初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(52)換元法

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（52）換元法甲內(nèi)容提要1.換元就是引入輔助未知數(shù).把題中某一個(gè)（些）字母的表達(dá)式用另一個(gè)（些）字母的表達(dá)式來(lái)代換，這種解題方法，叫做換元法，又稱變量代換法.2.換元的目的是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，溝通已知和未知的聯(lián)系.例如通過(guò)換元來(lái)降次，或化分式、根式為整式等.換元的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)氖阶舆M(jìn)行代換.3.換元要注意新舊變?cè)娜≈捣秶淖兓?要避免代換的新變量的取值范圍被縮?。蝗粜伦兞康娜≈捣秶鷶U(kuò)大了，則在求解之后要加以檢驗(yàn).4.解二元對(duì)稱方程組，常用二元基本對(duì)稱式代換.5. 倒數(shù)方程的特點(diǎn)是：按未知數(shù)降冪排列后，與首、末等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等.例如：一元四次的倒數(shù)方程ax4+bx3

2、+cx2+bx+a=0.兩邊都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0.設(shè)x+=y, 那么x2+= y22, 原方程可化為ay2+by+c2=0.對(duì)于一元五次倒數(shù)方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一個(gè)根是1.原方程可化為(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，這是四次倒數(shù)方程.形如ax4bx3+cx2bx+a=0 的方程，其特點(diǎn)是： 與首、末等距離的偶數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)相等，奇數(shù)次冪的系數(shù)是互為相反數(shù).兩邊都除以x2, 可化為a(x2+)b(x)+c=0.設(shè)x=y, 則x2+=y2+2, 原方程可化為 ay

3、2by+c+2=0.乙例題例1.解方程=x.解：設(shè)=y, 那么y2=2x+2.原方程化為：yy2=0 .解得 y=0；或y=2.當(dāng)y=0時(shí)，=0 (無(wú)解) 當(dāng)y=2時(shí)，=2， 解得，x=.檢驗(yàn)（略）. 例2.解方程：x4+(x4)4=626.解：（用平均值代換，可化為雙二次方程.）設(shè) y= x2 ，則x=y+2.原方程化為(y+2)4+(y2)4=626. (y+2)2(y2)2)22(y+2)2(y2)2626=0整理，得y4+24y2297=0. (這是關(guān)于y的雙二次方程).(y2+33)(y29)=0. 當(dāng)y2+33=0時(shí)，無(wú)實(shí)根 ； 當(dāng)y29=0時(shí)，y=±3.即x2=

4、7;3， x=5；或x=1.例3.解方程：2x4+3x316x2+3x+2=0 . 解：這是個(gè)倒數(shù)方程，且知x0，兩邊除以x2,并整理得2(x2+)+3(x+)16=0. 設(shè)x+=y,則x2+=y22.原方程化為2y2+3y20=0. 解得y=4；或y=.由y=4得x=2+；或x=2.由y=2.5得x=2；或x=.例4解方程組解：（這個(gè)方程組的兩個(gè)方程都是二元對(duì)稱方程，可用基本對(duì)稱式代換.） 設(shè)x+y=u, xy=v. 原方程組化為：. 解得；或.即；或 .解得：；或；或；或.丙練習(xí)52 解下列方程和方程組：（1到15題）：1. 352x.2.(16x29)2+(16x29)(9x216)+(

5、9x216)2=(25x225)2.3.(2x+7)4+(2x+3)4=32 .4.(2x2x6)4+(2x2x8)4=16.5.(2)4+(2)4=16.6.=. 7.2x43x3x23x+2=0.8. 9.10.11.(6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. 13.14. . 15.16. 分解因式：(x+y2xy)(x+y2)+(1xy)2； a4+b4+(a+b)4 . 17. 已知：a+2=b2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989.則a=_,b= _,c=_,d=_(1989年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)18. a表示不大于a的最大整數(shù)，如=1，=2，那么 方程 3x+1=2x 的所有根的和是_.(1987年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)參考答案練習(xí)521. 2. ±± 3. 4. 2, 5. 6. 1 7.,2 8.9. 10. 7,1 11., 12.