第十章 雙線性函數(shù)與辛空間_第1頁
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1、 重數(shù)也為偶數(shù). 定理 12 設(shè) li , l j 是數(shù)域 P 上辛空間 (V , f 上辛變換 在 P 中的特征值,且 li l j ¹ 1 .設(shè) Vli , Vl j 分別是 V 中對應于特征值 li 及 l j 的特征子空間.則 "u Î Vli , v Î Vl j , 有 f (u, v = 0 , 即 V li 與 Vl j 是辛正交的.特別地,當 li ¹ 1 時 Vli 是迷向子空間 . 第十章 雙線性函數(shù)與辛空間(小結(jié) 一、基本概念 線性函數(shù);對偶空間。對偶基;雙線性函數(shù)及其在基下的度量矩陣;非退化的雙線性函數(shù), 對稱與反對稱

2、雙線性函數(shù),正交基;辛空間,辛正交基. 二、主要結(jié)論 1. 設(shè) V 是 P 上一個 n 維線性空間,e 1 , e 2 ,L, e n 是 V 的一組基, a1 , a2 ,L, an 是 P 中任意 n 個 數(shù),存在唯一的 V 上線性函數(shù) f 使 f (e i = ai , i = 1 , 2 ,L, n . 2. 設(shè) e 1 , e 2 ,L, e n 及 h1 ,h 2 ,L,h n 是線性空間 V 的兩組基,它們的對偶基分別為 f1 , f 2 ,L, f n 及 g1 , g 2 ,L, g n . 如 果 由 e 1 , e 2 ,L, e n 到 h1 ,h 2 ,L,h n 的

3、 過 渡 矩 陣 為 A , 那 么 由 f1 , f 2 ,L, f n 到 g1 , g 2 ,L, g n 的過渡矩陣為 ( A¢ -1 . 3. L(V , P 的維數(shù)等于 V 的維數(shù),而且 f1 , f 2 ,L, f n 是 L(V , P 的一組基. 4. V 是一個線性空間, V * 是 V 的對偶空間的對偶空間. V 到 V * 的映射 x ® x * 是一個同構(gòu)映射 . 5. 在給定的基下, V 上全體雙線性函數(shù)與 P 上全體 n 級矩陣之間的一個雙射 . 6. 同一個雙線性函數(shù)在不同基下的度量矩陣是合同的. 7. 設(shè) V 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間, f (a , b 是 V 上對稱雙線性函數(shù),則存在 V 的一組基 e 1 , e 2 ,L, e n ,使 f (a , b 在這組基下的度量矩陣為對角矩陣. 8. 兩個辛空間是辛同構(gòu)的當且僅當它們有相同的維數(shù)

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