立體與立體相交

1、第八章 立體 平面、直線、立體與立體相交教學(xué)目的要求：掌握各種基本立體的投影及其畫法,掌握立體表面上截交線、相貫線投影的作圖方法。教學(xué)重點難點：截交線、相貫線的基本作圖方法。學(xué) 時：81 基本立體的投影平面立體由若干平面所圍成的立體。如：棱柱、棱錐曲面立體由曲面或曲面和平面圍成的立體。主要是回轉(zhuǎn)體，如：圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)。一、平面立體特點表面都是多邊形，相鄰表面的交線為棱線。畫圖步驟：首先立體組成、擺放。弄清各表面、棱線、各頂點對投影面的相對位置，然后運用點、線、面的投影知識畫出三視圖。最后判別可見性，可見畫成粗實線，不可見畫成虛線。1棱柱（1）組成：上下底面、幾個側(cè)棱面，頂、底面是正六邊

2、形，六個側(cè)棱面都是矩形并垂直于頂、底面。擺放：頂、底面為水平面，前后兩側(cè)面為正平面，其余四個側(cè)面為鉛垂面，所有側(cè)棱線為鉛垂線。（2）三視圖：水平投影正六邊形，反映頂、底面的實形。六個側(cè)面垂直于H面，其投影都積聚為直線。正面投影矩形線框組成。中間的線框反映前后兩側(cè)面的實形；旁邊兩線框反映其余四側(cè)面的投影，是類似形；頂、底面投影積聚為直線，平行于OX軸。 側(cè)面投影矩形線框，分別反映四個側(cè)面的投影，是類似形；前后兩側(cè)面、頂、底面的投影均積聚為直線。（3）表面取點：利用積聚性。已知點的一面投影及可見性判斷出點的位置求出點的另外兩面投影，并判斷可見性。2棱錐（1）組成：底面是多邊形，各棱面為有公共頂點的

3、三角形 擺放：底面為水平面，側(cè)面SAC為側(cè)垂面，側(cè)棱線SB為側(cè)平線（2）三視圖：水平投影大的等邊三角形（反映底面ABC的實形）包含三個小的等腰三角形（三個側(cè)面的類似形）。正面投影大三角形線框包含兩個三角形線框，是三側(cè)面的類似形；底面投影積聚為直線并平行于OX軸。側(cè)面投影是一個三角形線框，是兩側(cè)面SAB與SBC的類似形,側(cè)面SAC的投影積聚為直線；底面ABC的投影積聚為直線，頂點A與C為重影點。（3）表面取點：輔助直線法（兩種）。已知點的一面投影及可見性判斷出點的位置做輔助直線，求出點的另外兩面投影，并判斷可見性。 A過錐頂做通過已知點的輔助直線（下右圖） B過已知點做底邊的平行線（下左圖）C特

4、殊的（點做在平面為特殊位置可以利用積聚性求解（下右圖）例 已知立體表面上的點A（a已知）、B（b已知）求：其余兩投影。 （圖83） 圖83 利用積聚性求點的投影 圖8-3解 分析 由于A、B位于特殊位置平面上，所以A、B點的其余兩投影可利用積聚性求出。二、曲面立體（回轉(zhuǎn)體）由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面組成。回轉(zhuǎn)面是由一根動線(曲線或直線)繞一固定軸線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，該動線稱為母線，母線在回轉(zhuǎn)面上的任意位置稱為素線。常見的有圓柱、圓錐、圓臺、圓球、圓環(huán)等。 1、圓柱 （1）組成：圓柱面、垂直于軸的上、下底面（2）三視圖：軸線垂直于H面水平投影圓，反映上下底面的實形，且是圓柱回轉(zhuǎn)面的積聚投影。正面

5、投影矩形線框，其上下邊反映上、下底面的積聚投影，左、右邊是圓柱面的最左、最右素線的投影。側(cè)面投影矩形線框，其各邊分別代表上、下底面的積聚投影與圓柱面的最前、最后素線的投影。（3）輪廓素線投影及曲面可見性 四條轉(zhuǎn)向輪廓素線是圓柱面可見部分與不可見部分的分界線。（4）表面取點：利用積聚性 知點的一面投影及可見性判斷出點的位置求出點的另外兩面投影，并判斷可見性。 2、圓錐以直線為母線，繞與它相交的軸回轉(zhuǎn)一周所形成的面為圓錐面。 （1）組成： 圓錐面，垂直于軸的底面（2）三視圖：軸線垂直于H面 正面投影等腰三角形，下邊為圓錐底面的積聚性投影，左、右邊表示圓錐的最左、最右素線 水平投影圓，反映圓錐底面的

6、實形，同時也表示圓錐面的投影。 側(cè)面投影三角形，兩邊表示圓錐面最前、最后素線 （3）輪廓素線投影及曲面可見性 四條轉(zhuǎn)向輪廓素線是圓錐面可見部分與不可見部分的分界線。（4）表面取點： A、作輔助直線（過錐頂） B、做輔助圓（/于底面） 知點的一面投影及可見性判斷出點的位置作輔助線，求出輔助線的未知投影求出點的另外兩面投影，并判斷可見性。3、球圓球體是由球面圍成，由一圓弧母線繞其軸線旋轉(zhuǎn)而成。（1）組成： （2）三視圖：都是與球直徑相等的圓，分別是球的三個投影的轉(zhuǎn)向輪廓線，也是球面上平行于三個投影面的最大圓的投影。 正面投影是前半球和后半球平行于正面的大圓A的投影,它是球面正面投影可見與不可見部分

7、的分界線。大圓的水平投影側(cè)面投影不再處于投影的輪廓位置，而在相應(yīng)的對稱中心線上，不應(yīng)畫出。水平投影是上半球與下半球B的投影。側(cè)面投影是左半球與右半球C的投影。（3）輪廓素線投影及曲面可見性 （4）表面取點：做輔助圓（/于基本投影面） 知點的一面投影及可見性判斷出點的位置作輔助圓，求出輔助圓的未知投影求出點的另外兩面投影，并判斷可見性。 2平面與立體相交截 交:平面與立體相交，截去立體的一部分。截交線：截平面與立體表面的交線。截交線的性質(zhì)1、為由直線組成的封閉折線（多邊形），其頂點是截平面與平面立體的棱線或平面轉(zhuǎn)折處的交點。2、多邊形的每一條邊是截平面與棱面的交線。求截交線求截平面與各棱線的交點

8、（表面取點法），或截平面與各棱面的交線。求截交線的方法棱線法、棱面法 平面立體截切的畫圖，即求截交線的步驟 1、空間及投影分析，找出已知，預(yù)見未知 A、截平面與體的相對位置確定截交線形狀 B、截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性 2、畫出所求視圖體的完整投影 3、畫出截交線的投影，判別可見性 4、分析各棱線的投影，擦去多余部分 5、檢查，完成例題棱柱的截切，求側(cè)面投影棱錐的截切補全帶切口三棱錐水平投影和側(cè)面投影試完成正四棱錐被兩平面截切后的投影。 兩平面截切四棱錐作圖步驟（1） 求出截平面T與四棱錐的交點的投影。（2） 求截平面R與四棱錐的交點的投影。（3） 求面T與面R的交線上4、5

9、點的投影。（4） 依次連接所求各交點的同面投影。（5） 判別可見性。二、回轉(zhuǎn)體的截切截交線的性質(zhì)1、一般是封閉的平面曲線，或是由曲線與直線所圍成的平面圖形，也可能是多邊形。2、其形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面形狀和截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。求曲面立體截交線=求出截平面與曲面立體的被截各素線的交點連接求截交線的基本方法有素線法和輔助平面法。 回轉(zhuǎn)體截切畫圖步驟 1、空間及投影分析 A、回轉(zhuǎn)體形狀，截平面與回轉(zhuǎn)體軸線位置確定截交線的形狀 B、截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性 2、畫出體的完整投影 3、畫出截交線的投影，并判別可見性。截交線的投影為非圓曲線先找特殊點（最高、最低、最前、最后、最

10、左、最右點），補充中間點。然后光滑地連接各點 4、分析輪廓素線投影 5、檢查，完成 各種回轉(zhuǎn)體截切的分析1、圓柱的截切截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置（三種情況）矩形、圓和橢圓。截平面位置平行于軸線垂直于軸線傾斜于軸線立體圖截交線形狀矩形圓橢圓投影圖例1：求圓柱與正垂面斜切的截交線 例2：畫出開槽的實心和空心圓柱的三視圖。 2、圓錐的截切根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀：圓、橢圓、拋物線與直線組成的平面圖形、雙曲線與直線組成的平面圖形及過錐頂?shù)娜切巍：笕N截交線均為非圓曲線，應(yīng)用輔助線法或輔助平面法求出。截平面位置過錐頂垂直于軸線平行于軸線傾斜

11、于軸線=立體圖截交線形狀直線（三角形）圓雙曲線橢圓拋物線投影圖例1：求作被正平面截切的圓錐截交線例2：已知圓錐體切口的正面投影，完成切口的其他兩投影3、圓球的截切平面與圓球相交，其截交線總是一個圓。由于截平面相對于投影面的位置不同，截交線的投影可能是圓、橢圓或直線，如下圖所示。球的截交線 平面與圓球截交線例 求平面與圓球的截交線。 （圖814）解 分析 由于截平面P為鉛垂面，所以截交線的H投影積聚于PH,V、W投影均為橢圓。這兩個橢圓可用兩種方法畫出，第一種方法是找出一系列公共點，然后光滑連接，第二種方法是找出長、短軸端點，用橢圓的近似畫法畫出橢圓。作圖步驟如圖814所示。例 求半圓球切槽后的

12、、投影 。（圖815）解 分析水平面截切圓球，截交線在俯視圖上為部分圓弧，在左視圖上積聚為直線兩個側(cè)平面截切圓球，截交線在左視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。作圖步驟如圖所示。圖815 求半球截切后的投影4 立體與立體相交兩個立體相交稱為相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫相貫線。相貫線性質(zhì)：（1）兩立體表面的共有線，也是兩立體表面的分界線，其上的點是兩立體表面的共有點。 （2）一般是封閉的空間曲線，特殊情況是平面曲線或直線段。 求相貫線上點的方法-積聚性法和輔助平面法。相貫的形式一、平面體與回轉(zhuǎn)體相貫1. 相貫線的性質(zhì)由若干段平面曲線（或直線）所組成的空間折線，每一段是平面體的棱面與回轉(zhuǎn)體表面的交

13、線。2. 作圖方法求交線的實質(zhì)是求各棱面與回轉(zhuǎn)面的截交線。 分析各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的相對位置，從而確定交線的形狀。 求出各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線。 連接各段交線，并判斷可見性。二、回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫1. 相貫線的性質(zhì)一般為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線。2.作圖方法 利用投影的積聚性直接找點。 用輔助平面法。 作圖過程 先找特殊點-確定交線的范圍 補充中間點-確定交線的彎曲趨勢（一）圓柱與圓柱相貫常見的相貫形式-軸線垂直相交的兩圓柱相貫求其相貫線的投影，利用積聚性，采用表面取點法。 1.不同直徑兩圓柱相交（直徑相等時為特殊的相貫線-橢圓）相貫線的H面投影積聚在小圓柱的H面投影（

14、圓）， W面投影也積聚在大圓柱的W面投影（圓），且應(yīng)為大小圓柱共有部分的一段圓弧。只需求出相貫線的V面投影。求特殊點。轉(zhuǎn)向輪廓線上的點都是特殊點。 求作一般點?？衫脠A柱的積聚性直接求出。 連接各點，判別可見性。2.圓柱孔與實心圓柱相交2.兩圓柱直徑變化時，正交相貫線的變化趨勢兩圓柱相貫線的正面投影必然向大圓柱內(nèi)彎曲。兩圓柱直徑對比水平圓柱較大兩圓柱直徑相等水平圓柱較小立體圖相貫線特點上、下兩條空間曲線兩個互相垂直的橢圓左、右兩條空間曲線投影圖3兩圓柱正交相貫的形式（1）兩外表面相交 （實實相貫）（2）內(nèi)表面與外表面相交 （空實相貫）（3）兩內(nèi)表面相交（空空相貫）例 試求兩圓柱的相貫線。解 分

15、析 兩圓柱的軸線垂直，直立圓柱的水平投影為圓，具有積聚性，相貫線的水平投影積聚在此圓上，相貫線的側(cè)面投影積聚在水平圓柱的側(cè)面投影圓上（兩圓柱的一段共有圓?。@然相貫線的水平和側(cè)面投影已知，只需求正面投影。作圖步驟見圖819。 圖819兩偏心圓柱的相貫線（二）圓柱與圓錐相交PV 1.圓柱與圓錐正交分析：上圖是圓柱與圓錐相交的立體圖。柱軸和錐軸正交，相貫線是一條封閉的空間曲線。這條相貫線是圓錐和圓柱表面的共有線，由一系列共有點所組成。由于圓錐軸線垂直于H面，圓柱軸線垂直于W面，所以可采用一系列水平面P為輔助平面。此時輔助平面與圓錐的截交線為圓，與圓柱的截交線為素線。作圖：求特殊點。點I、為相貫線

16、上的最高點和最低點，可直接求得其三面投影。點和為最前點和最后點，可用水平輔助面P求出。在H面投影上，由于點3和4是圓柱面轉(zhuǎn)向輪廓線上的端點，也就確定了圓柱面H面的轉(zhuǎn)向輪廓線的范圍。 點是相貫線的最左點，相貫線的最右點不能用輔助平面法直接求出，可在側(cè)面投影中過錐頂作圓柱側(cè)面投影圓的切線Sa和Sb，得切點5、6，即最外輔助素線上點V、的側(cè)面投影。利用圓錐表面取點的輔助素線法求得V、的水平投影和正面投影。求一般點 在點I與點之間適當(dāng)位置，作輔助水平面，即可由點5、6、7、8求出5、6、(7)、(8)及 5、(6)、7、(8)。用同樣方法還可求出任意多的點。判別可見性 在正面投影中相貫線投影以l、2為

17、分界點，曲線l、5、3、7、2位于圓柱和圓錐前半部的表面上故可見，畫成實線，l、（6）、（4）、（8）、2為不可見部分畫成虛線。相貫線H面投影以3、4為分界點，處在上半圓柱部分的3、5、1、6、4為可見，畫成實線，處在下半圓柱部分3、（7）、（2）、（8）、4為不可見，不可見部分畫成虛線。連曲線 將各點的同面投影依次光滑連接成曲線，即可得相貫線的投影。2.圓柱與圓錐正交相貫線的變化 圖3.25為圓柱與圓錐面軸線垂直相交時，圓柱直徑的變化對相貫線的影響。在下圖變化的情況中，特別要注意的是當(dāng)圓柱與圓錐的軸線垂直相交時，如果兩回轉(zhuǎn)體公切于一個球面，則相貫線是橢圓，且橢圓所在的平面垂直于兩條軸線所決定

18、的平面。相貫線的投影呈特特殊情況為兩條相交的直線。如圖3.25a所示。 a） 立體圖 b）公切于球 c）圓錐貫穿圓柱 d）圓柱貫穿圓錐圖3.25 圓柱與圓錐面軸線垂直相交時的三種情況（三）圓柱與圓球相交 求作圓柱與半圓球的相貫線，如圖所示。分析:圓柱與圓球的軸線垂直相交，由于圓柱軸線垂直于側(cè)投影面，因此，相貫線的側(cè)面投影積聚在圓柱側(cè)面投影的圓周上。而V面與H面投影均無積聚性，所以不能用積聚性法求相貫線，可采用水平面P為輔助平面求出相貫線的正面投影和水平投影。作圖：求特殊位置點。求出最高點和最低點的正面投影l(fā)、2可直接求出，水平投影1、（2）在中心線上，可根據(jù)正面投影求出。最前點和最后點的投影，

19、可做輔助平面Q，輔助平面Q與圓球的截交線為圓，與圓柱的截交線為素線，5、6即為Q與圓球和圓柱的截交線在水平投影上的交點。由5、6和5、6可求得正面投影5、(6)。求一般位置點。 作輔助水平面P求出、點的水平投影3、4和正面投影3、(4)。判斷可見性。相貫體前后對稱，所以相貫線正面投影的前半部分和后半部分重合, 將各點的同面投影依次光滑連接成曲線。水平投影5、6為可見和不可見的分界點，把5、3、l、4、6連成實線，把6、(2)、5連成虛線。即可得相貫線的投影。（四）相貫線的簡化畫法在兩圓柱軸線垂直相交，直徑不等的情況下，如對作圖準確程度不作特殊要求時，為簡化作圖，可以用圓弧代替這段非圓曲線，便得到了相貫線近似的投影。其作圖方法如圖3.27所示，其要領(lǐng)可概括為“以大圓柱的半徑為半徑，在小圓柱的軸線上找圓心,在公共區(qū)域內(nèi)畫弧”。 a) b)圖3.27 相貫線的近似畫法和簡化畫法用輔助平面法求相貫線輔助平面法：根據(jù)三面共點的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點，從而畫出相貫線的投影。作圖方法：假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交點既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，因而是相貫