高數(shù)下冊總復(fù)習(xí)知識點(diǎn)（課堂PPT）

1、.1高數(shù)下冊總復(fù)習(xí)知識點(diǎn)歸納高數(shù)下冊總復(fù)習(xí)知識點(diǎn)歸納軟件三班 jason.2第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何總結(jié)各各章章節(jié)節(jié)知知識識點(diǎn)點(diǎn)歸歸納納第十張：重積分，三重積分第十一章：曲線積分與曲面積分第十二章：無窮級數(shù)第九章多元函數(shù)微分法第九章多元函數(shù)微分法.3向量的分解式：向量的分解式：(,)xyzaaaa .,軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：zyxaaa,1 1、向量的坐標(biāo)表示法、向量的坐標(biāo)表示法（一）向量代數(shù)

2、（一）向量代數(shù)第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何總結(jié).4向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式,xyzaaaa （）,xyzbbbb （）,xxyyzzabababab （）,xxyyzzabababab （）,xyzaaaa （）kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( .5222|zyxaaaa 向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式

3、222coscoscos1 .6 21221221221zzyyxxMM 它們距離為它們距離為設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式:.72 2、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角(點(diǎn)積、內(nèi)積點(diǎn)積、內(nèi)積)zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 00 xxyyzza ba ba ba b 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式.83 3、向量積、向量積 sin|bac 其其中中 為為a與與b

4、的的夾夾角角(叉積、外積叉積、外積)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式zyxzyxbbbaaakjiba .9方程特點(diǎn)方程特點(diǎn): 00),(:zyxfL設(shè)有平面曲線設(shè)有平面曲線方方程程為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面繞繞曲曲線線xL)1(0),(22 zyxf方方程程為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面繞繞曲曲線線yL)2(0),(22 yzxf1. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何.10122222 czyax122222 czayx12222 czax旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面.11xyzpzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)

5、拋物面oyzx.12繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面ozyx.13（2）圓錐面）圓錐面222zyx （1）球面）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面）旋轉(zhuǎn)雙曲面1222222 czayax1222 zyx2202020)()()(Rzzyyxx .142. 柱面柱面定義：定義：平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱之所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面這條定曲線叫柱面的的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫，動(dòng)直線叫柱面的柱面的母線母線.15從柱面方程從柱面方程(的特征的特征:二元方程二元方程)看柱面的看柱面的特征

6、特征：（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 母線母線 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 母線母線 / 軸軸zpxz22 拋物柱面拋物柱面 母線母線/ 軸軸y.16拋物柱面拋物柱面xyzxyz橢圓柱面橢圓柱面pxz22 雙曲柱面雙曲柱面xyz12222 czby12222 byax.173. 二次曲面二次曲面定義定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面）橢球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）橢圓拋物面）橢圓拋物面)(同同號號與與qp.18特殊地：當(dāng)特殊地：當(dāng) 時(shí)，方程變?yōu)闀r(shí)，

7、方程變?yōu)閝p zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p（由（由 面上的拋物線面上的拋物線 繞它的軸繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）旋轉(zhuǎn)而成的）xozpzx22 .19zqypx 2222（3）馬鞍面）馬鞍面)(同同號號與與qp（4）單葉雙曲面）單葉雙曲面1222222 czbyax（5）圓錐面）圓錐面222zyx .204.4.空間曲線空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程.21 CCC關(guān)于關(guān)于 的投影柱面的投影柱面 C在在 上的投影曲線上的投影曲線 Oxzy 0),(0),(:z

8、yxGzyxFC設(shè)曲線設(shè)曲線 則則C關(guān)于關(guān)于xoy面的投影柱面的投影柱面方程應(yīng)為消面方程應(yīng)為消z后的方程后的方程：0),( yxH 所以所以C在在xoy面上的投面上的投影曲線的方程為：影曲線的方程為： 00),(zyxH3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影.225.5.平面平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc.230:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBx

9、A4 平面的夾角平面的夾角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 021212121 CCBBAAnn21)2( /1 1n2 2n .21212121CCBBAAnn 重合重合.241 1、偏導(dǎo)數(shù)概念、偏導(dǎo)數(shù)概念第九章多元函數(shù)微分法第九章多元函數(shù)微分法.25同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，

10、00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.26ddd .zzzxyxy2、全微分公式、全微分公式用定義證明可微與不可微的方法用定義證明可微與不可微的方法000000(,)(,)()xyzfxyxfxyy 可微可微000000(,)(,)()xyzfxyxfxyy 不可微不可微.27多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)有極限有極限3、關(guān)系、關(guān)系.28( ( ),( )zftt 4 4、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理1 若函數(shù)若函數(shù)( ),( )utvt( , )zf

11、 u v 在點(diǎn)在點(diǎn) 處偏導(dǎo)連續(xù)處偏導(dǎo)連續(xù), ( , )u v在點(diǎn)在點(diǎn) t 可導(dǎo)可導(dǎo), ddddddzzuzvtutvt則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t且有鏈?zhǔn)椒▌t中間變量均為一元函數(shù)的情形中間變量均為一元函數(shù)的情形在點(diǎn)在點(diǎn)t處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，uvtz公式的記憶方法：連線相乘，分線相加公式的記憶方法：連線相乘，分線相加.295 5、全微分形式不變性、全微分形式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、dddzzzuvuv.30定理定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)00(,)0;F xy 單值連續(xù)函數(shù)單值連

12、續(xù)函數(shù) y = f (x) ,00(),yf x 并有連續(xù)并有連續(xù)d.dxyFyxF ( (隱函數(shù)求導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)公式) ) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù); ;的的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)的某一鄰域內(nèi)滿足的某一鄰域內(nèi)滿足00(,)0yFxy 滿足條件滿足條件導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)( , )F x y在點(diǎn)在點(diǎn)00(,)P xy則方程則方程( , )0F x y 0 x在點(diǎn)在點(diǎn)6 6、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則(1)( , )0F x y .31定理定理2 2 000(,)P xy z,yxzzFFzzxFyF 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ; ;則方程則方

13、程( , , )0F x y z 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)000(,),zf xy 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 滿足滿足000(,)0;F xy z 000(,)0,zF xy z 在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù) 滿足滿足:( , , )F x y z某一鄰域內(nèi)可唯一確某一鄰域內(nèi)可唯一確0),(. 2 zyxF.32定理定理3 30000(,)0,F xy u v 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0000(,)P xy u v( , , , ),( , , , )F x y u vG x y u v則方程

14、組則方程組( , , , )0,( , , , )0F x y u vG x y u v 的單值連續(xù)函數(shù)的單值連續(xù)函數(shù)( , ),( , ),uu x yvv x y 計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)按直接法求解計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)按直接法求解. . 在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足滿足: :(,)0 ,( , )PF GJPu v 0000(,)0;G xyu v 000(,),uu xy 000(,)vv xy 00(,)xy在點(diǎn)在點(diǎn).337 7、微分法在幾何上的應(yīng)用、微分法在幾何上的應(yīng)用切線方程為切線方程為.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程為法平面方

15、程為. 0)()()(000000 zztyytxxt (1)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面).(),(),(:tztytx 000( ( ),( ),( )Tttt (關(guān)鍵關(guān)鍵: 抓住切向量抓住切向量) .341）空間曲線方程為）空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切切線線方方程程為為特殊地：特殊地：(取取 為參數(shù)為參數(shù))x(1,( ),( )Txx .352）空間曲線方程為）空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF(取取 為

16、參數(shù)為參數(shù))xxyzxyzMijkTF F FG G G 取取切線方程為切線方程為000()()()0.yzxyzxzxyzxyMMMFFFFFFxxyyzzGGGGGG法平面方程為法平面方程為000,yzzxxyzxyzMxyMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG .36()曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 :( , , )0.F x y z 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 000000000(

17、,),(,),(,)xyznFxyzFxyzF xyz (關(guān)鍵關(guān)鍵: 抓住法向量抓住法向量).37:( , )zf x y曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令0000(,),(,), 1)xynfxyfxy 則則（特殊情形）（特殊情形）.388 8、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù).),(),(lim0 yxfyyxxflf 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)沿沿方方向向則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)在在

18、，時(shí)時(shí)，如如果果此此比比的的極極限限存存趨趨于于沿沿著著當(dāng)當(dāng)之之比比值值，兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為（1）方向?qū)?shù)的定義及存在的充分條件）方向?qū)?shù)的定義及存在的充分條件.39.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其其中中222)()()(zyx ）方向?qū)?shù)的存在性及其計(jì)算方法方向?qū)?shù)的存在性及其計(jì)算方法: :00( , )(,),zf x yP xy 若若函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可微微定理定理那么那么函數(shù)在函數(shù)在000000(,)(,)

19、cos(,)cos ,xyxyffxyfxyl 該點(diǎn)沿任一方向該點(diǎn)沿任一方向 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在,且有且有 l :cos ,cos .l 其其中中是是方方向向 的的方方向向余余弦弦.40說明說明: 可微可微沿任一方向的方向?qū)?shù)存在沿任一方向的方向?qū)?shù)存在.反之不一定成立反之不一定成立.(2) 梯度的概念梯度的概念grad ( , )f x y ffijxy 記為記為 .41梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系.maxf=l .42、二重積分的幾何意義、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱

20、體的體積的負(fù)值當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值當(dāng)被積函數(shù)有正有負(fù)時(shí)，二重積分是柱體體積的代數(shù)和當(dāng)被積函數(shù)有正有負(fù)時(shí)，二重積分是柱體體積的代數(shù)和.( , )dDf x y iiniif ),(lim101 1、二重積分的定義、二重積分的定義第十張：重積分，三重積分.433 3、二重積分的計(jì)算、二重積分的計(jì)算,:bxaD ).()(21xyx X型型21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy X-型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).（）直角坐標(biāo)系下（）

21、直角坐標(biāo)系下.44 Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).21()()( , )dd( , )d .dycyDf x yyf x yx ,:dycD ).()(21yxy Y型型.45求二重積分的方法步驟求二重積分的方法步驟:1.作圖求交點(diǎn)；作圖求交點(diǎn)；2.選擇積分次序；選擇積分次序；4.計(jì)算計(jì)算.(先內(nèi)積分后外積分先內(nèi)積分后外積分;計(jì)算內(nèi)積分時(shí)把計(jì)算內(nèi)積分時(shí)把在累次積分不易積或不能積時(shí)在累次積分不易積或不能積時(shí),應(yīng)考慮交換積分次序應(yīng)考慮交換積分次序.(把把D寫成不等式形式寫成不等式形式)；外積分變量看成常數(shù)外積分變量看成常數(shù))3.確定積分限確定積分限.461、選擇積分次序、選擇積分次序 (1)首先被積函數(shù)要易積分，能積分；首先被積函數(shù)要易積分，能積分；(2)積分區(qū)域積分區(qū)域D盡量少分塊盡量少分塊.2、確定積分限、確定積分限計(jì)算二重積分的兩個(gè)關(guān)鍵：計(jì)算二重積分的兩個(gè)關(guān)鍵：內(nèi)限內(nèi)限平行線穿越法平行線