級《高等數(shù)學》（Π）期末考試試卷（A）（工科類）

1、2002級高等數(shù)學（）期末考試試卷（A）（工科類）專業(yè)： 姓名： 學號： 考試日期：2003.6.18.題號一二三四五六總 分得分說明：1. 本試卷共4頁；2. 答案必須寫在該題后的橫線上或寫在該題下方空白處，不得寫在草稿紙中，否則該題答案無效.一、填空題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）： 1設，則 . 2設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則 ， . 3級數(shù)的收斂半徑是 ，收斂域為 . 4曲線在點處的切線方程為 . 5設，則梯度 . 6設為正向閉曲線：，則 .(A) . (B) . (C) . (D). 7設連續(xù)，交換積分次序 . 8二階常系數(shù)線性微分方程有一個形如 的特解（不必確定系數(shù)）

2、. 9若某二階線性非齊次微分方程的兩個解為，且相應齊次方程的一個解為，則該非齊次微分方程的通解為 . 10若是由和圍成的平面有界閉區(qū)域，而是連續(xù)函數(shù)，則 .二、(本題11分) 用薄鋼板制作一個容積為4(m3)的有底無蓋長方體箱子，如何取長方體箱子的長、寬、高的值，才能使得制作箱子所用的鋼板面積最省？三、(本題11分) 計算三重積分，其中是曲面與圍成的閉區(qū)域.四、(本題共12分，每小題6分) 判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？ (1) . (2) .五、(本題11分)已知函數(shù)具有連續(xù)的導數(shù)，曲線積分與路徑無關，且，試求.六、 (本題5分) 已知函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，求證=

3、.2002級高等數(shù)學（）期末考試試卷（A）(經(jīng)管類)專業(yè)： 姓名： 學號： 考試日期：2003.6.18.題號一二三四五六總 分得分說明：1. 本試卷共4頁；2. 答案必須寫在該題后的橫線上或寫在該題下方空白處，不得寫在草稿紙中，否則該題答案無效.一、填空題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）： 1設，則 . 2設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則 ， . 3級數(shù)的收斂半徑是 ，收斂域為 . 4曲線在點處的切線方程為 . 5設，則梯度 . 6設平面薄片的質量密度分布為，則的質量可表示為 ，又若為，則其質量等于 . 7設連續(xù)，交換積分次序 . 8二階常系數(shù)線性微分方程有一個形如 的特解（不必確定

4、系數(shù)）. 9若某二階線性非齊次微分方程的兩個解為，且相應齊次方程的一個解為，則該非齊次微分方程的通解為 . 10若是由和圍成的平面有界閉區(qū)域，而是連續(xù)函數(shù)，則 .二、(本題11分) 用薄鋼板制作一個容積為4(m3)的有底無蓋長方體箱子，如何取長方體箱子的長、寬、高的值，才能使得制作箱子所用的鋼板面積最?。咳?、(本題11分) 計算二重積分，其中.四、(本題共12分，每小題6分) 判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？(1) . (2) .五、(本題11分) 設函數(shù)連續(xù)，且滿足，試求.六、 (本題5分) 計算三重積分，其中閉區(qū)域是由不等式 ，所確定，這里.2002級高等數(shù)學（

5、）期末考試試卷（B）（工科類）專業(yè)： 姓名： 學號： 考試日期：2003.6.18.題號一二三四五六總 分得分說明：1. 本試卷共4頁；2. 答案必須寫在該題后的橫線上或寫在該題下方空白處，不得寫在草稿紙中，否則該題答案無效.一、填空題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）： 1設，則 . 2設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則 ， . 3級數(shù)的收斂半徑是 ，收斂域為 . 4曲線在點處的切線方程為 5設，則梯度 . 6設為正向閉曲線：，則 .(A) . (B) . (C) . (D). 7設連續(xù)，交換積分次序 . 8二階常系數(shù)線性微分方程有一個形如 的特解（不必確定系數(shù)）. 9若某二階線性非齊次

6、微分方程的兩個解為，且相應齊次方程的一個解為，則該非齊次微分方程的通解為 . 10若是由和圍成的平面有界閉區(qū)域，而是連續(xù)函數(shù)，則 .二、(本題11分) 用薄鋼板制作一個容積為32(m3)的有底無蓋長方體箱子，如何取長方體箱子的長、寬、高的值，才能使得制作箱子所用的鋼板面積最?。咳?、(本題11分) 計算三重積分，其中是曲面與圍成的閉區(qū)域.四、(本題共12分，每小題6分) 判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？ (1) . (2) .五、(本題11分)已知函數(shù)具有連續(xù)的導數(shù)，曲線積分與路徑無關，且，試求.六、 (本題5分) 已知函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，求證= .2002級高等數(shù)學（

7、）期末考試試卷（B）(經(jīng)管類)專業(yè)： 姓名： 學號： 考試日期：2003.6.18.題號一二三四五六總 分得分說明：1. 本試卷共4頁；2. 答案必須寫在該題后的橫線上或寫在該題下方空白處，不得寫在草稿紙中，否則該題答案無效.一、填空題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）： 1設，則 . 2設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則 ， . 3級數(shù)的收斂半徑是 ，收斂域為 . 4曲線在點處的切線方程為 . 5設，則梯度 . 6設平面薄片的質量密度分布為，則的質量可表示為 ，又若為，則其質量等于 . 7設連續(xù)，交換積分次序 . 8二階常系數(shù)線性微分方程有一個形如 的特解（不必確定系數(shù)）. 9若某二階線

8、性非齊次微分方程的兩個解為，且相應齊次方程的一個解為，則該非齊次微分方程的通解為 . 10若是由和圍成的平面有界閉區(qū)域，而是連續(xù)函數(shù)，則 .二、(本題11分) 用薄鋼板制作一個容積為32(m3)的有底無蓋長方體箱子，如何取長方體箱子的長、寬、高的值，才能使得制作箱子所用的鋼板面積最??？三、(本題11分) 計算二重積分，其中.四、(本題共12分，每小題6分) 判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？ (1) . (2) .五、(本題11分) 設函數(shù)連續(xù)，且滿足，試求.六、 (本題5分) 計算三重積分，其中閉區(qū)域是由不等式 ，所確定，這里.2002級高等數(shù)學（）期末考試試卷（A

9、）解答及評分標準一、填空題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）： 1設，則. 2設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則，. 3級數(shù)的收斂半徑是，收斂域為. 4曲線在點處的切線方程為. 5設，則梯度. 6設為正向閉曲線：，則 (A) .(A) . (B) . (C) . (D). 6設平面薄片的質量密度分布為，則的質量可表示為，又若為，則其質量等于. 7設連續(xù)，交換積分次序. 8二階常系數(shù)線性微分方程有一個形如的特解（不必確定系數(shù)）. 9若某二階線性非齊次微分方程的兩個解為，且相應齊次方程的一個解為，則該非齊次微分方程的通解為. 10若是由和圍成的平面有界閉區(qū)域，而是連續(xù)函數(shù)，則.二、(本題11分

10、) 用薄鋼板制作一個容積為4(m3)的有底無蓋長方體箱子，如何取長方體箱子的長、寬、高的值，才能使得制作箱子所用的鋼板面積最?。?解 設長方體箱子的長、寬、高分別為，則制作箱子所用的鋼板面積為， 且， (2分)設 ， （5分）考慮方程組 （8分）解方程組得， （10分）這是唯一可能的極值點，根據(jù)問題的實際意義，使鋼板面積最省的長、寬、高一定存在，因此，當長、寬、高分別為2m, 2m, 1m時，所用的鋼板面積最省. （11分）三、(本題11分) 計算三重積分，其中是曲面與圍成的閉區(qū)域. 解 (由對稱性) （3分） （8分） （11分）三、(本題11分) 計算二重積分，其中. 解 (由對稱性) （

11、3分） （8分） . （11分）四、(本題共12分，每小題6分) 判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？ (1) . 解 由于， （4分）由比值判別法知，級數(shù)發(fā)散. （6分） (2) . 解 由于 ，所以級數(shù)不絕對收斂， （3分）又， 且，所以級數(shù)收斂，且為條件收斂. （6分）五、(本題11分)已知函數(shù)具有連續(xù)的導數(shù)，曲線積分與路徑無關，且，試求. 解 由于積分與路徑無關，則，這里.由此可得 ， （4分）即 ， （6分）解得 ， （9分）由初始條件得，從而有. （11分）五、(本題11分) 設函數(shù)連續(xù)，且滿足，試求. 解 方程兩邊對求導得 ， （4分）即 ， （6分）解得

12、 ， （9分）由條件所給方程，得初始條件，由此得，從而有. （11分）六、(本題5分) 已知函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，求證= . 解 右邊 （1分） （3分） =左邊. （5分）六、 (本題5分) 計算三重積分，其中閉區(qū)域是由不等式 ，所確定，這里. 解 （3分）. （5分）2002級高等數(shù)學（）期末考試試卷（B）解答及評分標準一、填空題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）： 1設，則. 2設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則，. 3級數(shù)的收斂半徑是，收斂域為. 4曲線在點處的切線方程為. 5設，則梯度. 6設為正向閉曲線：，則 (B) .(A) . (B) . (C) . (D). 6設平面薄片的質

13、量密度分布為，則的質量可表示為，又若為，則其質量等于. 7設連續(xù)，交換積分次序. 8二階常系數(shù)線性微分方程有一個形如的特解（不必確定系數(shù)）. 9若某二階線性非齊次微分方程的兩個解為，且相應齊次方程的一個解為，則該非齊次微分方程的通解為. 10若是由和圍成的平面有界閉區(qū)域，而是連續(xù)函數(shù)，則.二、(本題11分) 用薄鋼板制作一個容積為32 (m3)的有底無蓋長方體箱子，如何取長方體箱子的長、寬、高的值，才能使得制作箱子所用的鋼板面積最?。?解 設長方體箱子的長、寬、高分別為，則制作箱子所用的鋼板面積為， 且， （2分）設 ， （5分）考慮方程組 （8分）解方程組得， （10分）這是唯一可能的極值點

14、，根據(jù)問題的實際意義，使鋼板面積最省的長、寬、高一定存在，因此，當長、寬、高分別為4m, 4m, 2m時，所用的鋼板面積最省. （11分）三、(本題11分) 計算三重積分，其中是曲面與圍成的閉區(qū)域. 解 (由對稱性) （3分） （8分） （11分）三、(本題11分) 計算二重積分，其中. 解 (由對稱性) （3分） （8分） . （11分）四、(本題共12分，每小題6分) 判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？ (1) . 解 由于， （4分）由比值判別法知，級數(shù)發(fā)散. （6分） (2) . 解 由于 ，所以級數(shù)不絕對收斂， （3分）又， 且，所以級數(shù)收斂，且為條件收斂. （6分）五、(本題11分)已知函數(shù)具有連續(xù)的導數(shù)，曲線積分與路徑無關，且，試求. 解 由于積分與路徑無關，則，這里.由此可得 ，