概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章習題及答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題第二章隨機變量及其分布5.在袋中同時取3只，以X表示取習題2-1一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,出的3只球中的最大號碼，寫出X隨機變量的分布律.解：X可以取值3,4,5,分布律為P(X3)1C2P(一球為3號,兩球為1,2號)一C3110P(X4)P(一球為4號，再在1,2,3中任取兩球)P(X5)PL球為5號,再在1,2,3,4中任取兩球)1C32C31C2C3310610也可列為下表X:3,4,5c136P:,101010習題2-2進行重復獨立試驗，設(shè)每次試驗成功的概率為p,失敗的概率為1p(0p1).(1)將試驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗次數(shù)，

2、求X的分布律.(此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布.)(2)將試驗進行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗次數(shù)，求Y的分布律.(此時稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布.)(3) 一籃球運動員的投籃命中率為45%.以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.解：(1)P(X=k)=qk1pk=1,2,(2) Y=r+n=最后一次實驗前r+n1次有n次失敗，且最后一次成功P(Yrn)Cnn1qnpr1pCnn/pr,n0,1,2,，其中q=1p,或記r+n=k，則PY=k=C；1pr(1p)kr,kr,r1,(3) P(X=k)=(0.55)k10.45k=1,22

3、k111P(X取偶數(shù)尸P(X2k)(0.55)0.4511k1k131習題2-3一房間有同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各窗子是隨機的。(1)以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。(2)戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y的分布律。P X=n= P 前n-1次飛向了另= (|)n1 I* E(2) Y的可能取值為1, 2, 32扇窗子，第n次飛了出去2,P Y=1=P 第1次飛了出去=3Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，

4、如戶主所說是確實的，試求解：(1)X的可能取值為1,2,3,，n,PY=2=P第1次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去=_2 2"3 2P Y=3=P 第 12!1= 3!3132次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去習題2-4設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3,當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號.(1)進行了5次重復獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率；(2)進行了7次重復獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率.解。以X表示在5次試艙中事件A發(fā)生的次數(shù),則X夙5,0.3).指示；燈發(fā)出信號這一事件可表為故所求的概率為55>3>=(Jo.TU+(J。.3Y1=0.163.(

5、2)以丫記在7次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù).則Y*7*0.3).故指示燈發(fā)出信號的概率為PY3)=1=0)尸比=1-Py=2)77=1-(1-0.3»(J】-0.3)*0,3-(2)(1-63y0.3?=0.353.習題2-5甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7.今各投3次.求(1)兩人投中次數(shù)相等的概率；(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率.記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y

6、=2)+P(X=3)P(Y=3)=(0.4)3x(0.3)3+C30.6(0.4)2C30.7(0.3)2C1(0.6)20.4Cf(0.7)2.3(0.6)3_3一一一(0.7)30.321(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率。P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=C；0.6(0.4)2(0.3)3C2(0.6)20.4(0.3)

7、8C:(0.6)20.4C30.7(0.3)2(0.6)3(0.3)3(0.6)3C30.7(0.3)2(0.6)3C；(0.7)20.30.243習題2-6有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯.如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次.(1)某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒.他連續(xù)試驗10次，成功3次.試推斷他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗是相互獨立的)解：(1)P(一次成功)=4C8470(2) P(連續(xù)試驗10次，成功3次尸C130()3(-69)7一。此概率太小，按實際707010000推斷原理，就認為

8、他確有區(qū)分能力。習題2-7一電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求：(1)某一分鐘恰有8次呼喚的概率；(2)某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的次數(shù)。(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率.48法一：P(X8)4re40.029770(直接計算)8!法二：P(X=8)=P(X>8)-P(X>9)(查入=4泊松分布表)。=0.0511340.021363=0.029771(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。P(X>10)=P(X>11)=0.002840(查表計算)習題2-8以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一個顧客到達等待的時間(以分1e0.4x,x0,計)，X的分

9、布函數(shù)是FX(x),求下述概率：(1)P至多3分鐘；(2)0,x0.P至少4分鐘；(3) P3分鐘至4分鐘之間；(4)P至多3分鐘或至少4分鐘；(5)P恰好2.5分鐘。解：(1)(2)P至多 3 分鐘= P XW3 =Fx(3) 1 e 1.2P 至少 4 分鐘 P (X >4) = 1 Fx(4) e 1.6(3)P3 分鐘至 4 分鐘之間= P 3< X< 4= Fx(4)Fx(3) e 1.2 e 1.6(4)P至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+ P至少4分鐘1.21.6=1 e e(5)P恰好 2.5 分鐘= P (X=2.5)=0習題2-9 某種型號的電子管的

10、壽命 X (以小時計)具有以下的概率密度1000f(x) x20,x 1000,其它現(xiàn)有一大批此種管子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨立) 大于1500小時的概率是多少？,任取5只，問其中至少有2只壽命解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為P(X 1500) 1P(X 1500)1500 1 0001000 x2dx 11000( -1) 1500100022(12)-33令Y表示“任取 5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”2、B(5,-) ，3P(Y 2) 1P(Y2)1 P(Y 0) P(Y1)1(1)5 C521(3) (3)1 535112321 -243 243習題2-10設(shè)顧

11、客在某銀行的窗口等待服務的時間X (以分計)服從指數(shù)分布，其概x 0,其它15xe5率密度為fx(x)50,某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘，他就離開，他一個月要到銀行5次，以Y表示-個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求PY1.解：該顧客“一次等待服務未成而離去”的概率為xxP(X10)10fx(x)dx510e5dxe，°e2因此YB(5,e2).即P(Yk)5e2k(1e2)5k,(k1,2,3,4,5kP(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1(1e2)51(1y)51(10.1353363)510.8677510.48330.5167.P 4 X 10習題2

12、-11設(shè)XN(3,22)，求(1)P2X5PX3;確定c,使得PXcPXc；(3)設(shè)d滿足PXd0.9,問d至多為多少？解：若XN(科，b2),則P(“aw3汽J()+E(T(T5323P(2<X<5)=()2()2=(j)(1)-(j)(-0.5)=0.84130.3085=0.5328103.43P(-4<XW10)=()2()一寸=()(3.5)-()(-3.5)=0.99980.0002=0.9996P(|X|>2)=1P(|X|<2)=1-P(2<P<2).2323=I22=14(-0.5)+4(-2.5)=10.3085+0.0062=0.

13、697733P(X>3)=1P(X<3)=1()2=10.5=0.5(2)決定C使彳導P(X>C)=P(X<C)P(X>C)=1P(X<C)=P(X<C)1得P(XWC)=2=0.5又P(XWC)=40.5，查表可得0C=322(S)PX>d>2皆即1-可立/)29,或。.9-ML282).因分布函數(shù)以工)是一個不減函數(shù)，故有因此,3+2X一1.282)=6436.習題2-12某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮壓，以mmHg計)服從N(110,122).在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X.(1)求PX105,P100X120;(2)

14、確定最小的x,使PXx0.05.1)P(X<105)P(100<X<120).(2)確定最小的X使P(X>x)&0.05.解：P(X105)J05"10)(0.4167)1(0.4167)10.66160.3384P(100X120)(120110)(200110)(.|)(_|)2(5)12(0.8333)120.797610.5952(2)P(Xx)1P(Xx)1(210)0.05(210)0.95.查表得x1101.645.x11019.74129.74.故最小的X129.74.12習題2-13工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X(以小時計)服從參數(shù)為160

15、,的正態(tài)分布，若要求P120X2000.80,允許最大為多少?P (120 VXW 200)=200 160(T120 160(T40(T400.80(T又對標準正態(tài)分布有4(x)=1(j)(x)上式變?yōu)橐?1(T40(T0.80解出丑便彳導:90.9(T(T再查表，得也1.281(T-40-31.2561.281習題2-14設(shè)隨機變量X的分布律為X-2-10131111P111Pk5651530Y的分布律為:求YX2的分布律.解;Y=X2:(2)2(1)2(0)2(1)2(3)2P:5工1111651530再把X2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y:0149111111P.-56

16、15530習題2-15設(shè)隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布(1)求YeX的概率密度;(2)求Y2lnX的概率密度(1)求Y=eX的分布密度X的分布密度為：f(x)10a/0xY=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h(Y)=lnY,反函數(shù)存在且a=ming(0),g(1)=min(1,e)=1maxg(0),g(1)=max(1,e)=e1,.丫的分布密度為：6(y)fh(y)|h(y)|171ye0y為其他(2)求Y=2lnX的概率密度。Y=g(X)=2lnX是單調(diào)減函數(shù)丫又Xh(Y)e萬反函數(shù)存在。且a=ming(0),g(1)=min(+°°,0)=00 yy為其他戶m

17、axg(0),g(1)=max(+°°,0)=+00141.丫的分布密度為：6(y)fh(y)|h(y)|1萬e萬e0習題2-16設(shè)XN(0,1),(1) 求YeX的概率密度；(2) 求Y2X21的概率密度;(3) 求Y|X|的概率密度.(1)求Y=eX的概率密度1之''X的概率留度是f(x),e2,2nY=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)X=h(Y)=InY反函數(shù)存在=ming(8),g(+oo)=min(0,+00)=03=maxg(-8),g(+oo)=max(0,+oo)=+ooY的分布密度為：(y)fh(y)1h'(y)1e0(lny)2-210

18、yyy為其他(2)求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+oo,8)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是Fy(y),Fy(y)=P(YWy尸P(2X2+1<y)當y<1時：Fy(y)=0當 y>1 時：Fy(y) Py21x22 dx故Y的分布密度少(y)是:2x2 dx當yw1時：4(y)=Fy(y)'=(0)'=0當y>1時，W(y)=Fy(y)'=2JMy1)(3)求Y=|X|的概率密度。Y的分布函數(shù)為Fy(y)=P(Y<y)=P(|X|<y)當y<0時,Fy(y)=0x2y1當y>0時，F(xiàn)y(y)=P(|X|<y)=P(y<X<y)=,e2dxy,2Y的概率密度為：當yW0時：4(y)=Fy(y)'=(0)'=0y1當當y>0時：巾(y)=Fy(y)'=e2dxy2式習題2-17設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)0,2x2,x