高一數(shù)學競賽班選拔考試初稿

1、10年高一數(shù)學競賽班選拔考試考試時間： 試卷總分：120班級： 姓名： 學號：一填空題（每小題8分，共80分）1. 化簡：的結果是 .2. 在凸邊形的所有內角中，銳角的個數(shù)最多是 個.3. 設，則 （填“” ，“” ，“” ，“” ，“=” ）.4. 如下圖中，為直角，所對的邊分別為，已知，則 （用表示）.5. 已知：（是自然數(shù)），那么= .6. 已知點在直角坐標系中的坐標為，為坐標原點，且到的距離為，則的坐標為 . 7. 一個一次函數(shù)圖象與直線平行，與軸、軸的交點分別為，并且過點，則在線段上（包括端點），橫、縱坐標都是整數(shù)的點有 個.8. 如圖，在平行四邊形中，過三點的圓交于，且與相切，若，

2、則的長為 .9. 已知銳角的頂點到垂心的距離等于其外接圓半徑，則的度數(shù)是 .10已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點分別為，與軸的交點為.設的外接圓的圓心為點，它與軸的另一個交點為.如果恰好為的直徑且，則 , .二解答題（第11題15分，第12題25分，共40分）11. 求證方程 沒有正整數(shù)解.12.已知都是正整數(shù)，拋物線與軸有兩個不同的交點,若到原點的距離都小于，求的最小值10年高一數(shù)學競賽班選拔考試參考答案一填空題1. 解： 2. 3解：由于任何凸多邊形的外角之和都是，故外角中鈍角的個數(shù)不超過3個，即內角中銳角最多不超過3個.3. 解: 借助下圖知題中4. 解：如圖，延長，以為圓心，以為半徑作圓交

3、的延長線于，如下圖故在中， 5. 解： 6. 解：借助平面直角坐標系我們知道，點有兩個：圖中，它們關于軸對稱 如圖， ， ，7. 4 解：在直線上，橫、縱坐標都是整數(shù)的點的坐標是，（是整數(shù)）,在線段上這樣的點應滿足 即 8. 解： 如圖連結AC、CE由AEBC，知四邊形ABCE是等腰梯形。故ACBE5又因為DCAB，DC與圓相切，所以，BACACDABC則ACBCAD5，DCAB4因為，故 9. 解: 銳角的垂心在三角形內部 如圖，設的外心為，為的中點,的延長線交于點 AECBDOH連、則/，/則 所以10. 解:  (1)首先我們證明點是定點由題意：易求得點的坐標為，設則 ，設與軸的另一個交點為,由于是的兩條相交弦，它們的交點為點，所以， 則 因為，所以點在軸的負半軸上，從而點在軸的正半軸上，所以點為定點，它的坐標為.   （2）再求的值因為，如果恰好為的直徑，則關于點對稱，所以點的坐標為， 即.又 ，所以 解得 二解答題11. 證： 由原方程得 11是質數(shù) 又因為要驗證方程是否有正整數(shù)解，故只需考察x,y的情況 故應有 或 考察第式： 故式沒解 對于第式：把代入 得到，但不整除 所以也沒有正整數(shù)解命題最后得證。 12. 解: