簡明線性代數(shù) 答案_第1頁
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1、習 題 4.11求下列矩陣的特征值和特征向量.（1）;解: 方陣的特征多項式為,方陣的特征值為.解方程組.由,得基礎解系，.因此,方陣對應于的全部特征向量為(不同時為零).（2）.解: 方陣的特征多項式為,方陣的特征值為,.當時,解方程組.由,得基礎解系.因此,方陣對應于的全部特征向量為(不為零).當時,解方程組.由,得基礎解系.因此,方陣對應于的全部特征向量為(不為零).當時,解方程組.由,得基礎解系.因此,方陣對應于的全部特征向量為(不為零).2設,為的特征值.證明為的特征值.證明: 存在非零向量,使.于是,.因此,為的特征值.3已知3階矩陣的特征值為,求.解: 記,則的特征值為,.于是.

2、4設為階可逆矩陣的一個特征值,證明（1）為的特征值;（2）為的特征值.證明: (1) 存在非零向量,使.于是,因此,為的特征值.(2) 因,而為的特征值,所以由題2知為的特征值.5已知3階矩陣的特征值為,求.解: 因矩陣的特征值為,所以,.記,則的特征值為,.于是.6設有四階方陣滿足條件,求方陣的伴隨矩陣的一個特征值.解: 因,故,可知的一個特征值為.由,得.因,所以.于是的一個特征值為.7已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量.試求常數(shù).解: 存在的特征值,使得.故有,即得.解此方程,求得或.8設有三個線性無關的特征向量,求和應滿足的條件.解: 方陣的特征多項式為,方陣的特征值為,.因有三個線性無

3、關的特征向量,所以的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù),也即.因此.而.當且僅當時,有三個線性無關的特征向量.9設矩陣可相似對角化,求.解: 方陣的特征多項式為,方陣的特征值為,.因可相似對角化,所以的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù),即,.而.當且僅當時,可相似對角化.10設三階方陣的特征值為,對應的特征向量依次為,求.解: 記,則有.因此,.注意是初等矩陣,知.于是.11已知矩陣與相似.（1）求和;（2）求一個滿足的可逆矩陣.解: (1) 因矩陣與對角矩陣相似,故知矩陣的特征值為.由特征值的性質(zhì),我們有,.于是得方程組.求得.(2) 當時,解方程組.由,得基礎解系.當時,解方程組.由,得基礎解系.當時,解方程組.由,得基礎解系.所以,

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