電路原理第4章路的若干定理

1、1i11R1R2R3+ ia1ib1uS1R11ia1+R12ib1=uS1 R21ia1+R22ib1=0uS1 R12i = 0R22 a1RR1112R21 R22=i12R1R2R3ia2 + ib2uS2R11ia2+R12ib2=-uS2 R21ia2+R22ib2=uS2- uS 2 R12i = uS 2R22 a 2RR1112R21 R22= R22 (-u ) + - R12 uS 2S 2=i13R1R2R3ia3ib3 +uS3R11ia3+R12ib3=0 R21ia3+R22ib3=-uS30R12- uRi =S 322 a 3RR1112R21 R22= -

2、R12 (-u )S 3=R12 u S 3- R12 + R22 uS 2 R22 u S1i1由回路法R1R2R3R11ia+R12ib=uS11R11=R1+R2+ ia + ib +R i +R i =uR12= R21= -R2uS1uS2uS321 a 22 b S22R22=R2+R3uS11=uS1-uS2uS22=uS2-uS3uRuS1-uS2u -u S1112S2 S3i = uS 22 R22 = R22 u + - R12 uaRR S11S 221112R21 R22=電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009 = R11 R12R21 R22= R11 R22 - R12 R

3、21R22 u - R12 + R22 u + R12 u S1S 2 S3其中舉例證明定理i1R1R2R3+ ia + ib +證明：i1 = i11 + i12 + i13uS1uS2uS3i11i12i13R1R2R3R1R2R3R1R2R3+ ia1ib1ia2 + ib2ia3ib3 +uS1uS2uS3電機(jī)系電路原理教學(xué)組20094.1 疊加定理 (Superposition Theorem)性電路中，任一支路電流(或電壓)都是電路中各個 電源單獨(dú)作用時，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。單獨(dú)作用：一個電源作用，其余電源不作用電壓源（uS=0)短路不作用的電流源 (iS=0)開

4、路電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009疊加定理 熟練掌握疊加定理、和定理 掌握替代定理、定理和互易定理 了解對偶原理電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009 本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)4.1 疊加定理4.2 替代定理4.3 和定理4.4 定理4.5 互易定理4.6 對偶原理電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009第4章 電路的若干定理推廣到具有 l 個回路的一般電路：R11i1 + + R1 j i j + R1l il = uS11#Rj1i1 + + Rjj i j + Rjl il = uSjj#Rl 1i1 + + Rlj i j + Rll il = uSll第 j 個回路的回路電流R11#Rj1#uS11#uSjj#R1l

5、#Rjl#= Rl 1 uSll Rll ij= 1 j u+ 2 j u+ + jj u+ + lj uS11S 22SjjSll電機(jī)系電路原理教學(xué)組20092小結(jié) :1. 疊加定理只適用于線性電路。電壓源為零短路。2. 一個電源作用，其余電源為零電流源為零開路。3. 功率不能疊加(功率為電源的二次函數(shù))。4. u, i疊加時要注意各分量的方向。5. 含受控源(線性)電路亦可用疊加，但疊加只適用于獨(dú)立源，受控源應(yīng)始終保留。電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009 I110 I1例2. 求電壓Us。6W+10V4A解: (1) 10V電壓源單獨(dú)作用： (2) 4A電流源單獨(dú)作用： I1 6W+ 10 I1

6、I1 6W10 I1+10V4AU = -10 I +4= -101+4= -6VUs = -10I1 +2.44s1= -10 (-1.6)+9.6=25.6V共同作用： Us= U +U = -6+25.6=19.6Vss4W+Us4W+Us4W+Us6W例1. 求圖中電壓u。+10V4A解: (1) 10V電壓源單獨(dú)作用，4A電流源開路u=4V(2) 4A電流源單獨(dú)作用，10V電壓源短路u = -42.4= -9.6V共同作用：u=u+u = 4+(- 9.6)= - 5.6V 6W6W+10V4A4W+u4W+u4W+u= 1 j u+ 2 j u+ + jj u + + lj uS1

7、1S 22Sjj Sll把 uSi 的系數(shù)合并為Gjibi j = Gji uSii =1= i j1 + i j 2 + + i ji + ijb支路電流是回路電流的線性組合，支路電流滿足疊加定理。同樣可以證明：線性電阻電路中任意支路的電壓等于各電源（電壓源、電流源）在此支路產(chǎn)生的電壓的代數(shù)和。電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009第i個電壓源單獨(dú)作用時在第j 個回路中產(chǎn)生的回路電流uS1 uSb第j列i = R22 u + - R12 u = R22 u - R12 + R22 u + R12 ua S11S 22 S1S 2 S3- uS 2 R120R12uR- uRi = S 222i =S

8、322 a 2RRa 3RR11121112ia1 =R21 R22R21 R22= R22 (-u ) + - R12 u= - R12 (-u )S 2S 2S 3=證得ia = ia1 + ia2 + ia3 即回路電流滿足疊加定理。電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009 R12 u S 3- R12 + R22 uS 2 R22 u S1uS1 R120R22R11 R12R21 R22uS11 R12uS 22 R22R11 R12R21 R223又證:ikik+支 +A u路 ukkk uk uuk k + +證畢!電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009AA+uk支路kik+i路ukk證明: 替代前后

9、KCL、KVL關(guān)系相同，其余支路的u，i關(guān)系不變。用uk替代后，其余支路電壓不變（KVL），其余 支路電流也不變，故第k條支路ik也不變（KCL）。用ik替代后，其余支路電流不變（KCL），其余支路電壓不變，故第k條支路uk也不變（KVL）。電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009AAAuk支k4.2 替代定理 (Substitution Theorem)定理內(nèi)容:對于給定的任意一個電路，其中第k條支路電壓uk和電流ik已知，那么這條支路就可以用一個具有電壓等于uk的 電壓源，或者用一個電流等于ik的電流源來替代，替代后電路中全部電壓和電流均保持原有值(解答唯一)。ik+路=uk =ik電機(jī)系電路原理教學(xué)

10、組2009AAAuk支k例3R1 21AR1 8AR1 3A i i=1A RL=2W R1=1 W +R2=1 W us=51V us2V求電流i 。解: 法一：分壓、分流。法二：電源變換。法三：支路法、回路法、節(jié)點(diǎn)法 法四：用齊性原理（電流法）采用倒推法：設(shè)i=1A，推出此時us=34V。則i = us即 i = us i = 51 1 = 1.5Ai uu34ss+ 21V+ R2 u =34Vs+ 8V 13A R2+ 3V 5A R22A RL可加性 (additivity property)e1r1e1r1+ r2e2r2e2k1e1k1 r1線性k1e1k1r1+ k2 r2k2

11、e2k2 r2k2 e2e1rke1k re2ke2線性電路中，所有激勵都增大(或減小)同樣的倍數(shù)， 則電路中響應(yīng)也增大(或減小)同樣的倍數(shù)。RRRRRRRR齊性原理（Homogeneity Property):線性電路中，所有激勵( 源)都增大(或減小)同樣的倍數(shù)，則電路中響應(yīng)(電壓或電流)也增 大(或減小)同樣的倍數(shù)。當(dāng)激勵只有一個時，則響應(yīng)與激勵成正比。e1rke1k re2ke2erkekr電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009NNNN41. 幾個名詞(1) 端口 (Port )ia 端口指電路引出的一對端鈕，其中從一A個端鈕(如a)流入的電流一定等于從另一b 端鈕(如b)流出的電流。i(2)

12、一端口網(wǎng)絡(luò) (One-Port Network) (亦稱二端網(wǎng)絡(luò))網(wǎng)絡(luò)與外部電路只有一對端鈕(或一個端口)聯(lián)接。(3) 含源(Active)與無源(Passive)一端口網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部含有電源的一端口網(wǎng)絡(luò)稱為含源一端口網(wǎng)絡(luò)。 網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部不含有電源的一端口網(wǎng)絡(luò)稱為無源一端口網(wǎng)絡(luò)。電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009，Lon Charles Thvenin(18571926) 法國電報工程師。1883年 在法國上， 一頁半，是在直流電源和電阻的條件下提出的， 然而，由于其證明所帶有的普遍性，實(shí)際上它適用于當(dāng)時未知的其他情況，如含電流源、受控源以及正弦交流、復(fù)頻域等電路，目前已成為一個重要的電路定理。當(dāng)電路理論

13、進(jìn)入以模型為研究對象后，出現(xiàn)該定理的適用性問題。定理的對偶形式五十余年后始由美國貝爾工程師 E.L.Norton 提出，即定理。電機(jī)系電路原理教學(xué)組20094.3和定理(Thevenin-Norton Theorem)R1 aR34 含源網(wǎng)絡(luò)的簡化問題。4 二端網(wǎng)絡(luò)：等效變換為簡單的含源支路 (電壓源與電阻串聯(lián)或電流源與電阻并聯(lián)支路)電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009R Rx2i R4bR5+ us 說明：1. 替代定理適用于線性、非線性電路、非時變和時變電路。2. 替代定理的應(yīng)用必須滿足的條件:(1) 原電路和替代后的電路必須有唯一解。2.5A1A2.5A?10V5W10VA AA+1A+1A1A

14、1V1W_1V1A-B 滿足B不滿足B(2) 被替代的支路和電路其它部分耦合關(guān)系。電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009+?-+ 1V-2W5V5V?2W5V1.5A法二：替代Y-D變換4W2W1WIII/68WRL2W R4WI/6LI =2I6 3 + RLRL=9W電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009例 已知如圖?，F(xiàn)欲使負(fù)載電阻RL的電流為電源支路電流I的1/6。 求此電阻值。IRI/64W8WR+4WLUS-法一：替代4WI =84 II6 8 + 4 + (4 / RL ) 4 + RL8WRL4WI/6R =9WL電機(jī)系電路原理教學(xué)組20095例26W 6I + aa+求U 。Ri0U0+3W U0

15、Uoc -bb解(1) 求開路電壓Uoc6W 6I + a+Uoc=6I+3IocI=9/9=1AUoc=9Vb電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009+9V 3WIU+9V 3WI3W含受控源電路的應(yīng)用(1) 求開路電壓a+Uoc = U1 + U2 U1Uoc= -104/(4+6)+10 6/(4+6)- b= -4+6=2V(2) 求等效電阻Ri(3) Rx =1.2W時， aI= Uoc /(Ri + Rx) =2/6=0.333ARiRx =5.2W時，bI= Uoc /(Ri + Rx) =2/10=0.2AR =4/6+6/4=4.8WRx = Ri =4.8W時，其上獲最大功率。i+U2

16、 10V+例14W a 6W(1) 計算Rx分別為1 2W、5.2W時的I；(2) Rx為何值時，其上獲最大功率?解保留Rx支路，將其余一端口網(wǎng)絡(luò)化為等效電路：a IaIRi+Rxb Uocb U1Rx+U2 10V+Rx6WI4Wb10V+3.定理：任何一個含 電源，線性電阻和線性受控源的一端口，對外電路來說，可以用一個電流源和電導(dǎo)(電阻) 的并聯(lián)組合來等效置換；電流源的電流等于該一端口的短路電流，而電導(dǎo)(電阻)等于把該一端口的全部 電源置零后的輸入電導(dǎo)(電阻)。aaAIsci)bb等效電路可由等效電路經(jīng)電源等效 變換得到。但須指出，等效電路可進(jìn)行證明。證明過程從略。電機(jī)系電路原理教學(xué)組20

17、09Gi(R證明:i aiaRi(a)U +(b)ocbb(對a) 利用替代定理，將外部電路用電流源替代，此時u,i值不變。計算u值。aaaA+=A+P+uiu +Ruiibbb電流源i為零網(wǎng)絡(luò)A中源全部置零根據(jù)疊加定理，可得u= Uoc (外電路開路時a 、b間開路電壓)u = -Ri i則 u = u + u = Uoc - Ri i 此關(guān)系式恰與圖(b)電路相同。證畢！AN+u+uN2.:任何一個線性含有 電源、線性電阻和線性受控源的二端網(wǎng)絡(luò)，對外電路來說，可以用一個電壓源(Uoc)和 電阻(Ri)的串聯(lián)組合來等效置換；此電壓源的電壓等于一端口的開路電壓，而電阻等于一端口中全部 電源置零

18、后的輸入電阻。iaaARi bU +oci-b電機(jī)系電路原理教學(xué)組20096(2) 求Ri：串并聯(lián)a10WRiRi =102/(10+2)=1.67 Wb(3) 等效電路: aI = - Isc1.67/(4+1.67)I-9.6A=9.61.67/5.67=2.83Ab電機(jī)系電路原理教學(xué)組20094W1.67 W2W例4求電流I 。a10Wa4W24VIIsc+b +b12V解 (1) 求Isca10WI1 =12/2=6A24V I2=(24+12)/10=3.6A+I =-I -I =- 3.6-6=-9.6Asc1 2b + 12V Isc2WI1I24WGi(Ri)I2WA( 1 +

19、 1 + 1 )U = 40 + - 100 + 20030k 10k 60k +10 30 60 AB 103060UAB-+-10040200 BUAB=26.7V+-RAB=10 / 30 / 60 = 6.67kWA二極管導(dǎo)通u +IAB-R5kI = 26.7 / (5+6.67) = 2.3mA 2mAABB結(jié)論: 繼電器觸點(diǎn)閉合。電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009+ U -60k例3 外電路含有非線性元件。A當(dāng)電流I2mA時繼電器的+ U -圈 觸點(diǎn)閉合（繼電器線30kW 10kW 60kW5K電阻是5kW ）。問現(xiàn)在繼電器觸點(diǎn)是否閉-100V 40V 200V合。解 求開路電壓UAB

20、A+30K 10K 60K UAB-+-10040200 B+-電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009IJB(3) 等效電路a+Ri 6W+3W U0Uoc9V-bU =3 9 = 3V06 + 3電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009(2) 求等效電阻Ri方法1：加壓求流6W 6I + I0U0=6I+3I=9Ia+I=I06/(6+3)=(2/3)I0U0U0 =9 (2/3)I0=6I0bRi = U0 /I0=6 W方法2：開路電壓、短路電流(Uoc=9V) 6W 6I + a6 I +3I=91I1I=-6I/3=-2II=0IscIsc=9/6=1 5ARi = Uoc / Isc =9/1.5=6

21、Wb+9V 3WI3WI7aa例1：I1 R1I2(1) R1=R2=2W, Us=8V 時 ,+無源+I1=2A, U2 =2VUsU1電阻R2 U2 (2) R1=1.4 W, R2=0 8W, Us=9V時,網(wǎng)絡(luò)I =3A, P1求U2。解：利用定理由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A由(2)得 : U 1 = 4.8V, I 1 = 3A, I 2 = U 2 /R2 = (5/4)U 2bbU 1 (- I 1 ) + U 2 I 2 + Uk I k = U 1 (- I1 ) + U 2 I 2 + U k I kk = 3k = 3( 負(fù)

22、號是因?yàn)閁 1 , I1的方向不同 )- 4 3 + 2 1.25U 2 = -4.8 2 + U 2 1 U 2 = 2.4 / 1.5 = 1.6V3. 功率平衡定理：在任一瞬間，任一電路中的所有支路所吸收的瞬時 功率的代數(shù)和為零，即將定理用于同一電路中各支路電流、電壓即可證得上述關(guān)系。(亦可視為N , N 為同一電路, 則uk = uk , ik = i k . )此亦可認(rèn)為定理在同一電路上的表述。注意：定理適用于一切集總參數(shù)電路。只要各支路u，i滿足KCL,KVL即可。 定理與KCL,KVL三者中取其兩個即可。電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009bb pk = uk ik = 0 k =1k

23、=1證明NN令 uk = ua - ub ,i = i b = -i akabuk i = (ua - ub )i= ua i - ub ikababab = ua iab + ub ibab u i = u i + u i + = 0流出bk kabk =1abn個節(jié)點(diǎn) ,有n項i 流出節(jié)點(diǎn)a的 ba所有支路電流和同理可證： uk ik = 0k =1流出a-+-+245兩個電路支路與節(jié)點(diǎn)聯(lián)接關(guān)系相同：16423假設(shè)兩個電路中對應(yīng)支路電壓3方向相同，支路電流均取和支路電壓相同的參考方向。12.定理：電路 N ( N )的所有支路中的每一支 路的電壓 uk (uk )與電路 N ( N )中對

24、應(yīng)的支路中的 i k (i k )的乘積之和為零(且各支路取關(guān)聯(lián)方向 ), 即bb uk i k = 0和 uk i k = 0(似功率平衡關(guān)系 )k =1k =14. 4定理(Tellegens Theorem)1.具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（特征）的電路兩個電路，支路數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)都相同，而且對應(yīng)支路 與節(jié)點(diǎn)的聯(lián)接關(guān)系也相同。R4 2R5R4 2R5 R6R2R314143R1+ us1 NN電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009R6u +s6R3is2 3R14. 小結(jié) ：(1) 等效電路中電壓源電壓等于將外電路斷開時的開路電壓Uoc，電壓源方向與所求開路電壓方向有關(guān)。(2) 串聯(lián)電阻為將一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部電源全部

25、置零(電壓源 短路，電流源開路)后，所得無源一端口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。等效電阻的計算方法：1 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部不含有受控源時可采用電阻串并聯(lián)、Y-D 變換的方法計算；2 加壓求流法或加流求壓法。3 開路電壓，短路電流法。2 3 方法更有一般性。(3) 外電路發(fā)生改變時，含源一端口網(wǎng)絡(luò)的等效電路不變(伏- 安特性等效)。(4) 當(dāng)一端口內(nèi)部含有受控源時，其支路也必須包含在被化簡的一端口中。8第二種形式: 電流源激勵，電壓響應(yīng)。在任一線性電阻網(wǎng)絡(luò)的一對節(jié)點(diǎn)j，j 間接入唯一電流源ij，它在另一對節(jié)點(diǎn)k，k產(chǎn)生電壓ukj(見圖a)；若改在節(jié)點(diǎn)k，k 間接入唯一電流源ik ，它在節(jié)點(diǎn)j，j 間產(chǎn)生電壓ujk(圖

26、b)，則上述電壓、電流有如 ：ukj = u jk或u i = u i iikj kjk jjk當(dāng) ik = ij 時，ukj = ujk 。jk+jkijukjujkikjkjk(a)(b)將圖(a)與圖(b)中支路1，2的條件代入，即u1 = u j , u2 = 0 , i2 = ikj ; u1 = 0, u2 = uk , i1 = i jku j i jk + 0 i = 0 i + u i21k kj即：iiu i = u i或kj = jk k kjj jkuujk當(dāng) uk = uj 時，ikj = ijk 。證畢！電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009bb即： uk i k = u1

27、i 1 + u2 i 2 + uk i k k =1k =3b= u1 i 1 + u2 i 2 + Rk ik i k = 0k = 3b b uk ik = u1 i1 + u2 i2 + uk ik k =1k =3b= u1 i1 + u2 i2 + Rk ik i k = 0k = 3兩式相減，得u1 i + u2 i = u1 i1 + u2 i2 12電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009則兩個支路中電壓電流有如：ikj = i jk或u i = u ik kjj jku juk當(dāng) uk = uj 時，ikj = ijk 。證明: 用定理。(設(shè)a-b支路為支路1,c-d支路為支路2,其余支

28、路為3b)。圖(a)與圖(b)有相同拓?fù)涮卣鳎?a)中用uk 、ik 表示支路電 壓，電流， (b)中用 uk , i k 表示 。由定理：bb uk i k = 0和 uk ik = 0k =1k =14. 5 互易定理(Reciprocity Theorem)第一種形式: 電壓源激勵，電流響應(yīng)。給定任一僅由線性電阻 的網(wǎng)絡(luò)(見下圖)，設(shè)支路j中有唯一電壓源uj，其在支路k中產(chǎn)生的電流為ikj(圖a)；若支路 k中有唯一電壓源uk，其在支路j中產(chǎn)生的電流為ijk(圖b)。acac線性線性u +電阻ii電阻+j網(wǎng)絡(luò)kjjk網(wǎng)絡(luò)uk NNbdbd(a) (b)電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009例2.

29、求U 1 .I1I 1I 2+UPU I2U12U 12U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1AU 2 = 10V解：U + U (- ) + b U = (- I ) + I + b U I1 I 12 I 2k I k U 11U 2 2 k kk = 3k =3U 1 = 2 I 1U 1 = 1V.電機(jī)系電路原理教學(xué)組20092WP9例1R1R2G1unG2+uSiS例2 i1 R1R3un1 G2 un2+iS1+uSrm i1u1 G1G3gm u1電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009il2il1R2il二、 對偶元素（見書）三、 對偶原理兩個對偶電路N和N ，如果對電路N有命

30、題（或陳述）S 成立，則將S中所有元素，分別以其對應(yīng)的對偶元素替換，所得命題（或陳述）S 對電路N成立。注意： 只有平面電路才有對偶電路。四、 如一個電路的對偶電路打點(diǎn)法：網(wǎng)孔對應(yīng)節(jié)點(diǎn)（孔對應(yīng)參考節(jié)點(diǎn)）。電機(jī)系電路原理教學(xué)組2009節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)電壓串聯(lián)RLuSCCVSKCL網(wǎng)孔網(wǎng)孔電流并聯(lián)GCisVCCSKVL例2 i1 RRuG u13n12 n2+i+ur iS1ug uSm 11 G1G3m 1網(wǎng)孔方程節(jié)點(diǎn)方程(R1+R2) il1- R2 il2 = uS1(G1+G2)un1- G2 un2 = iS1(1) - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 (2) -G2 un1+(G2+G3) u