等腰直角三角形中的常用模型

1、等腰直角三角形中的常用模型一【知識(shí)精析】1、等腰直角三角形的特征：邊、角方面的特征：兩直角邊相等，兩銳角相等（都是45º）邊之間的關(guān)系：已知任意一邊長(zhǎng)，可得到其它兩邊長(zhǎng)。2、等腰直角三角形與全等三角形：以等腰直角三角形為背景的幾何問題中，常常包含全等三角形，發(fā)現(xiàn)并證明其中的全等三角形往往是解題的關(guān)鍵突破口。熟悉以下基本模型，對(duì)解決等腰直角三角形問題很有好處。模型一：一條直線（不與三角形的邊重合）過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)（1）以原等腰直角三角形的兩直角邊為對(duì)應(yīng)斜邊，必定可以構(gòu)造一對(duì)全等的直角三角形：例1如圖：RtABC中，BAC=90º，AB=AC，點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，過

2、B作BEAD于點(diǎn)E，過C作CFAD于點(diǎn)F。（1）求證：BE-CF=EF；（2）若D在BC的延長(zhǎng)線上（如圖（2），（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論并證明。如圖1，等腰RtABC中，AB=CB，ABC=90º，點(diǎn)P在線段BC上（不與B、C重合），以AP為腰長(zhǎng)作等腰直角PAQ，QEAB于，連CQ交AB于M。（1）求證：M為BE的中點(diǎn)（2）若PC=2PB，求的值（2）以原等腰直角三角形的兩直角邊為對(duì)應(yīng)直角邊，必定可以構(gòu)造一對(duì)全等的直角三角形：3、如圖：RtABC中，BAC=90º，AB=AC，點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，過B作BEAD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)G，過C作CFAC交

3、AD的延長(zhǎng)線與于點(diǎn)F。（1）求證：BG=AF；（2）若D在BC的延長(zhǎng)線上（如圖（2），（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論并證明。變式1：如圖，在RABC中，ACB=45º，BAC=90º，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延長(zhǎng)線于E，求證：BC垂直且平分DE. 變式2：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AFBD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF，求證：1=2。變式3：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，點(diǎn)D、E是AC上兩點(diǎn)且AD=CE，AFBD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F連接DF，

4、求證：1=2。模型二：等腰直角三角形與另一個(gè)直角三角形共斜邊等腰直角三角形與另一個(gè)直角三角形有公共斜邊，一定可以以兩腰為對(duì)應(yīng)邊構(gòu)造全等三角形例1：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，E是AC上一點(diǎn)，過C作CDBE于D，連接AD，求證：ADB45°。 變式1：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，E是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)D為BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ADC135°求證：BDDC。變式2：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90°，BE平分ABC交AC于E，過C作CDBE于D，DMAB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，（1）求的值；（2）求的值。模型三：兩個(gè)

5、等腰直角三角形共一個(gè)頂點(diǎn)（1）兩個(gè)等腰直角三角形共直角頂點(diǎn)，必定含一對(duì)全等三角形：例1、如圖1，ABC、BEF都是等腰直角三角形，ABC=BEF=90º，連接AF、CF，M是AF的中點(diǎn)，連ME，將BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)。猜想CF與EM的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）兩個(gè)等腰直角三角形共銳角頂點(diǎn)且直角開口方向相同，必定含一對(duì)相似三角形：（3）兩個(gè)等腰直角三角形共銳角頂點(diǎn)且直角開口方向相反，必定可利用平移構(gòu)造含一對(duì)全等三角形：如圖，ABC和EBD都是等腰直角三角形，BAC=BED=90º。把DE平移到CF，使E與C重合，連接AE、AF，則AEB與AFC全等（關(guān)鍵是利用平行證明ABE=ACF）

6、例.如圖：兩個(gè)直角三角形ABC、ADE的頂點(diǎn)A重合，P是線段BD的中點(diǎn)，連PC、PE。（1）如圖1，若BAC=DAE=45°，當(dāng)A、C、D在同一直線上時(shí)，線段PC、PE的關(guān)系是 ；（2）如圖2、3，將BAC繞A旋轉(zhuǎn)度，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？任意選擇一個(gè)證明你的結(jié)論。三【鞏固練習(xí)】AFBDEC1如圖，在中，,、為上兩點(diǎn)，為外一點(diǎn)，且,則下列結(jié)論：;,其中正確的是A、B、C、 D、2已知：RtABC中，AB=AC，BAC=90°，若O是BC的中點(diǎn)，以O(shè)為頂點(diǎn)作MON，交AB、AC于點(diǎn)M、N。（1）若MON=90°（如圖1），求證：OM=ON；BM2+CN2=MN

7、2；（2）若MON=45°（如圖2），求證：AM+MN=CN；3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AOB為等腰直角三角形，A（4，4）。（1） 若C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角ACD，ACD=90°，連OD，求AOD的度數(shù)；（2） 過A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長(zhǎng)線上，以EG為直角邊作等腰RtEGH，過A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M，連FM，等式是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由。4.在ABC和DCE中，AB=AC，DC=DE,BAC=EDC=90°，點(diǎn)E在AB上，連AD，DFAC于點(diǎn)F。試探索AE、AF、AC的數(shù)量

8、關(guān)系；并求出DAC的度數(shù)。5如圖：等腰RtABC和等腰RtEDB，AC=BC，DE=BD，ACBEDB90°，E為AB是一點(diǎn)，P為AE的中點(diǎn)。連接PC，PD；則PC，PD的位置關(guān)系是 ；數(shù)量關(guān)系是 ；并證明你的結(jié)論。當(dāng)E在線段AB上變化時(shí)，其它條件不變，作EFBC于F，連接PF，試判斷PCF的形狀；在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，PCF是否可為等邊三角形？若可以，試求ACB與EDB的兩直角邊之比。6（2013年湖南常德10分）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBCF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A (4，0)，B (0，4)。點(diǎn)N為OA上一點(diǎn)，OMBN于M，且ONB=45°+MON。（1） 求證：BN平分OBA；（2） 求的值；（3） 若點(diǎn)P為第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且APO=135°，問AP與B