軸對(duì)稱等腰三角形經(jīng)典練習(xí)題

1、【知識(shí)點(diǎn)回顧】軸對(duì)稱：一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就 說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。這條直線叫作對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng) 點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。軸對(duì)稱的性質(zhì)：1、關(guān)于軸對(duì)稱的圖形全等。 2、如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分線。線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等線段垂直平分線的判定：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。等腰三角形的性質(zhì) 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對(duì)等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等 腰三角形的頂角平分線

2、、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形 是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫 成“等角對(duì)等邊”。） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等 于斜邊的一半【典型例題】 例1. 如圖，中，BD平分。求證：。 分析：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，

3、易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計(jì)算可以得出。 證明：在BC上截取，連結(jié)DE、DF 在和中， 又 而 即【隨堂作業(yè)】1、下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是 （ ）A有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形 B. 有一個(gè)內(nèi)角是45°直角三角形C. 有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形 D. 有兩個(gè)角分別是30°和120°的三角形2、下列說法中正確的是 （ ） 角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的線段長相等 角是軸對(duì)稱圖形 線段不是軸對(duì)稱圖形 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 A. B. C. D.3、小明從鏡子里看到鏡子對(duì)面電子鐘的像如圖所示 實(shí)際時(shí)間是 （

4、 ） A21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：014、下列推理中，錯(cuò)誤的是 () AABC ， ABC是等邊三角形 BABAC，且BC， ABC是等邊三角形 CA60°，B60°，ABC是等邊三角形 DABAC，B60°，ABC是等邊三角形5、等腰三角形兩邊的長分別為2cm和5cm，則這個(gè)三角形的周長是 () A9cmB12cm C9cm和12cmD在9cm與12cm之間6、若等腰三角形的一個(gè)外角為130°，則它的底角為_ .7、如圖，是等邊三角形，則的度數(shù)是_8、 如圖，在等腰三角形中，點(diǎn)是底邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 分別是的中點(diǎn)，若的最小

5、值為2，則的周長 是（ ）ABCD9、 在等邊三角形ABC中，CD是ACB的平分線，過D作DEBC交AC于E，若 ABC的邊長為a，則ADE的周長為 () A2a B C15a Da10、 如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)， 于點(diǎn)，則等于（ C ） ABCD 11、 如圖7111，在RtABC中，B為直角，DE是AC的垂直平分線，E在BC 上，BAE：BAC1：5，則C_.12、 如圖7112，BAC30°，AM是BAC的平分線，過M作MEBA交AC于 E，作MDBA，垂足為D，ME10cm，則MD_.13、 已知：如圖7120，等腰直角三角形ABC中，A90°，D為BC中點(diǎn)，E、

6、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且滿足EACF求證：DEDF14、已知：如圖ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點(diǎn)H，且AE=BE，求證：AH=2BD 【課后作業(yè)】PAECBD1、如圖：等邊三角形ABC中，BDCE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則APE的度數(shù)是（）A45°B55° C60°D75°2、 等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩 部分的差為3cm，則腰長為（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對(duì)3、 如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別為ABC與ACB 的角平分線，且相交于點(diǎn)F，

7、則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個(gè) B. 7個(gè) C. 8個(gè) D. 9個(gè) 4、如圖, MPN25°, 又PAABBCCD, 則DCM_度。5、 已知：在ABC中,A=20°,D為AB上一點(diǎn),AD=DC,且 ACDBCD=23,則 ABC=_6、等邊ABC中，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，問APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論ACBQP7、 已知：如圖，AD平分BAC，EF垂直平分AD交BC延長線于F，連結(jié)AF 求證： B=CAF.ABDFEC8、 如圖，ABC中，ABC=2C，AD是BC邊上的高，B到點(diǎn)E，

8、使BE=BD 求證：AF=FC一、 選擇題（每小題3分，共30分）1下列圖案中是軸對(duì)稱圖形的是    (     )2以下四個(gè)圖形中對(duì)稱軸條數(shù)最多的一個(gè)圖形是    ( )3到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是    (    )   A三條角平分線的交點(diǎn)       B三條中線的交點(diǎn)  &#

9、160;C三條高的交點(diǎn)        D三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)  4已知點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，點(diǎn)Q在線段AB的中垂線外，則    (    )   APAPB>QAQB      BPAPB<QAQB  CPAPBQAQB    D不能確定  5等腰三角形的一個(gè)外角等于100

10、76;，則與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為    (    )   A40° ，40°      B80°，20°   C50°，50°      D50°，50°或80° ，20°  6下列說法：等腰三角形的

11、高、中線、角平分線互相重合；等腰三角形的兩腰上的中線長相等；等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；等腰三角形的一邊長為8，一邊長為16，那么它的周長是32或40其中不正確的個(gè)數(shù)是    (    )   A1       B2      C3      D4  7在ABC中，ABAC，BD平分

12、ABC，若BDC75°，則A的度數(shù)為    (    )   A30°      B40°      C45°     D60° 8在等腰三角形ABC中，ABAC，中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長為 

13、0;  (    )   A7       B11      C7或11     D7或10   9如圖，在ABC中，ACADBD，DAC80°，則B的度數(shù)是    (     )    A40

14、76;        B35°     C25°       D20°   10如圖，直線l是一條河，P，Q兩地相距8 km，P，Q兩地到l的距離分別為2 km，5 km，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是   &#

15、160;( )二、 填空題（每小題3分，共24分）11粗圓體的漢字“口”“天”等都是軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)賹懗鲋辽偃齻€(gè)以上這樣的漢字_ 12如圖，ABC中，DE垂直平分AC，與AC交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)D，C15°，BAD60°，則ABC是_三角形13等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20°，則其頂角的大小為_ 14如圖，已知ABC中，ABAC，AB邊上的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，D為垂足，若ABE：EBC2：1，則A_  15在ABC中，ABAC，A36°，角平分線BE與CD相交于點(diǎn)F，如果不添加其他線和字母，那么圖中等腰三角

16、形有_個(gè)  16如圖，AD是ABC的中線，ADC60°，BC4，把ADC沿直線AD折疊后，點(diǎn)C落在C'的位置上，那么BC'的長為_  17如圖，在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分線，點(diǎn)E是AD的任一點(diǎn)，若ABC的面積為12 cm，則圖中陰影部分的面積是_cm 18ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，BNAC于點(diǎn)N，則DE，DF，BN三者的數(shù)量關(guān)系為_ 三、解答題（共46分） 19（6分）（2013鹽城）如圖是3x3正方形方格，將其中兩個(gè)方格涂黑，并且使涂黑后的整

17、個(gè)圖案是軸對(duì)稱圖形，約定繞正方形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)能重合的圖案都視為同一種圖案，例如圖中的四幅圖就視為同一種圖案，則得到的不同圖案共有幾種？20（6分）已知：如圖，BCE、ACD分別是以BE、AD為斜邊的直角三角形，且BEAD，CDE是等邊三角形求證：ABC是等邊三角形 答案：考點(diǎn)精練 182.5 230a 3220 4105° 5368 67秒或25秒 7（2，-2） 810° 9D 10B 11B 12B 137cm或11cm 14關(guān)系：DE=DB，CD=CE，E=EDC，又ACB=60°，E=30°，又DBC=30°，E=DBC，DB=D

18、E 15（1）或 （2）已知求證ABC是等腰三角形證：先證EBODCO得OB=OC，得DBC=ECBABC=ACB即ABC是等腰三角形 16（1）DEF是等邊三角形，提示證ADFBEDCFE即得DEF是等邊三角形 （2）AD=BE=CF成立證略【例題經(jīng)典】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律例1在ABC中，AB=AC，1=ABC，2=ACB，BD與CE相交于點(diǎn)O，如圖，BOC的大小與A的大小有什么關(guān)系？若1=ABC，2=ACB，則BOC與A大小關(guān)系如何？若1=ABC，2=ACB，則BOC與A大小關(guān)系如何？【分析】在上述條件由特殊到一般的變化過程中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，1=2，ABD=ACE，即可得到

19、1=ABC，2=ACB時(shí)，BOC=90°+A；1=ABC，2=ACB時(shí)，BOC=120°+A；1=ABC，2=ACB時(shí)，BOC=·180°+A 【點(diǎn)評(píng)】在例1圖中，若AE=AB，AD=AC類似上題方法同樣可證得BD=CE上述規(guī)律仍然存在會(huì)用等腰三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算與證明例2如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長及底邊長 【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15兩種情況討論利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例3（2006年常德市）如圖，P是等邊三角

20、形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)CQ （1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由 【分析】（1）把ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到CBQ利用等邊三角形的性質(zhì)證ABPCBQ，得到AP=CQ（2）連接PQ，則PBQ是等邊三角形PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，PQC是直角三角形 【點(diǎn)評(píng)】利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明【考點(diǎn)精練】一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1如圖1

21、，在ABC中，AB=AC，A=50°，BD為ABC的平分線，則BDC=_° （1） （2） （3）2如圖2，是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_3如圖3，一個(gè)頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則1+2=_度4（2006年煙臺(tái)市）如圖4，在等腰直角ABC中，B=90°，將ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到ABC，則BAC等于_ （4） （5） （6）5（2006年包頭市）如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工從AC上的一點(diǎn)B取ABD=1

22、35°，BD=520米，D=45°，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點(diǎn)E離D的距離約為_米（精確到1米）6（2006年諸暨市）等腰ABC的底邊BC=8cm，腰長AB=5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開始向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為_7如圖6，等邊ABC，B點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為_8（2006年江陰市）如圖7，在ABC中，AB=AC，BAD=20°，且AE=AD，則CDE=_ （7） （8） （9）9（2005年常州市）如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44°，CDAB于D，則DCB等于（ ） A44° B68° C46° D22°10（2006年海南?。┤鐖D9，要在離地面