第四講_微分方程

1、第四講 微分方程考綱要求1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法.3.會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡單的變量代換解某些微分方程.4.會(huì)用降階法解下列微分方程：，和.5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu).6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程.7.會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.8.會(huì)解歐拉方程.9.會(huì)用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題.問題1 何謂微分方程、微分方程的階、解、通解、初始條件、特解、初值

2、問題和微分方程的積分曲線？答 微分方程：含有自變量、未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的等式.微分方程的階(order)：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù).微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù).微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù).初始條件：確定微分方程通解中任意常數(shù)的值的條件.微分方程的特解：確定了通解中任意常數(shù)的值后所得到的解.初值問題（Cauchy問題）：微分方程連同初始條件.一階微分方程初值問題：，.二階微分方程初值問題：，.微分方程的積分曲線：微分方程的解的圖形（通解的圖形是一族曲線）.問題2 如何求解一階微分方程？答 一階微分方程的一般形式

3、是：，解出：，考綱要求掌握變量可分離的微分方程、一階線性微分方程、.齊次微分方程、伯努利方程的解法.1可分離變量的微分方程：解法 分離變量：；兩端積分：.2 齊次微分方程：解法 令，則，代入方程，得并求解.3 一階線性微分方程：若，則稱它是齊次的，否則，稱它為非齊次的.解法（常數(shù)變易法）先解對應(yīng)齊次線性微分方程，求得通解；再令非齊次線性微分方程的解為，代入方程求出.通解公式：解的結(jié)構(gòu)：一階非齊次線性微分方程的通解對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解非齊次線性微分方程的特解.4 伯努利方程：.（與一階線性微分方程比較）解法 方程兩邊乘以，再令，將方程化為一階線性微分方程.求解微分方程的步驟是：判斷方程的

4、類型并用相應(yīng)的方法求解.例 求解下列一階方程：1. 【】2. 【】3. 【】4. 【】5. 【】6.7. 【】問題3 如何求解可降階的二階微分方程？答 二階微分方程，解出，考綱要求掌握下列三種類型可降階方程的解法：1. 、型的微分方程特點(diǎn)：右端僅含.解法：積分兩次.2. 型的微分方程特點(diǎn)：右端不顯含未知函數(shù).解法：換元，化為一階方程求解. 步驟如下：令，則，方程化為（這是關(guān)于變量，的一階方程）；解出；再由解出.3.型的微分方程特點(diǎn)：右端不顯含.解法：換元，化為一階方程求解. 步驟如下：令，則，方程化為（這是關(guān)于變量，的一階方程）；解出；再由解出.例1. 解方程.【】2.求微分方程滿足初始條件的

5、特解.3.求初值問題的解.解 令，則，方程化為，分離變量，得，兩邊積分，得，即.將初始條件代入，得，故，解得，（舍去）.再解，分離變量，得，兩邊積分，得，將初始條件代入，得，所求特解為，即.注意 二階可降階方程求特解過程中，任意常數(shù)出現(xiàn)一個(gè)，確定一個(gè)，有利于下一步求解.問題4 敘述二階線性微分方程解的性質(zhì)、解的結(jié)構(gòu).答 二階線性微分方程的一般形式：若，則稱方程是齊次的，否則稱方程是非齊次的.1.線性微分方程解的性質(zhì)如果與是齊次方程的兩個(gè)解，則是此齊次方程的解.如果與是非齊次方程的兩個(gè)解，則是對應(yīng)齊次方程的解.（解的疊加原理）設(shè)是線性方程的特解，則是的特解.2線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1（齊次方程

6、解的結(jié)構(gòu)）如果與是齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則是此齊次方程的通解.定理2（非齊次方程解的結(jié)構(gòu)）設(shè)是非齊次方程的一個(gè)特解，是對應(yīng)的齊次方程的通解，則是此非齊次方程的通解.例 設(shè)是的三個(gè)線性無關(guān)的解，則其通解為 .【】問題5 如何求解二階常系數(shù)線性齊次方程？答 先求出它的特征方程的兩個(gè)根，再根據(jù)特征根的三種不同情形寫出通解（見下表）.特征方程的根 方程的通解兩個(gè)不等實(shí)根 兩個(gè)相等實(shí)根 兩個(gè)共軛復(fù)根 問題6 如何求二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解？答 考綱要求會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)，只要求出它的一個(gè)特解和

7、對應(yīng)的齊次方程的通解，而齊次方程的通解已經(jīng)解決，關(guān)鍵是求它的一個(gè)特解.1.若，則令，其中2.若，則令，其中，將它們代入非齊次方程，求出多項(xiàng)式中的待定系數(shù)，從而求出特解.例1.求滿足的解.【】2.求的通解.【】3.的特解形式可設(shè)為 .問題7 如何求解歐拉方程？答 令，則，歐拉方程化為二階常系數(shù)線性方程. 例 歐拉方程的通解為 .【】問題8 如何求解含變限積分的方程（積分方程）？答 積分方程通過求導(dǎo)可化為微分方程，這種方程通常含有初始條件（令積分上限等于積分下限）.例1.設(shè)，為連續(xù)函數(shù)，求.解 ，兩邊對求導(dǎo)，得，兩邊再對求導(dǎo)，得，故滿足微分方程，由，得初始條件.2.函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足等式，求.【

8、】解 由，得，令，即，又，得，故.問題9 如何用微分方程求解應(yīng)用問題？答 關(guān)鍵是建立微分方程（包括初始條件）.例題3 應(yīng)用題1.設(shè)是第一象限連接的一段連續(xù)曲線，為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為在軸上的投影，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若梯形的面積與曲邊三角形的面積之和為，求的表達(dá)式.【】2.設(shè)位于第一象限的曲線過點(diǎn)，其上任一點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為，且線段被軸平分.求曲線的方程；（）已知曲線在上的弧長為，試用表示的弧長.【】解 曲線在點(diǎn)處的法線方程為，令 ，得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題設(shè)知，即，解得，將代入上式，得，故曲線的方程為.曲線在上的弧長，的參數(shù)方程為弧長.3.設(shè)在上連續(xù)，若由曲線，直線與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一

9、周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為，求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解.【；】4.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸的水平速度為700km/h經(jīng)測試，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為），問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多少？【1.05km】解 【利用建立方程，關(guān)鍵是受力分析】質(zhì)量，水平速度，飛機(jī)所受的總阻力，依題意，兩邊積分，得，即，將代入上式，得，故，飛機(jī)滑行的最長距離（km）問題10（數(shù)學(xué)三） 何謂差分、差分方程、差分方程的階？如何求解一階常系數(shù)線性差分方程？ 答 函數(shù)的差分.二階差分.差分方程：含有差分的等式.差分方程的階：下標(biāo)差的最大值.求解一階常系數(shù)線性差分方程的步驟是：先求對應(yīng)齊次方程通解：求出特征方程的根，通解