2020屆重慶市第一中學高三下學期第一次月考數(shù)學(文)試題(解析版)

1、第1頁共 17 頁2020 屆重慶市第一中學高三下學期第一次月考數(shù)學（文）試、單選題【答案】【詳解】故選：B.【點睛】C. -1【答案】【詳解】【點睛】2x3.已知橢圓a2占占1a bb20分別過點A 2,0和B 0, 1,則該橢圓的焦距為( )A. 、3B.2 3C.D .2 5【答案】B1 若全集UA.1,31 x 4，集合AB.33x3,427，則CUA=()D.3,4【解先求出集合 A，再按補集的定義求解即可解不等式13 3x27，得1 x 3,所以A，故CUA3,4.本題考查補集的定義及求法, 屬于基礎題2 .已知i為虛數(shù)單位，則.2019i等于（B.【解按照復數(shù)的運算法則和等比數(shù)列

2、的前n項和計算即可.i i2i3i20192019i(1 i )i(1 i)1 i2i(1 i)(1.2i i)(1i)1.故選:C.第2頁共 17 頁【詳解】 由題意可得a 2,b 1，所以 a2= 4, b2= 1,所以c.413，從而2c 2 3.故選：B【點睛】本題考查橢圓方程的求法，解題時要注意橢圓的簡單性質(zhì)的合理運用，是基礎題.4 中國鐵路總公司相關負責人表示，到2018 年底，全國鐵路營業(yè)里程達到 13.1 萬公里，其中高鐵營業(yè)里程 2.9 萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014 年到 2018 年鐵路和高鐵運營里程 （單位：萬公里）的折線圖，以下結(jié)論不正確的是 （

3、）A .每相鄰兩年相比較，2014 年到 2015 年鐵路運營里程增加最顯著B 從 2014 年到 2018 年這 5 年，高鐵運營里程與年價正相關C . 2018 年高鐵運營里程比 2014 年高鐵運營里程增長 80%以上D .從 2014 年到 2018 年這 5 年，高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列【答案】D【解析】由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項A,B顯然正確；2 9 1 6對于C,0.8，選項C正確；1.61.6,1.9,2.2,2.5,2.9 不是等差數(shù)列，故D錯. 故選：D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識，考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識，是基礎題5 .若tan3-，貝U tan 2（）43

4、考查計算能力, 屬于基礎題本題考查復數(shù)的計算，考查等比數(shù)列的前n項和,【解析】由題意可得 a2= 4, b2= 1，利用隱含條件求得 c,則 2c 即為所求.第3頁共 17 頁【答案】C【詳解】因為tan344tan1，所以31 tan4，解得tan7,從而32ta n7tan221 tan24故選 C【點睛】本題考查三角恒等變換，考查兩角差的正切及二倍角公式，考查運算求解能力，是基礎題6 等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知 333620，S535，則 S7(A . 57B. 60C. 63D . 66【答案】C【解析】利用等差數(shù)列前 n 項和公式及性質(zhì)求出 33,再利用等差數(shù)列通項公式求出3

5、1,d，由此能求出an的前 n 項和公式，進而求得S7.【詳解】因為S55 a1a55 2a335 a335，所以a37,22又a3;日日620,解得a37,a613,設數(shù)列an的公差為d，所以a6a33d 6,a132解得，所以Snn 2n，從而S 63.d2故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n 項和公式的求法，是基礎題，注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運用.7 已知一個圓柱的軸截面是面積為36 的正方形，則這個圓柱的側(cè)面積為()A .36B. 27C. 18D. 12【答案】A25B.252424【解析】由兩角差的正切求得tan7,再利用二倍角公式求解即可0 xmax2第4頁共 17

6、頁0解得 C2,1,由圖可點 C2,1與坐標原點0,0的連線斜率最大，即【解析】由軸截面求得圓柱的高和底面圓半徑，再計算圓柱的側(cè)面積.【詳解】設底面圓的半徑為r，則高為2r，由2r 2r 36，得r29，2S側(cè)面2 r 2r 4 r 36故選：A.【點睛】本題考查了圓柱的軸截面與側(cè)面積的應用問題，是基礎題.x y 108 若變量x,y滿足約束條件x y 30，則y的最大值是（)x2 0 x【詳解】故選：B11A .B.C. -232【答案】B【解析】作出不等式組對應平面區(qū)域，利用z 的幾何意義即可得到結(jié)論.y表示通過可行域內(nèi)的點x,y與坐標原點的直線的斜率,x畫出不等式組表示的可行域,第 5

7、頁共 i7 頁【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z 的幾何意義，以及直線的斜率公式是解決本題的關鍵.9 .在直三棱柱ABCABiCi中，己知AB BC，ABBC 2，CCi2力，則異面直線ACi與ABi所成的角為（）A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】由條件可看出AB PAiBi，則BACi為異面直線ACi與AiBi所成的角，可證得三角形BACi中，AB BG，解得tan BAC“，從而得出異面直線ACi與所成 的角.【詳解】連接ACi,BCi，如圖：又AB PABi，則BACi為異面直線ACi與AiBi所成的角.因為AB BC,且三棱柱為直三棱柱， ABCC“ AB面BC

8、CiBi,-AB BCi，又AB BC 2，CCi2 2，BCi, 2 2 222、3，-tan BACi、3，解得BACi60.故選 C【點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.10 已知函數(shù)f (x)x24x m(ex 22 xe )有唯一零點，則實數(shù)m()第6頁共 17 頁1A 2B. 21C. -D.22【答案】D【解析】通過轉(zhuǎn)化可知問題等價于函數(shù)yx24x的圖象與函數(shù)y m(ex 2e2 x)的圖象只有-個交點求m的值，分m 0,m 0,m 0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論【詳解】函數(shù)f(x)x24x m(e

9、x 2e2 x)有唯一零點，等價于函數(shù)y x24x的圖象與函數(shù)y m(ex 2ex)的圖象只有一個交點，當m0時，yx24x(x2)244，此時有兩個零點，不滿足題意；當m0時，由于yx24x(x2)24在(，2)上單調(diào)遞減，在(2,)上單調(diào)遞增，且y m(ex 2e2 x)在(，2)上單調(diào)遞減，在(2,)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y x24x的圖象最低點為(2, 4)，函數(shù)y m(ex 2e2 x)的圖象最低點為(2,2 a)，由于2a 04，故兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，不滿足題意；當m 0時，由于y x24x (x 2)24在(，2)上單調(diào)遞減，在(2,)上單調(diào) 遞增，且y m(ex2e2 x)

10、在(，2)上單調(diào)遞增，在(2,)上單調(diào)遞減，2x 22 x所以函數(shù)y x 4x的圖象最低點為(2, 4)，函數(shù)y m(ee )的圖象最低點為(2,2a)，若兩函數(shù)只有一個交點，則2a 4，即a2.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題211 已知拋物線C:y2px(p0)的焦點為F，且F到準線I的距離為 2，直線h：x my 5 0與拋物線C交于P,Q兩點(點P在x軸上方)，與準線I交于點R, 若QF 3，則SRL().SPRF第7頁共 17 頁【答案】C2 2 2 2C: y24x.因為QF 3，所以(X21)

11、 y 9，又y 4x?，得X22(負值舍 廠去)，y22 2，聯(lián)立x2my0，得y24 my 4,5 0,故y1y24 5，y 4x5所以y1-.10，故洛 -，過點P作PP垂直于準線l : x 1，垂足為P，過點Q作2S/QRFQRQQ36S/PRF|PR|pp77，故選C.2B.0,3【答案】x-2 上為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，利用性質(zhì)解得不等式即可.f x cosx f x sinx2cos X因為 x ,0，有f x cosx f x sinx 0, 2f x當 X -,0 時，g X 0，則g x在 -,0 上單調(diào)遞減2cosx2【解析】設P(xi, yJ,Q(X2,y2)，易知y0, y

12、 0由題意知p 2，則拋物線QQ垂直于準線I :x1，垂足為Q，易知VRQQsVRPP，故12 設奇函數(shù)fx的定義域為，且f X的圖像是連續(xù)不間斷，x有 f x cosxf x sin X 0，若 f m2fcosm，貝 U m 的取值范圍是(3【解設 g ( x)，通過研究導函數(shù)及函數(shù)f x的奇偶性，可判斷cosxg (x)在令g Xf X，則g Xcosx又f X是定義域在f X32上的奇函數(shù)，g x丁cosx也是cosx五上的奇函數(shù)并且單調(diào)遞減【詳?shù)?頁共 17 頁二、填空題上ex,x 0nt13 .已知f x2，則f f In3.x21,x0【答案】8【解析】 根據(jù)分段函數(shù)的定義直接求

13、解即可【詳解】f f ln3 f( eln3)f( 3) ( 3)21 8.故答案為：8.【點睛】本題考查分段函數(shù)求值問題，屬于基礎題，14 西周初數(shù)學家商高在公元前1000 年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個特例，勾三，股四，弦五此發(fā)現(xiàn)早于畢達哥拉斯定理五百到六百年，我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)成為勾股數(shù)現(xiàn)從 3,4,5 ，5,12,13， 6,8,10，7,24,25 ，8,15,17，9,40,419,12,15， 10,24,26 ，15,20,25，15,36,39這幾組勾股數(shù)中隨機抽取1 組，則被抽出的這組勾股數(shù)剛好構成等差數(shù)列的概率為 _.2【答案】-5【解析】利用古典概型定義

14、直接求解即可又f m2fcosm等價于f m3cosm即 gmg, m -,33又m ，2 2 m3?.故選：D【點睛】本題考查了運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及應用,法的技巧，屬于中檔題.3cos3考查了函數(shù)奇偶性的應用，考查了構造第9頁共 17 頁【詳解】第10頁共 17 頁從這 10 組勾股數(shù)隨機抽取 1 組，共 10 種抽取方法，其中能構成等差數(shù)列的有：3,4,5 ,426,8,10，9,12,15，15,20,25，共 4 種，故所求概率為：P.1052故答案為：2.5【點睛】本題考查古典概型概率公式及應用，考查了數(shù)學文化的背景，考查理解能力，屬于基礎題，2 2P在橢圓c：Z1上運動，則點

15、p到直線169x y 100的距離的最大值為_【答案】15.22【解析】設與直線x y 100平行的直線方程為：x y c 0,與橢圓方程聯(lián)立消元，令0，可得c的值，求出兩條平行線間的距離，即可得解【詳解】設與直線x y 10 0平行的直線方程為：x y c 0，與橢圓方程聯(lián)立消去y得:所以兩條平行線間的距離為:15故答案為：2【點睛】 本題考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是求出與直線橢圓相切的直線方程，屬于常考題15 .在平面直角坐標系中，動點25x232 cx 16c21442 20，令1024c100(16c144)即:576c214400解之得：c 5,所以點P到直線x y 100

16、的距離的最大值為100平行，且與16 .已知三棱錐D ABC的每個頂點都在球 O 的表面上,AB6,AC 2 6,第11頁共 17 頁AB AC，頂點 D 在平面ABC上的投影 E 為 BC 的中點，且DE 5，則球 O 的體積為_.第12頁共 17 頁【答案】2563【解析】先畫出圖形，求出外接球的半徑，然后計算體積即可【詳解】【點睛】 本題考查三棱錐的外接球問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查計算能力，屬于常考題 三、解答題an的公差為d d 0,等差數(shù)列bn的公差為2d，設A，Bn分bn的前n項和，且b13,A23,AB3.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式；, 12(2)設Cnbn，數(shù)列Cn的前

17、n項和為，證明：(n 1).an?an 1【答案】(1)ann,bn2n1； (2)見解析【解析】(1)由等差數(shù)列的通項公式及求和公式列印，d的方程組求解則ann可求,進而得bn2n 1(2)利用q 2n 112n 11分組求和即n n 1n n 1可證明如圖，在ABC中，AB 6,AC 2、6,ABAC，所以1BC ,62(2、“6)22.15，AE 2BC15，設球 0 的半徑為R，則2 215(5 R) R,解之得：R 4，所以球 O 的體積為:R343256故答案為:256317.已知等差數(shù)列別是數(shù)列an第13頁共 17 頁【詳解】B3,所以2a1d10d9 6d整理得2耳d3a1，解

18、得5a14d9d1所以ana1n1 ?dn,即ann,bnbn 1 2d 2n1，即bn2n 1.綜上，ann,bn2n1.(2) 由 (1)得（C 2n112n1 1nn 1n所以Sn3 52n111 112 23即Sn21212n2n 1 -n1n 1n 1n 1（1） 因為數(shù)列A5【點睛】an是等差數(shù)列,bn本題考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式，裂項相消求和，考查推理計算能力, 是中檔18 .如圖，在矩形ABCD中，AB 2 , BC 3，點E是邊AD上的一點,且AE2ED,點H是BE的中點，將ABE沿著BE折起，使點A運動到點S處，且有SCSD.(1)證明：SH面BCDE;（2）求三棱

19、錐C SHE的體積.【答案】（1）見解析；（2）23【解析】（1）取CD的中點M，分別連接HM和SM，由已知易得SH BE，先證SM CD,再證HM CD,可得CD平面SHM,進而可得CD SH，又CD,BE不平行，即可證SH面BCDE;（2）因為VC SHEVC SHEVS HEC，利用等體積法計算即可得解【詳解】第14頁共 17 頁第15頁共 17 頁(1)如圖，取CD的中點M，連接HM,SM,【點睛】本題考查線面垂直的判定，考查等體積法的應用，考查空間想象能力和運算能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于高考常考題型 19 某大型商場的空調(diào)在 1 月到 5 月的銷售量與月份相關，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:月

20、份x12345銷量y(百臺)0.60.81.21.61.8(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn) 1 月到 5 月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場空調(diào)的月銷量y(百 件)與月份x之間的相關關系.請用最小二乘法求y關于x的線性回歸方程y? b?(召, 并預測 6 月份該商場空調(diào)的銷售量；(2)若該商場的營銷部對空調(diào)進行新一輪促銷，對 7 月到 12 月有購買空調(diào)意愿的顧客 進行問卷調(diào)查假設該地擬購買空調(diào)的消費群體十分龐大，經(jīng)過營銷部調(diào)研機構對其中的 500 名顧客進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：有購買意愿對應的月份789101112BC3，且AE 2ED,又點H是BESH BE，QSCCD的中點，SM CD

21、，又因為HM平行于BC,HM CD，又HM SMCD平面SHM,又SH平面SHM，CDSH，又CD與BE不平行,SH面BCDE；(2)由(1)知 SH AH 2sin 45,/2，SHEC三棱錐C SHE的體積VCSHEVCSHEVS HECSD，點M是線段第16頁共 17 頁頻數(shù)60801201308030現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7 月與 12 月的這 90 名顧客中隨機抽取 6名，再從這 6 人中隨機抽取 3 人進行跟蹤調(diào)查，求抽出的 3 人中恰好有 2 人是購買意愿的月份是 12 月的概率.nx yinx y5參考公式與數(shù)據(jù)：線性回歸方程? b?x ?，其中 R 二-，S

22、21.2.2-2i 1Xinxi 11【答案】（1）? 0.32x 0.24 ； 2.16（百臺）；（2）P -5【解析】（1 ）由題意計算平均數(shù)與回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程，再利用回歸方程計算對應的函數(shù)值；（2）利用分層抽樣法求得抽取的對應人數(shù)，用列舉法求得基本事件數(shù)，再計算所求的概率值.【詳解】1 1（1）因為x - 1 2 3 4 53 y - 0.6 0.81.2 1.6 1.81.25521 25 3 12所以 I?20.32，則? 1.2 0.32 3 0.24 ,55 5 32于是y關于x的回歸直線方程為？0.32x 0.24.當x 6時，？0.32 6 0.242.16 （百臺

23、）.（2） 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7 月與 12 月的這 90 名顧客中隨機抽取 6 名，則購買意愿為 7 月份的抽 4 人記為a,b,C,d，購買意愿為 12 月份的抽 2人記為A,B,從這 6 人中隨機抽取 3 人的所有情況為a,b,c、a,b,d、a,b,A、a,b, B、a,c,d、a, c, A、 a,c, B、 a,d, A、a,d, B、a, A, B、b,c,d 、b,c, A、 b,c, B、b,d, A、b, d,B、 b,A, B、 c,d, A、 c,d, B、 c, A, B、 d,A,B，共 20 種，恰好有 2 人是購買意愿的月份是12 月的有 a

24、,A,B、 b, A, B、 c, A, B、 d,A,B ,共 4 種，41故所求概率為 P 1205【點睛】第17頁共 17 頁本題考查了線性回歸方程與列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題.220 .已知拋物線y 2px p 0，直線y x 2是它的一條切線.（1）求P的值；（2） 若 A 2,4 ,過點 p m,0 作動直線交拋物線于B,C兩點，直線AB與直線AC的 斜率之和為常數(shù)，求實數(shù)m的值.【答案】(1)p 4； (2)m 2【解析】(1)聯(lián)立拋物線與直線的方程，利用0,解得 p 即可(2)設B xi,yi，C X2,y2，將kABkAc表示成關于 力，牡的表達式，設出過點P m,

25、0的動直線的方程，代入拋物線方程，結(jié)合韋達定理化簡得到kABkAC8t 8，滿足-時符合題意，解之即可4t 2 m4 2m【詳解】(1) 由yx2，得xy 2，代入y222px，得y 2py 4p 0，因為拋物線2y2px p0與直線yx2相切，所以22p4 4 p0，解得p4.(2)設B X%，C X2,y2，Y!4 y24888 %y28則kABkAC2 2y12 y22 y18 84y24y24 y1y216. .設過點P m,0的動直線的方程為xtym， 代入y28x，得y28ty 8m 0，所以64t232 m 0，y1y2&y28m8 y1y28&8所以kABkAC

26、yy4 y1y2164t2m若t變化，kABkAC為常數(shù)，則需滿足88，解得m2.42m【點睛】本題考查拋物線與直線的位置關系的應用，考查了斜率公式，考查了韋達定理的應用, 考查了運算能力，屬于較難題.21 .設函數(shù)f (x) ax2(a 2)x In x(a R).(1) 討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性；第18頁共 17 頁(2) 若函數(shù) f(x)恰有兩個零點，求a的取值范圍【答案】(1)見解析；(2)(4 4ln 2,)x 2ax a 2丄丄2x 1 ax 1，討論 a，求得單調(diào)性即可xx【解析】(1)第19頁共 17 頁(2)利用(1)的分類討論,研究函數(shù)最值，確定零點個數(shù)即可求解【詳解】(

27、1)因為f2x axx Inx,其定義域為0,所以2 ax a2x 1 ax 1(x當a 0時,此時當0時,0).0，得0上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增x 0，得此時上單調(diào)遞減,當2時，f當2時，令f此時(2)1-上單調(diào)遞增.a此時f x在0,上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減;令f X 0，得1上單調(diào)遞增2(1)可知：當a0時,極小值In2.易證Inx x 1，所以f2axInxax1 x 1.6a219a2 0.所以f x恰有兩個不同的零點，只需In24I n2.當2 a 0時，f -aIn20，不符合題意當a 2時，f x在0,上單調(diào)遞減，不符合題意第20頁共 17 頁當a112時，由于f x在0,-,a2上單調(diào)遞減，在1 1丄，丄上單調(diào)遞a 214a1111 1增，且fIn2 0，又f1In，由于024aaaa 2In 10,a所以f111 . 1 In0，函數(shù)fX最多只有 1 個零點，與題意不符aaa綜上可知，a44ln2，即a的取值范圍為4 4ln2,【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點問題，考查推理求解能力及分類討論思想，是難題22 .已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與X軸正半軸重合，直線l的參數(shù)x 2 t cos方程為：(t為參數(shù)，0,),曲線C的極坐標方程為：4siny tsi n(1)寫出曲線C的直角坐標方程;直線I的斜