線性方程組典型習(xí)題解析

1、3 線性方程組3.1 知識(shí)要點(diǎn)解析(關(guān)于線性方程組的常用表達(dá)形式) 基本概念 1、方程組 稱為含n個(gè)未知量m個(gè)方程的線性方程組， i)倘若不全為零，則該線性方程組稱為非齊次線性方程組； ii)若，則該線性方程組就是齊次線性方程組， 這時(shí)，我們也把該方程組稱為的導(dǎo)出組， （其中不全為零）2、記 則線性方程組（*）又可以表示為矩陣形式 3、又若記 則上述方程游客一寫成向量形式 。同時(shí)，為了方便，我們記，稱為線性方程組（*）的增廣矩陣。 線性方程組解的判斷1、齊次線性方程組，（n=線性方程組中未知量的個(gè)數(shù) 對(duì)于齊次線性方程組，它是一定有解的（至少零就是它的解）， i)那么，當(dāng)時(shí)，有唯一零解；ii)當(dāng)

2、時(shí)，又非零解，且線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為n-r.2、非齊次線性方程組 線性方程組的解空間1、齊次線性方程組的解空間 （作為線性方程組的一個(gè)特殊情形，在根據(jù)其次線性方程與非齊次線性方程組解的關(guān)系，我們這里首先討論齊次線性方程組的解空間） 定理：對(duì)于數(shù)域K上的n元齊次線性方程組的解空間W的維數(shù)為 ， 其中A是方程組的系數(shù)矩陣。那么，當(dāng)齊次線性方程組 有非零解時(shí)，它的每個(gè)基礎(chǔ)解系所含解向量的數(shù)目都等于。2、 非齊次線性方程組的解空間 我們已知線性方程組的解與非齊次線性方程組的解的關(guān)系，那么我們可首先求出非齊次線性方程組的一個(gè)解（稱其為方程組特解）；然后在求對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組的解空間（設(shè)該解空間的基礎(chǔ)解系為）

3、，則(*)解空間的維數(shù)為n-r，且非齊次線性方程組的每一個(gè)解都可以表示為： 我們稱其為該非齊次線性方程組(*)的通解.3.2 經(jīng)典題型解析1、已知方程組無解，試求的取值 解：方程組的增廣矩陣（初等行變換不影響線性方程組的解） 由于方程組無解或i)當(dāng)時(shí)，方程組又無窮多解；ii)當(dāng)時(shí)，方程組無解綜上可得，易錯(cuò)提示：對(duì)方程組有解、無解時(shí)的條件把握不牢固；在把增廣矩陣化為解提醒矩陣的過程中不仔細(xì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。所以，我們在做題的過程中，一定要善于總結(jié)，通過練習(xí)找到自己的不足點(diǎn)。對(duì)于關(guān)于線性方程組解的判定、性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)失無必要進(jìn)行總結(jié)的，已做到深刻的理解與領(lǐng)悟。2、設(shè)A為n階方陣，且是的三個(gè)線性無關(guān)的解向

4、量，則下面哪個(gè)是的基礎(chǔ)解系 ( ) 解：由的基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)為 又因?yàn)槭堑慕?，所以四個(gè)選項(xiàng)中的向量都是方程組的解，而我們只要驗(yàn)證看其是否線性無關(guān)即可，現(xiàn)在我們利用矩陣這里工具來進(jìn)行求解： 因?yàn)椋核裕蛄拷M線性無關(guān)，而其余三個(gè)都是線性相關(guān)的，故選A。評(píng)析：本題解法頗多，只要驗(yàn)證選項(xiàng)中的向量組線性無關(guān)即可，但上述方法是較為簡單的方法，且不易出錯(cuò)；同時(shí)，我們可以看到，在解決一些有關(guān)向量組和線性方程組問題時(shí)，有時(shí)把矩陣這一數(shù)學(xué)工具拿來運(yùn)用也未嘗不是一種簡便！3、設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。而，其中t1，t2是實(shí)數(shù)，問當(dāng)t1，t2滿足什么關(guān)系時(shí)，也是方程組的基礎(chǔ)解系？解：顯然，為的解，下證在線性無關(guān)

5、時(shí)，t1，t2應(yīng)滿足的關(guān)系。設(shè)由線性無關(guān)知由于線性無關(guān)，此方程組只有零解，即故當(dāng)時(shí)，即s為偶數(shù)時(shí)，s為奇數(shù)時(shí)，這時(shí)為的一個(gè)基礎(chǔ)解系。4、設(shè)齊次線性方程組，試問a為何值時(shí)，該方程組有非零解，并求其解。解：方法一對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換（1）若，方程組有非零解，其同解方程為故其基礎(chǔ)解系為，所以方程組的通解為（為任意常數(shù)）（2）若，對(duì)矩陣B繼續(xù)作初等行變換，有當(dāng)時(shí)，方程組有非零解，其同解方程為得基礎(chǔ)解系為所以通解為 （k為任意常數(shù)）方法二 由于系數(shù)行列式故當(dāng)或時(shí)，方程組有非零解。（1）當(dāng)時(shí)，有故方程組的同解方程為由此行基礎(chǔ)解系為，通解為（為任意常數(shù)）（2） 當(dāng)時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，有故方程組

6、的同解方程為可得基礎(chǔ)解系為，故通解為（k為任意常數(shù)）5、求下述數(shù)域K上的非齊次線性方程組的解空間 解：第一步，求解方程組的特解。為此，先求出它的一般解公式，所以，方程組的一般解為 （其中都是自由變量）由式可以推出方程組的一特解： 第二步，求導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 由于原 非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣與其導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣相同，因此，我們只要把原方程組一般解公式的常數(shù)項(xiàng)去掉，就可得到導(dǎo)出組的一般解。 （其中都是自由變量）從而得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 第三步，寫出非齊次線性方程組的解空間 評(píng)析：本題寫出了求解一般非齊次線性方程組的最一般的解法及其步驟，作為線性方程組的最一般解法，我們是必須掌握的。6、

7、已知向量， 是方程組的三個(gè)解，求該方程組的解。解：即方程組的系數(shù)矩陣為A，則i) 由已知條件知：時(shí)相應(yīng)的齊次線性方程組的兩個(gè)線性無關(guān)的解向量 由 又系數(shù)矩陣A有二階子式 系數(shù)矩陣A的秩r(A)因此，由*）與*）ii)由i) 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系由個(gè)解向量構(gòu)成，即是齊次線性方程組的一基礎(chǔ)解系所以，該線性方程組得通解為：易錯(cuò)提示：按常規(guī)思路，如果把三個(gè)解代入方程組先求其參數(shù)，再求通解，則計(jì)算是非常繁瑣的，在限定時(shí)間內(nèi)是很難達(dá)到很好的效果，有時(shí)這種方法也是行不通的；而倘若我們對(duì)方程組的性質(zhì)與其解的結(jié)構(gòu)都能夠很好的理解，那么當(dāng)遇到相關(guān)類型的題目時(shí)也就不至于困惑了。7、問k為何值時(shí)，線性方程組，有唯一

8、解，無解，無窮多解？并且，當(dāng)有解時(shí)求出其所有解。解：記線性方程組的系數(shù)矩陣為A，即，則 ，i) 當(dāng)，即且時(shí)，方程組有唯一解，我們用克萊姆法則求之，。ii) 當(dāng)時(shí)，方程組的增廣矩陣，因此，方程組無解；iii) 當(dāng)時(shí)，方程組的增廣矩陣 ，可知方程組有無窮多解，于是 ，令，則通解為，亦即。點(diǎn)評(píng)：本題屬于含有參數(shù)變量的線性方程組問題，這類問題一直都是本章的一個(gè)重要考察點(diǎn)，務(wù)必要好好把握。8、設(shè)有兩個(gè)4元齊次線性方程組（I）；（II）（1）求線性方程（I）的基礎(chǔ)解系；（2）試問方程組（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，則求出所有的非零公共解；若沒有，則說明理由。解:（1）（I）的基礎(chǔ)解系為，（2）關(guān)于共公解有下列方法：方法一 把（I）（II）聯(lián)立起來直接求解，令 由，基礎(chǔ)解系為，從而（I），（II）的全部公共解為，（k為任意實(shí)數(shù)）方法二 通過（I）與（II）各自的通解，尋找公共解?？汕蟮茫↖I）的基礎(chǔ)解系為，則，分別為（I），（II）的通解。令其相等，即有 由此得 比較得故公共解為 方法三 把（I）的通解代入（