簡(jiǎn)明線性代數(shù) 答案

1、習(xí) 題 4.11求下列矩陣的特征值和特征向量.（1）;解: 方陣的特征多項(xiàng)式為,方陣的特征值為.解方程組.由,得基礎(chǔ)解系，.因此,方陣對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為(不同時(shí)為零).（2）.解: 方陣的特征多項(xiàng)式為,方陣的特征值為,.當(dāng)時(shí),解方程組.由,得基礎(chǔ)解系.因此,方陣對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為(不為零).當(dāng)時(shí),解方程組.由,得基礎(chǔ)解系.因此,方陣對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為(不為零).當(dāng)時(shí),解方程組.由,得基礎(chǔ)解系.因此,方陣對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為(不為零).2設(shè),為的特征值.證明為的特征值.證明: 存在非零向量,使.于是,.因此,為的特征值.3已知3階矩陣的特征值為,求.解: 記,則的特征值為,.于是.

2、4設(shè)為階可逆矩陣的一個(gè)特征值,證明（1）為的特征值;（2）為的特征值.證明: (1) 存在非零向量,使.于是,因此,為的特征值.(2) 因,而為的特征值,所以由題2知為的特征值.5已知3階矩陣的特征值為,求.解: 因矩陣的特征值為,所以,.記,則的特征值為,.于是.6設(shè)有四階方陣滿足條件,求方陣的伴隨矩陣的一個(gè)特征值.解: 因,故,可知的一個(gè)特征值為.由,得.因,所以.于是的一個(gè)特征值為.7已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量.試求常數(shù).解: 存在的特征值,使得.故有,即得.解此方程,求得或.8設(shè)有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,求和應(yīng)滿足的條件.解: 方陣的特征多項(xiàng)式為,方陣的特征值為,.因有三個(gè)線性無(wú)

3、關(guān)的特征向量,所以的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù),也即.因此.而.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.9設(shè)矩陣可相似對(duì)角化,求.解: 方陣的特征多項(xiàng)式為,方陣的特征值為,.因可相似對(duì)角化,所以的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù),即,.而.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),可相似對(duì)角化.10設(shè)三階方陣的特征值為,對(duì)應(yīng)的特征向量依次為,求.解: 記,則有.因此,.注意是初等矩陣,知.于是.11已知矩陣與相似.（1）求和;（2）求一個(gè)滿足的可逆矩陣.解: (1) 因矩陣與對(duì)角矩陣相似,故知矩陣的特征值為.由特征值的性質(zhì),我們有,.于是得方程組.求得.(2) 當(dāng)時(shí),解方程組.由,得基礎(chǔ)解系.當(dāng)時(shí),解方程組.由,得基礎(chǔ)解系.當(dāng)時(shí),解方程組.由,得基礎(chǔ)解系.所以,