過點M（1，4），曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直（1）求實數(shù)a，b的值；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間

5、m，m+1上單調(diào)遞增，求m的取值范圍19設(shè)x0，y0，z0，（）比較與的大??；（）利用（）的結(jié)論，證明：20是否存在常數(shù)a，b，使等式對于一切nN*都成立？若不存在，說明理由；若存在，請用數(shù)學歸納法證明？21設(shè)函數(shù)f（x）=+xlnx，g（x）=x3x23（I）如果存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；（II）如果對于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍.22已知函數(shù)（I）當a=1時，求f（x）在x1，+）最小值；（）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（）求證：（nN*）2015-2016學年河南省南陽市高二（下）

6、期中數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1復數(shù)的虛部是（）AiBiC1D1【考點】復數(shù)的基本概念【分析】根據(jù)復數(shù)的基本運算化簡復數(shù)即可【解答】解： =，則復數(shù)的虛部是1，故選：C2如果命題p（n）對n=k成立（nN*），則它對n=k+2也成立，若p（n）對n=2成立，則下列結(jié)論正確的是（）Ap（n）對一切正整數(shù)n都成立Bp（n）對任何正偶數(shù)n都成立Cp（n）對任何正奇數(shù)n都成立Dp（n）對所有大于1的正整數(shù)n都成立【考點】數(shù)學歸納法【分析】根據(jù)題意可得，當命題P（2）成立，可推出 P（4）、P

7、（6）、P（8）、P（10）、P（12）均成立【解答】解：由于若命題P（n）對n=k成立，則它對n=k+2也成立 又已知命題P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）均成立，即p（n）對所有正偶數(shù)n都成立故選：B3已知函數(shù)f（x）=+1，則的值為（）ABCD0【考點】極限及其運算【分析】利用導數(shù)的定義和運算法則即可得出【解答】解：函數(shù)f（x）=+1，f（x）=1×=f（1）=故選：A4直線與曲線相切，則b的值為（）A2B1CD1【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】先設(shè)出切點坐標，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出在切點處的導數(shù)，從而求出切點橫坐標，再根據(jù)切

8、點既在直線的圖象上又在曲線上，即可求出b的值【解答】解：設(shè)切點坐標為（m，n）y|x=m=解得 m=1切點（1，n）在曲線的圖象上，n=，切點（1，）又在直線上，b=1故答案為：B5已知復數(shù)z的模為2，則|zi|的最大值為（）A1B2CD3【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，知|z|=2對應的軌跡是圓心在原點半徑為2的圓，|zi|表示的是圓上一點到點（0，1）的距離，其最大值為圓上點（0，2）到點（0，1）的距離【解答】解：|z|=2，則復數(shù)z對應的軌跡是以圓心在原點，半徑為2的圓，而|zi|表示的是圓上一點到點（0，1）的距離，其最大值為圓上點（0，2）到點（0，

9、1）的距離，最大的距離為3故選D6曲線y=ex在點（0，1）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（）AB1C2D3【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】要求切線與坐標軸所圍成的三角形的面積，只須求出切線在坐標軸上的截距即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率最后求出切線的方程，從而問題解決【解答】解：依題意得y=ex，因此曲線y=ex在點（0，1）處的切線的斜率等于1，相應的切線方程是y=x+1，當x=0時，y=1；即y=0時，x=1，即有切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為：S=×1×1=故選：A7用反證法證明某命題時，對其結(jié)

10、論：“自然數(shù)a、b、c中恰有一個奇數(shù)”正確的反設(shè)為（）Aa、b、c都是奇數(shù)Ba、b、c都是偶數(shù)Ca、b、c中至少有兩個奇數(shù)Da、b、c中至少有兩個奇數(shù)或都是偶數(shù)【考點】反證法與放縮法【分析】用反證法證明某命題時，應先假設(shè)命題的否定成立，即可得出結(jié)論【解答】解：用反證法證明某命題時，應先假設(shè)命題的否定成立，而：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個奇數(shù)”的否定為：“a，b，c中至少有兩個奇數(shù)或都是奇偶數(shù)”，故選D8已知函數(shù)f（x）=x33x+c有兩個不同零點，且有一個零點恰為f（x）的極大值點，則c的值為（）A0B2C2D2或2【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點的判定定理【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的極

11、大值和極小值，要使函數(shù)f（x）=x33x+c只有2個零點，則滿足極大值等于0或極小值等于0根據(jù)有一個零點恰為f（x）的極大值點，得f（x）的極大值為0，解方程即可【解答】解：f（x）=x33x+c，f（x）=3x23，由f（x）0，得x1或x1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f（x）0，得1x1，此時函數(shù)單調(diào)遞減即當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值要使函數(shù)f（x）=x33x+c只有兩個零點，則滿足極大值等于0或極小值等于0，有一個零點恰為f（x）的極大值點，必有f（1）=1+3+a=c+2=0，解得c=2；故選：C9已知ba，下列值： f（x）dx， |f（x）|dx

12、，|的大小關(guān)系為（）A|f（x）|dxf（x）dxB |f（x）|dx|f（x）dx|f（x）dxC |f（x）|dx=|f（x）dx|=f（x）dxD |f（x）|dx=|f（x）dx|f（x）dx【考點】定積分；不等關(guān)系與不等式【分析】根據(jù)定積分的幾何意義，分別討論函數(shù)y=f（x）及函數(shù)y=|f（x）|的圖象在x軸上下方的可能情況，然后由微積分基本定理分析三個定積分對應曲邊梯形的面積的大小【解答】解：當函數(shù)y=f（x）在a，b上的圖象在x軸上方，定積分就是求函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b中圖線下包圍的面積，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所圍成圖形的面積，此時f（x）dx=|f（x）|

13、dx=|；當函數(shù)y=f（x）在a，b上的圖象在x軸下方，定積分就是求函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b中圖線上方包圍的面積的負值，即由 y=0，x=a，x=b，y=f（x）所圍成圖形的面積的負值，此時函數(shù)y=|f（x）|的圖象在x軸上方，所以=0，0；當函數(shù)y=f（x）的圖象在a，b上x軸的上下方都有，不防設(shè)在a，c）上在x軸上方，在（c，b上在x軸下方，則為上方的面積減去下方的面積，為上方的面積減去下方面積的絕對值，為上方的面積加上下方的面積；若函數(shù)y=f（x）的原函數(shù)為常數(shù)函數(shù)y=0，則f（x）dx=|f（x）|dx=|；綜上，三者的關(guān)系是故選B10設(shè)f（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，將y=f（x）和

14、y=f（x）的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）ABCD【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)的幾何意義【分析】本題可以考慮排除法，容易看出選項D不正確，因為D的圖象，在整個定義域內(nèi)，不具有單調(diào)性，但y=f（x）和y=f（x）在整個定義域內(nèi)具有完全相同的走勢，不具有這樣的函數(shù)【解答】解析：檢驗易知A、B、C均適合，不存在選項D的圖象所對應的函數(shù)，在整個定義域內(nèi)，不具有單調(diào)性，但y=f（x）和y=f（x）在整個定義域內(nèi)具有完全相同的走勢，不具有這樣的函數(shù)，故選D11設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（，0）上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，則不等式（x+2014）

15、2f（x+2014）4f（2）0的解集為（）A（，2012）B（2012，0）C（，2016）D（2016，0）【考點】導數(shù)的運算【分析】根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論【解答】解：由2f（x）+xf（x）x2，（x0），得：2xf（x）+x2f（x）x3，即x2f（x）x30，令F（x）=x2f（x），則當x0時，得F（x）0，即F（x）在（，0）上是減函數(shù)，F(xiàn)（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F(xiàn)（2）=4f（2），即不等式等價為F（x+2014）F（2）0，F(xiàn)（x）在（，0）是減函數(shù)，由F（x+2014）F（2）得，x

16、+20142，即x2016，故選：C12已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（x）kx有3個零點，則實數(shù)k的取值范圍為（）ABC（1，+）D【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個數(shù)判斷；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用【分析】由題意畫出圖象，利用導數(shù)對x分x=0、x0、x0三種情況各有一個零點時的k的取值范圍求出來，再求交集即可【解答】解：由題意畫出圖象：（1）當x=0時，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函數(shù)f（x）kx的一個零點；（2）由函數(shù)的圖象和單調(diào)性可以看出，當x0和x0時，分別有一個零點當x0時，由x2+x=kx，化為x=k0

17、，解得k；當x0時，只考慮k即可，令g（x）=ln（x+1）kx，則g（x）=k，A當k1時，則g（x）0，即g（x）在（0，+）上單調(diào)遞減，g（x）g（0）=0，g（x）無零點，應舍去；B當k1時，01，g（x）=，令g（x）=0，解得x=1，列表如下： x g（x）+0 g（x） 單調(diào)遞增絕對值 單調(diào)遞減由表格可知：當x=時，g（x）取得極大值，也是最大值，當且僅當g（）0時，g（x）才有零點，g（）=ln（1k）=klnk1下面證明h（k）=klnk10，k（，1）h（k）=1=0，h（k）在（，1）上單調(diào)遞減，g（）=h（k）h（1）=1ln11=0，因此g（）0在k（，1）時成立綜上

18、可知：當且僅當k1時，函數(shù)f（x）kx有三個零點故選：B二.填空題，本大題共4小題每小題5分，共20分.13（x+x2+sinx）dx=【考點】定積分【分析】根據(jù)定積分的計算法法則計算即可【解答】解：（x+x2+sinx）dx=（cosx）|=（+cos1）（cos1）=，故答案為：14若f（n）=12+22+32+（2n）2，則f（k+1）與f（k）的遞推關(guān)系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2【考點】數(shù)列遞推式【分析】分別求得f（k）和f（k+1）兩式相減即可求得f（k+1）與f（k）的遞推關(guān)系式【解答】解：f（k）=12+22+（2k）2，f（k+1）=12+22+

19、（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，兩式相減得f（k+1）f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）215已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a處取到極小值，則實數(shù)a的取值范圍是a1或a0【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件【分析】根據(jù)函數(shù)導數(shù)的定義和性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：由f（x）=a（x+1）（xa）=0，解得a=0或x=1或x=a，若a=0，則f（x）=0，此時函數(shù)f（x）為常數(shù)，沒有極值，故a0若a=1，則f（x）=（x+1）20，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，沒有極值，故a1若a1，由f（x）

20、=a（x+1）（xa）0得ax1此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f（x）=a（x+1）（xa）0得xa或x1此時函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在x=a處取到極小值，滿足條件若1a0，由f（x）=a（x+1）（xa）0得1xa此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f（x）=a（x+1）（xa）0得x1或xa，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在x=a處取到極大值，不滿足條件若a0，由f（x）=a（x+1）（xa）0得x1或xa此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f（x）=a（x+1）（xa）0得1xa，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在x=a處取到極小值，滿足條件綜上：a1或a0，故答案為：a1或a016先閱讀下面的文字：“求的值時，采用了如下的方法：令=x，則有=x

21、，從而解得x=（負值已舍去）”；運用類比的方法，計算： =【考點】類比推理【分析】利用類比的方法，設(shè)=x，則1+=x，解方程可得結(jié)論【解答】解：設(shè)=x，則1+=x，2x22x1=0x=，x0，x=，故答案為：三.解答題，本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17已知復數(shù)，若|z|2+az+b=1i（）求；（）求實數(shù)a，b的值【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】（I）利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出（II）利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等即可得出【解答】解：（ I）=1i（ II）把z=1+i代入|z|2+az+b=1i，即|1+i|2+a（1+i）+b=1i

22、，得（a+b+2）+ai=1i，解得實數(shù)a，b的值分別為1，218已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過點M（1，4），曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直（1）求實數(shù)a，b的值；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間m，m+1上單調(diào)遞增，求m的取值范圍【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；導數(shù)的幾何意義【分析】（1）將M的坐標代入f（x）的解析式，得到關(guān)于a，b的一個等式；求出導函數(shù)，求出f（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為1，列出關(guān)于a，b的另一個等式，解方程組，求出a，b的值（2）求出 f（x），令f（x）0，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，據(jù)題意知m，m+1（，20，+），列出端點的

23、大小，求出m的范圍【解答】解：（1）f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過點M（1，4），a+b=4式 f'（x）=3ax2+2bx，則f'（1）=3a+2b由條件式由式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x0得x0或x2，函數(shù)f（x）在區(qū)間m，m+1上單調(diào)遞增m，m+1（，20，+）m0或m+12m0或m319設(shè)x0，y0，z0，（）比較與的大?。唬ǎ├茫ǎ┑慕Y(jié)論，證明：【考點】綜合法與分析法(選修）【分析】（）對兩個解析式作差，對差的形式進行化簡整理，判斷出差的符號，得出兩數(shù)的大?。ǎ├茫ǎ╊惐瘸?/p>

24、一個結(jié)論，利用綜合法證明不等式即可【解答】（），（）由（1）得類似的，又；x2+y2+z2xy+yz+zx（另證：x2+y22xy，y2+z22yz，z2+x22zx，三式相加）=20是否存在常數(shù)a，b，使等式對于一切nN*都成立？若不存在，說明理由；若存在，請用數(shù)學歸納法證明？【考點】數(shù)學歸納法【分析】假設(shè)存在常數(shù)a，b，使等式對于一切nN*都成立取n=1，2可得，解得a，b再利用數(shù)學歸納法證明即可【解答】解：若存在常數(shù)a，b，使等式對于一切nN*都成立取n=1，2可得，解得a=1，b=4則=對于一切nN*都成立下面用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=1時，顯然成立（2）假設(shè)當n=k（kN*）時，

25、等式成立，即+=則當n=k+1時，+=+=也就是說當n=k+1時，等式也成立綜上所述：可知等式對于一切nN*都成立21設(shè)函數(shù)f（x）=+xlnx，g（x）=x3x23（I）如果存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；（II）如果對于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍.【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用【分析】（I）存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立等價于g（x）maxg（x）minM；（II）對于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立等價于f（x）g（x）max，進一步利用分離參數(shù)法，即可求得實數(shù)a的取值范圍【解答】解：（I）存在x1、x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立等價于g（x）maxg（x）minMg（x）=x3x23，g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，2）上單調(diào)遞增g（x）min=g（）=，g（x）max=g（2）=1g（x）maxg（x）min=滿足的最大整數(shù)M為4；（II）對于任意的s、t，2，都有f（s）g（t）成立等價于f（x）g（x）max由（I）知，在，2上，g（x）max=g（2）=1在，2上，f（x）=+xlnx1恒成立，等價于axx