立體幾何中的向量方法——教學(xué)設(shè)計

1、課題：選修（2-1）3.2立體幾何中的向量方法（教學(xué)設(shè)計）仁懷市茅臺高級中學(xué) 楊國軍三維目標(biāo)：1、 知識與技能（1）在學(xué)習(xí)了方向向量的基礎(chǔ)上理解平面的法向量的概念；（2）能由直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系及向量的運(yùn)算來判斷或證明直線、平面的位置關(guān)系；（3）理解運(yùn)用直線的方向向量、平面的法向量及向量的運(yùn)算來解決關(guān)于直線、平面的夾角及距離的問題的方法（主要是關(guān)于角的問題）；(4)能初步利用向量知識解決相關(guān)的實(shí)際問題及綜合問題。2、過程與方法（1）在初步運(yùn)用向量解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生對向量進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)用，從而全面掌握立體幾何的向量方法；（2）通過探究立體幾何中的向量方法，并進(jìn)行針對性地運(yùn)

2、用，體會向量這個重要的數(shù)學(xué)工具的強(qiáng)大和廣泛的作用，從而為進(jìn)一步解決更加廣泛的問題打好基礎(chǔ)；（3）通過向量方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識重要的數(shù)學(xué)思想方法（如：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、類比思想等等）。 3、情態(tài)與價值觀 (1) 通過對立體幾何中的向量方法的探究和運(yùn)用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（2）通過培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，滲透更廣泛地育人思想，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識學(xué)習(xí)的本質(zhì)，有利于形成正確的人生觀和價值觀； （3）通過各種形象而具體的問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)

3、學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。 教學(xué)重點(diǎn)：立體幾何中的向量方法教學(xué)難點(diǎn)：立體幾何中的向量方法的靈活準(zhǔn)確及恰當(dāng)運(yùn)用。教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的基本知識，并利用空間向量初步解決了一些立體幾何問題，已初步感受到空間向量在解決立體幾何問題中的重要作用，并從中體會到了向量運(yùn)算的強(qiáng)大作用。這一節(jié)，我們將全面地探究向量在立體幾何中的運(yùn)用，較系統(tǒng)地總結(jié)出立體幾何的向量方法。為此，首先簡單回顧一下相關(guān)的基本知識和方

4、法：1直線l的方向向量的含義： .2向量的特殊關(guān)系及夾角（最后的填空是用坐標(biāo)表示）（1）a/b ；（2）ab ；（3）aa = ；（4）cosa,b = 。二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究 ：前面，我們主要是利用向量的運(yùn)算解決了立體幾何中關(guān)于直線的問題，如：兩直線垂直問題；兩直線的夾角問題；特殊線段的長的問題等等若再加入平面，會出現(xiàn)更多的的問題，如：線面、面面的位置關(guān)系問題；線面的夾角問題；二面角的問題等等而且都是立體幾何中的重要問題，這些問題用向量的知識怎樣來解決呢？直線可由其方向向量確定并由其來解決相關(guān)的問題，平面又由怎樣的向量來確定呢？ 這些問題就是我們將要探究或解決的主要問題同學(xué)們都知道：垂直

5、于同一條直線的兩個平面 。由此我們應(yīng)該會想象出怎樣的向量可確定平面的方向了下面請同學(xué)們合作探究一下這方面的知識和方法：（一）平面的法向量： 。（二）直線、平面的幾種重要的位置關(guān)系的充要條件：請同學(xué)們根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的幾何意義直觀地得出直線、平面的幾種特殊的位置關(guān)系的充要條件（用直線的方向向量或平面的法向量來表達(dá)）設(shè)直線 , 的方向向量分別為 ，平面 ， 的法向量分別為，則： ； ； ； ； ； ?！拘≡嚺５丁?設(shè)直線 , 的方向向量分別為 ，根據(jù)下列條件判斷直線 , 的位置關(guān)系：（1）= （2 ，-1 ，-2），=（6 ，-3，-6）；（2）= （1 ， 2 ，-2），=（-2

6、， 3， 2）；（3）= （0 ， 0， 1），=（0 ， 0，-3）。2平面 ， 的法向量分別為，根據(jù)下列條件判斷平面 ，的位置關(guān)系：（1）= （-2 ，2 ， 5），=（6 ，-4， 4）；（2）= （ 1 ，2 ，-2），=（-2，-4， 4）；（3）= （ 2 ，-3 ，5），=（-3 ，1，-4）。3如圖，在正方體中，E、F分別是、CD的中點(diǎn)，求證： 平面ADE （你能用幾種方法呢？ ）（三）利用向量方法證明平面與平面平行的判定定理【定理】一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行已知：直線 , 和平面 ，其中, ， 與相交，求證：【分析】根據(jù)，所以只要證明即可，那需

7、要證明，都是平面的法向量【證明】設(shè)直線 , 的方向向量分別為 ，平面 ， 的法向量分別為，（下面留給同學(xué)們嘍）【點(diǎn)評】向量法解題“三步曲”：（1）化為向量問題 （2）進(jìn)行向量運(yùn)算 （3）翻譯向量運(yùn)算結(jié)果，回到圖形問題. 關(guān)于兩特殊點(diǎn)間距離的問題三、互動達(dá)標(biāo)此類問題前面已經(jīng)接觸過，下面再來總結(jié)及拓展一下：問題.1如圖,一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體,其中頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是60,那么以這個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系。A1B1C1D1ABCD【分析】根據(jù)前面所學(xué)的方法，可將用與棱相關(guān)的向量表示出來，通過運(yùn)算求解【解析】因?yàn)樗?這個晶體的對角線的長是棱

8、長的倍【點(diǎn)評】遇到空間兩點(diǎn)間的距離問題，往往把兩點(diǎn)間的距離表示為以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模。然后把向量進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸?，運(yùn)用向量的模滿足的關(guān)系式：來進(jìn)行針對性地運(yùn)算和求解【探究】1.本題中平行六面體的另一條對角線的長與棱長有什么關(guān)系?2.如果一個平行六面體的各棱長都相等,并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都是等于,那么由這個平行六面體的對角線長可以確定棱長嗎?3.本題的晶體中相對的兩個面之間的距離是多少?【分析】顯然，第1個問題與問題.1類似；第個問題是問題.1的逆向問題，所列的式子應(yīng)該是一樣的，只不過未知數(shù)的位置不同；第個問題略有挑戰(zhàn)性，可把兩個面之間的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離或點(diǎn)到面的距離對

9、于這個問題，同學(xué)們可在課后先探究一下，以后在進(jìn)行總結(jié)下面我們再來看一個問題.1的逆向問題：問題.如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為a和 b ,CD的長為 c, AB的長為d 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。 【分析】正如上面的分析，此題是問題.1的逆向問題，解決方法與問題.1一致 【解析】ABCD根據(jù)向量的加法法則于是得到設(shè)向量與夾角為，就是庫底與水壩所成二面角。因此所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為【點(diǎn)評】由此可體會解決一類數(shù)學(xué)問題的方法，從而以靜制動，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、方法應(yīng)用的本質(zhì)?！咎骄俊?本題中如果AC和B

10、D夾角可以測出，而AB未知，其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？（通過課本第頁的第題體會一下即可）2如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？3如果已知一個四棱柱的各棱長都等于a ，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？【分析】顯然，第1個問題又回到了問題.1的形式；第、個問題是問題.1的逆向問題，但第個問題又是略有挑戰(zhàn)性，需要通過做輔助線構(gòu)出問題.的圖形模式對于這個問題，同樣是同學(xué)們先課后探究一下，以后在進(jìn)行總結(jié) 關(guān)于直線、平面的位置關(guān)系的論證及夾角問題問題.3如

11、圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF PB交PB于點(diǎn)F。 （1）求證：PA平面EDB； （2）求證：PB 平面EFD； （3）求二面角CPBD的大小?！痉治觥看祟}包括：判定直線與平面平行和垂直及計算二面角的大小均可用向量方法來解決。題目中的垂直條件非常適合建立空間直角坐標(biāo)系來表示向量。 【解析】（1）證明：連接AC，AC交BD于點(diǎn)G，連結(jié)EG。依題意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，）。因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以點(diǎn)G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（，0），且=(1，0,1)，=（，0，）所以,即PAEG而E

12、G平面EDB，且PA平面EDB,因此PA平面EDB(2)依題意得B（1，1，0），=（1，1，1）又=(0, ,),故=0+-=0所以PBDE 由已知EFPB。且EFDE=E所以PB平面EFD(3)已知PBEF，由（2）知PBDE，故EFD是二面角C-PB-D的平面角。設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）,則=()因?yàn)樗?)=k()即因?yàn)樗?0所以，點(diǎn)F坐標(biāo)為（）又點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）所以因?yàn)樗訣FD=60，即二面角C-PB-D的平面角的大小為60?！军c(diǎn)評】(1)此題涉及到的問題都是立體幾何中的重點(diǎn)問題。通過解決過程來看，若條件適合建立空間坐標(biāo)系，建系表示向量來解決問題還是較簡潔的轉(zhuǎn)化為目標(biāo)明確的坐標(biāo)運(yùn)算 (

13、2) 同學(xué)們可用傳統(tǒng)法（不用向量）解決一下，比較各自的特點(diǎn)，便于解決問題時能恰當(dāng)選擇方法可大體上分為三種方法：傳統(tǒng)法；向量法；坐標(biāo)向量法。當(dāng)然也可把這三種方法結(jié)合起來使用直線與平面所成的角怎樣用向量來解決呢？同學(xué)們可借助此題的背景來求直線PA與平面PBC所成角：關(guān)于點(diǎn)到平面的距離問題利用問題.3的條件（PD=DC改為PD=DC= a ）求出點(diǎn)A到平面PBC的距離總結(jié)出點(diǎn)到平面的距離的求法：關(guān)于實(shí)際問題問題4.一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為，在它的頂點(diǎn)處分別受力，每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是，且，這塊鋼板在這些力的作用下將怎樣運(yùn)動？這三個力是多少時，才能提起這塊鋼板？【分析】鋼

14、板所受重力為，垂直向下作用在三角形的中心O.若能將各頂點(diǎn)處所受的力，用向量形式表示，求出合力，就能判斷鋼板的運(yùn)動狀態(tài)?！窘馕觥拷猓阂渣c(diǎn)A為原點(diǎn)，平面ABC為xAy坐標(biāo)平面，方向?yàn)閥軸正方向，|為y軸的單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)，則正三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為設(shè)力方向上的單位向量坐標(biāo)為由于與的夾角均為60，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，得 由得因?yàn)闉閱挝幌蛄?，因此于?200（）同理=200（）=200（）所以+=200（）+200（）+200（） =200()這說明，作用在鋼板上合力方向向上，大小為200，作用點(diǎn)為O由于200500，所以鋼板仍靜止不動。要提起這塊鋼板，設(shè)三個力大小均為x，則，解的因此

15、，要提起這塊鋼板，三力大小均要大于?！军c(diǎn)評】此題是力的合成問題，用向量將其表示，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量來表示四、思悟小結(jié)：知識線：（1）平面的法向量；（2）用直線的方向向量和平面的法向量判斷直線、平面的位置關(guān)系的幾個結(jié)論。思想方法線：（1）向量法與坐標(biāo)法；（2）等價轉(zhuǎn)化思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；題目線：（1）關(guān)于兩特殊點(diǎn)的距離及拓展問題；（2）關(guān)于直線、平面的位置關(guān)系的判斷與論證問題；（3）關(guān)于夾角問題；（4）關(guān)于簡單的距離問題；（5）關(guān)于實(shí)際問題及綜合問題。五、針對訓(xùn)練 鞏固提高：1（1）設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k

16、),若， 則k= ；若，則 k= 。（2）若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1, ,2),若，則m= ； 若，則m = .2如圖，已知線段AB在平面內(nèi)，線段，線段BDAB，線 段，如果ABa，ACBDb，求C、D間的距離 或：一個矩形ABCD，AB=3,CD=4,以BD為棱折成直二面角，求A、 C之間的距離。3（1）如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和AC,BD的長都等于a，點(diǎn)M , N分別是AB, CD 的中點(diǎn)，求證：MNAB , MNCD . （2）如圖，已知正方體ABCDABCD , B C 和C B 相交于點(diǎn)O,連結(jié)DO，求證：DOB C4. 如圖，M、N分別是棱長為1的正方體的棱、 的中點(diǎn)求異面直線MN與所成的角5如圖，正方體ABCDABCD中， 點(diǎn)E , F分別是B B， CD的中點(diǎn)。