無窮積分柯西判別法中的P的選取方法

1、 無窮積分柯西判別法中的選取方法 朱壽國 （南京師范大學泰州學院，江蘇泰州，225300）摘 要 無窮積分柯西判別法中的選取是一個教學難點，本文借助于無窮大量階的比較來選取，有利于學生的理解和應用主題詞 反常積分；柯西判別法；無窮大量 中圖分類號 017220 引言在討論定積分時，其中有一個基本的限制：積分區(qū)間的有窮性，但在實際問題中往往需要突破這個限制，來研究無窮區(qū)間上的積分，這就是無窮積分無窮積分柯西判別法是無窮積分斂散性的一個重要的判別方法，且無窮積分柯西判別法的教學也有助于數(shù)項級數(shù)斂散性的教學，因此有必要討論無窮積分柯西判別法文1給出了反常積分的柯西判別法：定理：設定義于，在任何有限區(qū)

2、間上可積，且則有：當，時，收斂；當，時，發(fā)散在討論具體無窮積分時如何選取呢？下面借助于無窮積分階的關系來選取首先給出無窮大量階的關系1 無窮大量階的關系定義12 設當時，函數(shù)和都是無窮大量，若，則稱 作者簡介：朱壽國（1981-），男，碩士，講師，泛函分析，Email：當時，與是等價的無窮大量定義22 設當時，函數(shù)和都是無窮大量，若，則稱當時，是比高階的無窮大量定理1 當時，是與等價的無窮大量證 定理2 當時，是與等價的無窮大量，其中證 類似于等價無窮小量的代換，等價無窮大量也可以在求極限中代換例如 利用極限運算的洛必達法則很容易得到下列結果定理3 對任意的正數(shù)和任意常數(shù)，當，函數(shù)是比的高階的

3、無窮大量，函數(shù)是比高階的無窮大量2 柯西判別法中的選取方法取法1 若或或，則的選取方法是讓中分子分母的最高次數(shù)相同，其中 以說明為例，由定理1、2有取，則，根據(jù)柯西判別法，若，則收斂，若，則發(fā)散例1 討論無窮積分的收斂性解 取使中分子分母最高次數(shù)相同，則取因為，因此根據(jù)柯西判別法知，是發(fā)散的取法2 若中含有或，則要借助于定理3來取下面借助例題來說明的取法例2 討論無窮積分的收斂性分析 ，根據(jù)定理3，是比高階的無窮大量，即不論是何值，而根據(jù)柯西判別法，只能判定收斂，因此我們取為任何一個大于的數(shù)解 取為任何一個大于的數(shù)，不妨取，因為，因此根據(jù)柯西判別法知，對任何，無窮積分都收斂例3 討論窮積分的收斂性解 ，根據(jù)定理3，是比的高階的無窮大量，當，而根據(jù)柯西判別法，只能判定收斂，因此需要取，即當時，收斂；當時，而根據(jù)柯西判別法，只能判定發(fā)散，因此需要取，即當時，發(fā)散因此借助于無窮大量階的比較，我們很容易取出，然后根據(jù)柯西判別法來判斷反常積分的斂散性通過無窮大量階的比較來確定，學生很容易理解與應用參考文獻 1 華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析（上冊）M第三版北