泰勒公式的證明及其應(yīng)用

1、泰勒公式的證明及其應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 胡心愿摘 要泰勒公式的相關(guān)理論是函數(shù)逼近論的基礎(chǔ)。本文主要探索的是泰勒公式的一些證明方法，并對(duì)不同的證明方法進(jìn)行相應(yīng)的比較分析，在此基礎(chǔ)上討論泰勒公式在證明不等式、求函數(shù)極限、求近似值、求行列式的值、討論了函數(shù)的凹凸性，判別拐點(diǎn)，判斷級(jí)數(shù)斂散性等方面的應(yīng)用.本文還針對(duì)多元函數(shù)的泰勒公式的推導(dǎo)和應(yīng)用做了簡(jiǎn)單的論述.關(guān)鍵詞泰勒公式；不等式；應(yīng)用；Proof of Taylor's Formula and Its ApplicationMathematics and Appliced Mathematics Major HUXin-yuanAbstr

2、act:The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula insomerespects，such

3、as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflectionpoint, divergence of theseries.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application.Key words:Taylor's

4、 Formula;inequality;application目錄 1 泰勒公式.1 1.1 泰勒定理的證明過程.1 2 余項(xiàng)估計(jì).2 2.1 泰勒中值定理.2 2.2 拉格朗日余項(xiàng).3 2.3 柯西余項(xiàng).6 2.4 積分余項(xiàng).7 3 泰勒公式的應(yīng)用.9 3.1 利用泰勒公式證明不等式.9 3.1.1 泰勒公式在含有定積分的不等式中的應(yīng)用.9 3.1.2 泰勒公式在含有導(dǎo)函數(shù)的不等式中的應(yīng)用.10 3.2 利用泰勒公式求函數(shù)值與函數(shù)極限.11 3.3 利用泰勒公式討論函數(shù)的凹凸性，判別拐點(diǎn).12 3.4 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.14 3.5 利用泰勒公式求行列式的值.15 4 多元函數(shù)的泰勒公式.1

5、6 4.1 二元函數(shù)泰勒公式的證明.17 4.2 二元函數(shù)泰勒公式的應(yīng)用.18 結(jié)束語(yǔ).19 參考文獻(xiàn).19 致謝.20泰勒公式是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要內(nèi)容，它將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，分析比較它的各種證明方法和歸納其各種應(yīng)用是本文的主要內(nèi)容.關(guān)于泰勒公式的證明主要是討論泰勒余項(xiàng).1 泰勒定理 若函數(shù)在處存在階導(dǎo)數(shù)，則，有其中，即是比的高階無(wú)窮小.式稱為在（展開）的泰勒公式.1.1 泰勒定理的證明過程由高階無(wú)窮小的定義知，若要證明，只需要證明因?yàn)檫@是的待定型，可以應(yīng)用次的洛必達(dá)法則來證明.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，以及（） 都是無(wú)窮小,所以由洛必達(dá)法則，有，將帶入上式得，因此，可以得到 .2

6、余項(xiàng)估計(jì)泰勒定理中給出的余項(xiàng)稱為佩亞諾余項(xiàng).佩亞諾余項(xiàng)只是給出來余項(xiàng)的定性描述，它不能估算余項(xiàng)的數(shù)值.還需要進(jìn)一步的進(jìn)行定量描述.2.1 泰勒中值定理泰勒中值定理1 若函數(shù)在內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在以與為端點(diǎn)的閉區(qū)間連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，且，則與之間至少存在一點(diǎn)，使其中.證明的泰勒多項(xiàng)式.我們記,則.可以看出函數(shù)與在閉區(qū)間連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，且可以看出.應(yīng)用柯西中值定理有：與之間至少存在一點(diǎn)，使 ,其中.2.2 拉格朗日余項(xiàng)若函數(shù)在內(nèi)為存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有 稱為拉格朗日余項(xiàng)，其中在與之間，稱式為在的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式.當(dāng)時(shí)，式變成,其中在0與之間，稱此式為帶拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式.拉

7、格朗日余項(xiàng)有四種常見的證明方法.(1)利用泰勒中值定理證明根據(jù)柯西中值定理我們有如下的證明方法.因?yàn)槠渲?函數(shù)在以與為端點(diǎn)的閉區(qū)間連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，且.取，滿足定理要求，有，,將它們代入之中，有，在與之間.（2）利用柯西中值定理證明根據(jù)柯西中值定理我們有如下的證明方法.首先記，且.建立輔助函數(shù)且，可得.在區(qū)間（不妨設(shè)）運(yùn)用柯西中值定理得.將代入上式可得,其中即為在處的次泰勒多項(xiàng)式，記為.故得.(3) 利用羅爾定理證明根據(jù)羅爾定理我們有如下的證明方法.對(duì)于給定的，不妨設(shè)，并設(shè)并做輔助函數(shù).因?yàn)樵趦?nèi)具有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故在上連續(xù)可導(dǎo)，且.由羅爾定理得，使，即，由此解得，亦即.(4) 利用積分余

8、項(xiàng)推導(dǎo)根據(jù)已知的積分余項(xiàng)我們可以有如下的證明方法.我們已知積分型余項(xiàng).由于連續(xù)，在（或）上同號(hào),由積分中值定理得.比較分析證明拉格朗日余項(xiàng)的四種方法，可以看出都是利用中值定理（泰勒中值定理、柯西中值定理、羅爾定理、積分中值定理）來進(jìn)行證明的.前三種的關(guān)鍵都是找到合適的輔助函數(shù)，而第四種方法是應(yīng)用已知道積分余項(xiàng)來推導(dǎo)，主要是依據(jù)了推廣的積分中值定理.2.3 柯西余項(xiàng)若函數(shù)在內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有，其中在與之間，稱式為在帶柯西余項(xiàng)的泰勒公式.當(dāng)時(shí)，式變成，其中，稱此式為帶柯西余項(xiàng)的麥克勞林公式.柯西余項(xiàng)有兩種常見的證明方法.(1) 利用泰勒中值定理證明根據(jù)泰勒中值定理我們有如下的證明方法.做輔助

9、函數(shù)，它滿足泰勒中值定理的要求，有將他們代入，有，在與之間.（2） 利用柯西中值定理證明根據(jù)柯西中值定理我們有如下的證明方法.記，且.做輔助函數(shù)，且,在區(qū)間（不妨設(shè)）運(yùn)用柯西中值定理.把代入上式可得其中為在處的n次泰勒多項(xiàng)式，記為.故有比較分析柯西余項(xiàng)的兩種證明方法，容易得知證明方法大致與拉格朗日余項(xiàng)的前兩種證明方法類似，依據(jù)的是柯西中值定理和泰勒中值定理，關(guān)鍵依然是找到合適的輔助函數(shù).2.4 積分余項(xiàng)若函數(shù)在內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有稱式為在帶積分余項(xiàng)的泰勒公式.積分型余項(xiàng)有兩種常見的證明方法.(1) 利用萊布尼茨公式證明根據(jù)萊布尼茨公式我們有如下的證明方法.我們有 ，由上式可得到（2） 利用

10、分部積分法證明根據(jù)分部積分法我們有如下的證明方法.因?yàn)樵趦?nèi)具有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ，令（或）. 由分部積分法有，所以.證明積分型余項(xiàng)的兩種方法一種是運(yùn)用牛頓-萊布尼茨公式，一種是利用推廣的分部積分的方法，都是淺顯易懂的.3 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式在近似計(jì)算中有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，故而有著較為廣泛的應(yīng)用.在應(yīng)用中常見的泰勒展式如下，, .3.1 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式的關(guān)鍵在于確定在哪一點(diǎn)將函數(shù)展開將函數(shù)展到第幾項(xiàng)為止.3.1.1 泰勒公式在含有定積分的不等式中的應(yīng)用例1 設(shè)在上單調(diào)增加，且，證明.分析 因?yàn)椴坏仁接疫叧霈F(xiàn)了與，可以聯(lián)想到在，分別展開由已知條件的，可以猜想到展開到第二

11、項(xiàng)即可，帶拉格朗日余項(xiàng).證明 對(duì)，在處的泰勒公式為 其中在與之間.因?yàn)?所以,將,分別帶入得,.將兩式相加可得,.再對(duì)上式兩天同時(shí)在求定積分得,.故有,.3.1.2 泰勒公式在含有導(dǎo)函數(shù)的不等式中的應(yīng)用例2 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，試證存在一點(diǎn)，使得.分析 由題意，可見應(yīng)取，在二階可導(dǎo)，可知至多展到第三項(xiàng).證明 在，處應(yīng)用泰勒公式得若取，且因?yàn)椋鲜阶優(yōu)椋?從而.取,且.故有.3.2 利用泰勒公式求函數(shù)值與函數(shù)極限在求函數(shù)值與函數(shù)極限的過程中，可以利用泰勒展開式來替換，以簡(jiǎn)化計(jì)算.在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可以利用泰勒公式直接求得.例3 求極限.分析 利用麥克勞林展開式，由所求的式子分母的可見，泰勒展開式

12、應(yīng)該展到第5項(xiàng)，且?guī)鍋喼Z余項(xiàng)，若用洛比達(dá)法則求解，要使用四次.解 根據(jù)麥克勞林展開式有 , .故原式=.例4 求的近似值，精確到.分析 所求的的在定積分是不能直接求出的，可以利用的麥克勞林展式，得出其近似估計(jì).解 由泰勒公式有 .故逐項(xiàng)積分得.從上式可以看出，等式的右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù).由其余項(xiàng)的估計(jì)式知 , 已經(jīng)滿足精確到.故有.例5 求函數(shù)在處的高階導(dǎo)數(shù).分析 直接求不太現(xiàn)實(shí)，這里可以利用泰勒公式.泰勒公式通項(xiàng)中的的系數(shù)正是，可以直接求得，不必依次求導(dǎo).解 設(shè)，則，記,故有.因?yàn)樵诘奶├展綖?，從?因?yàn)樘├照归_式中含的項(xiàng)應(yīng)該為，與上式相比較.故有.3.3 利用泰勒公式討論函數(shù)的凹凸

13、性，判別拐點(diǎn)泰勒公式也可以用來研究函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn).先給出相關(guān)的定理及其證明.定理1 設(shè)在上連續(xù)，在上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的證明 設(shè)為內(nèi)任意兩點(diǎn)，且足夠小。為中的任意兩點(diǎn)，記.由定理?xiàng)l件得泰勒公式.由此可得.因?yàn)橛囗?xiàng)為的高階無(wú)窮小，足夠小， 所以泰勒公式中應(yīng)該有的符號(hào)與相同.又因，所以，可得即，得.由的任意性，可得在足夠的區(qū)間上是凸的.再由的任意性，可得在內(nèi)任意一個(gè)足夠小的區(qū)間內(nèi)部都是凸向的.證得在上的圖形是凸的.定理2 若在某個(gè)內(nèi)n階可導(dǎo)，且滿足，且若1）n為奇數(shù)，則為拐點(diǎn)； 2）n為偶數(shù)，則不是拐點(diǎn).證明在處的泰勒公式為.因?yàn)?，則，同樣余項(xiàng)是的高階無(wú)窮小,所以的符號(hào)

14、在的心領(lǐng)域內(nèi)與相同.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，顯然在的兩邊，符號(hào)相異，即的符號(hào)相異，所以為拐點(diǎn).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則的符號(hào)相同，所以不是拐點(diǎn).例6 判定是否是的拐點(diǎn)？解 ，因?yàn)?所以不是的拐點(diǎn).3.4 判斷級(jí)數(shù)的斂散性當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型的函數(shù)式構(gòu)成的比較繁難的形式時(shí)，一般很難通過簡(jiǎn)單方法判斷該級(jí)數(shù)的斂散性，這時(shí)往往可以利用泰勒公式將級(jí)數(shù)化為統(tǒng)一的形式，再利用一些簡(jiǎn)單的判斷級(jí)數(shù)斂散性的方法來判斷級(jí)數(shù)的斂散性.例7 討論級(jí)數(shù)的斂散性.分析 直接通過通項(xiàng)去判斷級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)還是非正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較困難。因而不能直接給出判斷級(jí)數(shù)斂散性的方法。但是我們注意到所給級(jí)數(shù)通項(xiàng)中的是可以將其展開，并且是的冪的形式，開方后

15、更是與接近，變于進(jìn)行斂散性的判別.解 因?yàn)?所以 ，故該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù).因?yàn)?所以因?yàn)槭諗?所以 收斂.3.5 利用泰勒公式求行列式的值若一個(gè)行列式可看做的函數(shù)（一般是的n次多項(xiàng)式），記作，按泰勒公式在某處展開，可以求的行列式的值.例8 求n階行列式.分析 由題意知行列式是可以看作是關(guān)于的函數(shù)（n次多項(xiàng)式）.可以從泰勒公式的角度解題.把記做，并在處展開，的n+1階導(dǎo)數(shù)等于零.解 展開.,則.類似的故有,帶入得,.若,有,若，有.可見，泰勒公式用于解決數(shù)學(xué)問題的廣泛性，它是很有力的工具.4多元函數(shù)的泰勒公式對(duì)多元函數(shù)的泰勒公式主要討論二元函數(shù)的泰勒公式.若二元函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)

16、偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)，存在相應(yīng)的，使得.此式成為二元函數(shù)在點(diǎn)的階泰勒公式，其中.4.1 二元函數(shù)泰勒公式的證明作函數(shù)，因?yàn)橐辉瘮?shù)在上滿足一元函數(shù)泰勒定理?xiàng)l件，于是有 .應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可求得的各階導(dǎo)數(shù).當(dāng)時(shí)，則有,及.易見，這就是二元函數(shù)在點(diǎn)的階泰勒公式.4.2 二元函數(shù)泰勒公式的應(yīng)用二元函數(shù)的泰勒公式在判斷二元函數(shù)極值方面有著重要的作用.定理32 設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且是的穩(wěn)定點(diǎn)，則當(dāng)是正定矩陣時(shí)，在取得極小值；當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí)，在取得極大值；當(dāng)是不定矩陣時(shí)，在不取得極值.其中.證明 由在處的2階泰勒公式，并注意到，有.當(dāng)是正定矩陣時(shí),對(duì)任何，恒有二次型, 因此

17、存在一個(gè)與無(wú)關(guān)的，使得,從而對(duì)充分小的，只要就有，即在取得極小值.同理可證當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí)，在取得極大值.當(dāng)是不定時(shí)，假設(shè)在取得極值（不妨設(shè)極大值）,則沿任何過的直線, 在取極大值.由一元函數(shù)取極值的充分條件，是不可能的,否則，在將取極小值，故.因?yàn)椋?這表明是負(fù)定的，與條件矛盾,假設(shè)不成立.當(dāng)是不定矩陣時(shí)，在不取得極值.例9 求的極值.解 由方程組得的穩(wěn)定點(diǎn).由于,得正定，故在取得極小值.因?yàn)樘幪幋嬖谄珜?dǎo)數(shù)，故是的唯一極值點(diǎn).結(jié)束語(yǔ)在初等函數(shù)中，多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù)，而泰勒公式正是以簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)替代了復(fù)雜的無(wú)理函數(shù)和初等超越函數(shù)等復(fù)雜的函數(shù).泰勒公式不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算還可以判斷函數(shù)的

18、一些性質(zhì)，在函數(shù)逼近論中有著廣泛的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)1 劉玉璉傅沛仁編.數(shù)學(xué)分析講義（第四版）P233-P234.高等教育出版社，2003年6月.2 華東師范數(shù)學(xué)系編著.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）（第三版）P137.高等教育出版社，2008年5月.3 周運(yùn)明 尚德生主編.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）（第一版）.科學(xué)出版社，2008年9月.4 常庚哲，史濟(jì)懷編.數(shù)學(xué)分析教程（上冊(cè)）（第一版）.高等教育出版社，2003年5月.5 B.A.卓里奇著,王昆揚(yáng)，周美珂等譯.數(shù)學(xué)分析（第一卷）(第四版).高等教育出版社，2006年6月.6 胡格吉樂吐.對(duì)泰勒公式的理解及泰勒公式的應(yīng)用J.內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì)，2009，12(24).7 齊成輝.泰