【2020年高考必備】衡水獨家秘籍之高中期末復(fù)習(xí)專題三函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

1、衡水獨家秘籍之 2019 高中期末復(fù)習(xí)專題三函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【方法綜述】1 函數(shù)的單調(diào)性(1) .增函數(shù)：若對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D DI上的任意兩個自變量x1、x2，當人 沐2時，都有f x1: f x2，那么就說函數(shù)f x在區(qū)間D上是增函數(shù)；(2) 減函數(shù)：若對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D DI上的任意兩個自變量Xi、X2，當Xi：X2時，都有f Xif X2，那么就說函數(shù)f x在區(qū)間D上是減函數(shù).2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論：y=f(t)遞增遞減t=g(x)遞增遞減遞增遞減y=fg(x)遞增遞減遞減遞增以上規(guī)律可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減” 不過要注意：單調(diào)區(qū)間必須注意定

2、義域；要確定t=g(x)(常稱內(nèi)層函數(shù))的值域，否則無法確定f(t)(常稱外層函數(shù))的單調(diào)性.3.用定義證明函數(shù)單調(diào)性中的變形策略由定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性，其步驟為：取值T作差T變形T定號.其中變 形是最關(guān)鍵的一步， 合理變形是準確判斷f(xi) f(X2)的符號的關(guān)鍵所在常見變形方法有 因式分解、配方、同分、有理化等，下面舉例說明_ _ 2 _例 1.求證：函數(shù)f(x)=x4x在(a,2上是減函數(shù).證明：設(shè)Xi,X2是(一a,2上的任意兩個實數(shù)， 且xivX2，則f(xi) f(X2) = (x1 4xi) (x24x2)=(XiX2)(Xi+X2 4).因為XivX2w2,

3、所以XiX2 0 ,即f(Xi) f(X2).故函數(shù)f(X)在(a,2上是減函數(shù).評注 因式分解是變形的常用策略，但必須注意，分解時一定要徹底，這樣才利于判斷f(Xi)f(X2)的符號.3例 2.求證：函數(shù)f(x) =x+ 1 在 R 上是增函數(shù).證明：設(shè)xi,X2是 R 上的任意兩個實數(shù)，且xiX2,則f(xi) -f(X2)=Xi+ 1 -X2 133=XiX2=(XiX2)(xi+XiX2+x2)fX2、232因為xiX2，所以xiX2 0.所以f(xi) f(X2) 0，即f(xi) f(X2).故函數(shù)f(x)在 R 上是增函數(shù).評注 本題極易在(xiX2)(xi+XiX2+X2)處止

4、步”而致誤.而實際上當我們不能直接判斷xi+XiX2+X2的符號，又不能因式分解時，采用配方則會“柳暗花明”.例 3.已知函數(shù)f(x) =x+】，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(o,i上是減函數(shù).XiI證明：設(shè)Xi,X2是區(qū)間(0,i上的任意兩個實數(shù)，且XiX2,則f(xi)f(X2)=Xi+X2 XiX2jiiX2Xi=(xiX2)+ =(xiX2)+x x兇X2 /XiX2(i )|/XiX2i=(XiX2) i = (XiX2).XiX2XiX2因為xiX2，且xi,X2 (0, i,所以XiX2 0,0 XiX20，即f(xi) f(X2).故函數(shù)f(x)在(0,i上是減函數(shù).i評注 同樣，

5、我們可以證明f(X)=X+-在區(qū)間i,+s)上是增函數(shù).X例 4.已知函數(shù)f(x) =x I,求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間I ,+)上是增函數(shù).證明：設(shè)Xi,X2是區(qū)間i ,)上的任意兩個實數(shù)，且XiX2,則f(Xi) f(X2)= .Xi I X2 iXiX2=(XiX2)X2232+ 4X2Xi i +X2 i因為xiX2，且xi,X2 i,+B),所以XiX2 0.所以f(xi) f(X2) 0，即f(xi) 0).當x(a, 1)時，t是x的減函數(shù)，y是t的減函數(shù),1所以(一a, 1)是y= -2的遞增區(qū)間；(X+1)當x(1,+a)時，t是X的增函數(shù)，y是t的減函數(shù),1 、所以(一 1，

6、+a)是y=2的遞減區(qū)間.(X + 1 J1綜上知，函數(shù)y=2的遞增區(qū)間為(一a, 1)，遞減區(qū)間為(一 1,+a).(X+ 1 J1例 6.求y=x22x3 的單調(diào)區(qū)間.解：由X2 2x 3 工 0,得X工一 1 或x豐3,21 令t=x 2x 3(t豐0)，貝 Uy=-,1因為y=t在(a,0),(0，+a)上為減函數(shù)，2而t=X2x3 在(a, 1),(1,1)上為減函數(shù)，1在(1,3) , (3，+a)上是增函數(shù)，所以函數(shù)y=i的遞增區(qū)間為(一a,1) , ( 1,1),X 2X 3 遞減區(qū)間為(1,3) , (3,+a).【針對訓(xùn)練】1.下列四個函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是()A.B .

7、C.D.-【答案】A【解析】對于選項 A,函數(shù)的圖像的對稱軸為開口向上，所以函數(shù)在上為減函數(shù)所以選f(Xl) f(X2)一，當 x=0 時，沒有意義，所以選項D 是錯誤的.故答案為：A.2.下列四個函數(shù)中，在(0，+m)上為增函數(shù)的是()2A. f(x) = 3 xB. f(x) = x 3x1C. f(x)=不D. f(x) = |x|【答案】C【解析】當 x0 時，f(x) = 3 x 為減函數(shù)；當 x 0, |時，f(x) = x2 3x 為減函數(shù)；當當 X (0，+m)時，f(x) = |x| 為減函數(shù).b23若函數(shù)y=ax與y在0,壯陽上都是減函數(shù)，貝U f x = ax bx在0,

8、壯 Q 上是x()A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D .先減后增【答案】B【解析】由函數(shù)y = ax與討二在上都是減函數(shù)，可得a- 0,b : 0.則一元二次函數(shù)x2fxi；=axbx在上為減函數(shù).故選 B.4.定義在R上的函數(shù)f x對任意兩個不相等實數(shù)a,b，總有丄d 0成立，貝ya b必有()A.f (x)在R上是增函數(shù)B.f (x)在R上是減函數(shù)C.函數(shù)f (x)是先增加后減少D.函數(shù)f (x)是先減少后增加【答案】A【解析】于選項 C,在在上為增函數(shù)，所以選項C 是錯誤的對于選項 D,3 3一2 2=X2 3x 為增函數(shù)；當X (0，+m)時,f(x)=斗為增函-pmf(x)若a訃則由

9、題意f a一f b0知，一定有f a：f b成立，由增函數(shù)的定義知， 該a -b函數(shù)f x在R上是增函數(shù)；同理若a b，則一定有f a . f b成立，即該函數(shù)f x在R上是增函數(shù).所以函數(shù)f x在R上是增函數(shù).故應(yīng)選 A.5.已知，那么()A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞增D. 在上單調(diào)遞增【答案】D【解析】，在記，則當時,單調(diào)遞增，且)而在）不具有單調(diào)性， 故A 錯誤；當時，不具有單調(diào)性，故B 錯誤；當時,單調(diào)遞增，且)而在）不具有單調(diào)性, 故C 錯誤；當，時,單調(diào)遞減，且)而在）單調(diào)遞減，根據(jù) “同增異減”知，D 正確故選：Dax6.試討論函數(shù) f(x) = (a豐0

10、)在(一 1,1)上的單調(diào)性.x 1【答案】見解析【解析】設(shè)一 1X1X21 ,儀一 1+1、 f 1 f(x) =aT =a 1 +L，f(x1)-f(x2)=a 1+呂a 1+呂a X2X1,十=.由于一 1X1x20, X1 10, X2 10 時，f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函數(shù) f(x)在(1,1)上遞減；當 a0 時，f(x1) f(x2)0，即 f(x1)0 時，f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減；當 a0,函數(shù)f(x) = x + x(x)，證明：函數(shù) f(x)在(0 ,a上是減函數(shù)，在 a,+ g)上是增函數(shù).【答案】見解析al此時，函數(shù) f(x) = x

11、+ -(a0)在(0 ,a上為減函數(shù)；X當 X1X2 a 時，X1 X20,1 -0，有 f(x1) f(x2)0，即卩 f(x f(x2),vX1X2a此時，函數(shù) f(x) = x+ -(a0)在,a,+g)上為增函數(shù)；a綜上可知，函數(shù) f(x) = x + -(a0)在(0 , a上為減函數(shù)，在,a,+)上為增函數(shù).X8.已知函數(shù)-的圖象經(jīng)過點(1, 1),(, )(1)求函數(shù) 的解析式；) = 7+-(x 工 0).(2)證明：設(shè)任意 X1, X2(0+OQ),且 X1X2O,則 f(x1) f(x2) = xi+ x x2+ x = (x1 X2)+xi旦aX1X2aX2 Xi+XiX

12、2當念x1X20 時，X1 X20,1aX1X20,有 f(x1) f(x2)0 ,即卩 f(x1)0,XIX2+20.由 Xi 0 .0，即 f(xL) f(x2).2函數(shù) F(刃=在(0 +OQ)上為減函數(shù).9.已知函數(shù)在上滿足，且，(1 )求，的值；(2)判斷的單調(diào)性并證明；【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增，證明見解析；(3).【解析】(1 )令，即可得到，再令，可得，令即可求得；(2)單調(diào)遞增，證明：任取且，則因為，所以所以 在上單調(diào)遞增10.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，且當時,(1 )求的值;(2)證明：為單調(diào)增函數(shù)；(3 )若-，求在一上的最值【答案】(1) f (1 )=0. (2

13、)見解析(:3)最小值為-2，最大值為 3.【解析】試題分析：(1)利用賦值法進行求()的值；(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷()在(，)上的單調(diào)性，并證明.(3 )根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，并利用賦值法可得函數(shù)的最值.試題解析：(1)：函數(shù) f (X)滿足 f (Xi?X2)=f ( Xi) +f (X2), 令 Xi=X2=1，貝Uf (1) =f (1) +f (1),解得 f (1) =0.(2)證明：(2)設(shè) X1, X2( 0, +8)，且 X1X2,則 *2 1,-f 宀) 0,蠱1街二 f ( X1) f ( X2)=f ( X2? f ( X2)=f ( X2)+f C ) 即 f ( X1) f ( X2), f (X)在(0, +8)上的是增