知識講解直線與拋物線的位置關(guān)系理基礎(chǔ)

1、直線與拋物線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標】1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求拋物線的方程；2.能熟練運用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點、離心率、準線）解決相關(guān)問題；3.能夠把直線與拋物線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】拋物線拋物線的定義與標準方程拋物線的幾何性質(zhì)直線與拋物線的位置關(guān)系拋物線的綜合問題拋物線的弦問題拋物線的準線【要點梳理】要點一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線要點詮釋：上述定義可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點，一定點F（即焦點），一

2、定直線（即準線），一定值1（即動點M到定點F的距離與定直線l的距離之比）.要點二、拋物線的標準方程拋物線標準方程的四種形式：，圖像方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）焦點準線要點詮釋：求拋物線的標準方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個方面去思考.“定形”是指以坐標軸為對稱軸的情況下，焦點在哪條坐標軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)拋物線方程的具體形式；“定值”是指用定義法或待定系數(shù)法確定p的值.要點三、拋物線的幾何性質(zhì)范圍：，拋物線y2=2px（p0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標（x，y）的橫坐標滿足不等式x0；當(dāng)x的值增大

3、時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線y2=2px（p0）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標原點拋物線y2=2px（p0）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標是（0，0）。離心率：.拋物線y2=2px（p0）上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率。用e 表示，e=1。拋物線的通徑通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑。要點三、直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p0）聯(lián)立

4、成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為.若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；若 0 直線和拋物線相交，有兩個交點；0直線和拋物線相切，有一個公共點；0直線和拋物線相離，無公共點直線與拋物線的相交弦設(shè)直線交拋物線于點兩點，則=同理可得這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：拋物線的焦點弦問題已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則：焦點弦長，其中|AF|叫做焦半徑，焦點弦長最小值為2p。根據(jù)時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。要點詮釋：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和其他圓錐曲線與直線一樣，注

5、意其中方程思想的應(yīng)用和解析幾何的通性通法.【典型例題】類型一：拋物線的方程與性質(zhì)例1 頂點在坐標原點,對稱軸是坐標軸,并且經(jīng)過點M(4，8)的拋物線有幾條?求出它們的標準方程.【解析】因為拋物線關(guān)于坐標軸對稱，它的頂點在原點，并且經(jīng)過點，所以可設(shè)它的標準方程為因為點M在拋物線上，所以即，因此，所求拋物線有兩條，它們的標準方程是，【總結(jié)升華】拋物線的焦點軸有四種情況，因此在討論拋物線方程時要注意它的不同位置，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出方程是解決問題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】若拋物線通過直線與圓x2y26x0的兩個交點，且以坐標軸為對稱軸，求該拋物線的方程【答案】由得，或，根據(jù)題意可設(shè)拋物線的方程為x22my(

6、m>0)或y22px(p>0)，則在拋物線上，m，p，方程為或【變式2】已知定點F(0,2)，若動點M(x，y)滿足|MF|y2，則點M的軌跡方程為_【答案】由已知得點M到點F的距離等于點M到直線y2的距離，故點M的軌跡方程為x28y.類型二：直線與拋物線的位置關(guān)系例2過定點P(0,2)作直線l，使l與拋物線y24x有且只有一個公共點，這樣的直線l共有_條【答案】3【解析】如圖，過點P與拋物線y24x僅有一個公共點的直線有三條：二條切線、一條與x軸平行的直線【總結(jié)升華】直線與拋物線只有一個公共點時要考慮相交于一點的情況，不要漏掉.舉一反三：【變式】已知F是拋物線y2x的焦點，A，B

7、是該拋物線上的兩點，|AF|BF|3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為_【答案】|AF|BF|xAxB3，xAxB.線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為.類型三：拋物線的弦例3.斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于點A、B，求線段A、B的長【解析】如圖831，y2=4x的焦點為F (1，0)，則l的方程為y=x1由消去y得x26x+1=0設(shè)A (x1，y1)，B (x2，y2) 則x1+x2=6又A、B兩點到準線的距離為，則【總結(jié)升華】拋物線的定義本身也是拋物線最本質(zhì)的性質(zhì)，在解題中起到至關(guān)重要的作用。舉一反三：【變式】頂點在原點，焦點在x軸的拋物線截直線y2x1所得的弦長|AB|

8、，求拋物線的方程【答案】y220x或y212x.例4.若直線l：ykx2交拋物線y28x于A、B兩點，且AB的中點為M(2，y0)，求y0及弦AB的長【解析】把ykx2代入y28x，得k2x2(4k8)x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點M(2，y0)，x1x24，即4，解得k2或k1.又16k264k6416k2>0，k>1，k2，此時直線方程為y2x2，M(2，y0)在直線上，y02，|AB|.【總結(jié)升華】拋物線弦的中點坐標和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點弦問題的關(guān)鍵，方程的思想也是解析幾何的核心思想.舉一反三：【變式】過拋物線y24x的焦點作直線l交拋物線

9、于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則|AB|等于_【答案】8【解析】拋物線的準線方程為x1，則AB中點到準線的距離為3(1)4.由拋物線的定義得|AB|8.類型四：拋物線的綜合問題例5.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)兩點，求證：； 【解析】證明：由拋物線的方程可得焦點的坐標為。（1）當(dāng)直線PQ斜率存在時，過焦點的直線方程可設(shè)為，由消去x得：ky22pykp2=0 （）當(dāng)k=0時，方程（）只有一解，k0，由韋達定理得：y1·y2=p2。當(dāng)直線PQ斜率不存在時，得兩交點坐標為，y1·y2=p2。綜上兩種

10、情況：總有y1y2=p2?！究偨Y(jié)升華】韋達定理在解決拋物線綜合問題中有著非常重要的作用，注意它的合理應(yīng)用.舉一反三：【變式1】 定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動，AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標【答案】如圖，設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設(shè)點A，B，M在準線:x=1/4上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)³(|AB|)=等號在直線AB過焦點時成立，此時直線AB的方程為y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依題意|AB|=|x1x2|=×=3,k2=1/2, 此時x=(x1+x2)= y= ±即M(,), N(,)【變式2】已知點P是拋