微分中值定理習題課

1、第三 微分中值定理習題課教學目的 通過對所學知識的歸納總結及典型題的分析講解，使學生對所學的知識有一個更深刻的理解和認識教學重點 對知識的歸納總結教學難點 典型題的剖析教學過程 一、知識要點回顧1費馬引理2微分中值定理：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理3微分中值定理的本質是:如果連續(xù)曲線弧上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線，則這段弧上至少有一點C，使曲線在點C處的切線平行于弦AB4羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的條件是充分的，但不是必要的即當條件滿足時，結論一定成立；而當條件不滿足時，結論有可能成立，有可能不成立如，函數在上不滿足羅爾定理的第一個條件，并且定理的結論對其也是不成

2、立的而函數在上不滿足羅爾定理的第一和第三個條件，但是定理的結論對其卻是成立的5泰勒中值定理和麥克勞林公式6常用函數、的麥克勞林公式7羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理間的關系8、型未定式9洛必達法則10、型未定式向或型未定式的轉化二、練習1. 下面的柯西中值定理的證明方法對嗎？錯在什么地方？ 由于、在上都滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在點，使得, . 又對任一 ，所以上述兩式相除即得.答 上述證明方法是錯誤的因為對于兩個不同的函數和，拉格朗日中值定理公式中的未必相同也就是說在內不一定存在同一個，使得式和式同時成立例如，對于，在上使拉格朗日中值定理成立的；對，在上使拉格朗日

3、中值定理成立的，兩者不等2. 設函數在區(qū)間上存在二階導數，且.試證明在內至少存在一點，使還至少存在一點,使分析 單純從所要證明的結果來看，首先應想到用羅爾定理由題設知，且在上滿足羅爾定理的前兩個條件，故在內至少存在一點，使至于后一問，首先得求出，然后再考慮問題，且這樣根據題設，我們只要在上對函數再應用一次羅爾定理，即可得到所要的結論證 由于在上存在二階導數，且，在上滿足羅爾定理的條件，故在內至少存在一點，使由于 ， 且，在上滿足羅爾定理的條件，故在 內至少存在一點，使由于，所以3.設為滿足方程的實數，試證明方程在內至少有一個實根分析 證明一個方程在某個區(qū)間內至少有一個實根的問題，就同學們目前所

4、掌握的知識來看主要有兩種方法，一種是用零點定理，另一種是用羅爾定理.要用零點定理,函數，需要滿足在上連續(xù)，且但，因此這種方法并不能直接應用換一種方法，就應考慮羅爾定理，而要用羅爾定理解決上述問題，就得設，并將的原函數求出來，然后對原函數應用羅爾定理在這個問題中的原函數求起來很容易，求出后，根據題設條件，對在上應用羅爾定理即可得到所要的結論證 引入輔助函數因為在上連續(xù)，在內可導，所以由羅爾定理知，在內至少存在一點，使得，即.于是方程在內至少有一個實根4. 設函數在上可導，且試證明曲線?。荷现辽儆幸稽c處的切線平行于直線分析 由于直線的斜率為，所以上述命題的本質是要證明在內存在一點，使得由于，因此若

5、設，則要證上述命題，只須證明在內存在一點，使得即可這是一個用羅爾定理解決的問題在上滿足羅爾定理的前兩個條件沒問題，只是由題設我們還不能直接得到所滿足的是羅爾定理的第三個條件.但是我們注意在上連續(xù)，而，且1介于-1和2之間因此由介值定理知，在內必存在一點，使得這樣在上對應用羅爾定理即可證得所要的結果證 引入輔助函數在上連續(xù),且.由介值定理知,在內比存在一點，使得又，且在上滿足羅爾定理的前兩個條件,故在內必存在一點，使得，即由于，所以5. 設在上可導，試證明在內必存在一點,使得象上述這種含有中值的等式,一般應考慮用微分中值定理去證明方法一 用羅爾定理證分析 要用羅爾定理證明一個含有中值的等式，第一

6、步要將等式通過移項的方法化為右端僅為零的等式，即第二步將等式左端中的都換為，并設第三步是要去確定的原函數，并在相應的區(qū)間上對應用羅爾定理即可本問題中的原函數為證 引入輔助函數由題設知，在上連續(xù)，在內可導，且，由羅爾定理知，在內必存在一點，使得，即.方法二 用拉格朗日中值定理證 分析 要用拉格朗日中值定理證明一個含有中值的等式，第一步要將含有的項全部移到等式的右端，其余的項全部移到等式的左端,即作如下恒等變形： . (3)第二步是把等式右端中的都換為,并設.第三步是要去確定的原函數.本問題中的原函數為.第四步確定了的原函數后,針對相應的區(qū)間,驗證(3)式左端是否為或.若是,則只要對在上應用拉格朗

7、日中值定理即可得到所要的結論;否則,需另辟新徑,考慮用羅爾定理或柯西中值定理等其它方法去解決問題.在本問題中,由于,所以.因此,本問題可通過對函數在上應用拉格朗日中值定理來證明.證 引入輔助函數.由題設知,在上滿足拉格朗日中值定理條件,故在內必存在一點,使得,.又由題設知,所以有,.方法三 用柯西中值定理證分析 用柯西中值定理證明一個含有中值的等式,其第一步也是將含有的項全部移到等式的右端,其余的項全部移到等式的左端.即將作如下恒等變形:.第二步是把等式右端化為分式形式，即作如下變形：  . (4)第三步把(4)式右端中的全都換為，并設分子函數為，分母函數為即設 第四步是求和的原函數

8、和本問題中的和分別為第五步針對區(qū)間，驗證式左端是否為或若是，則只要對和在上應用柯西中值定理即可證得所要的結論；否則需另辟新徑，考慮使用拉格朗日中值定理或羅爾定理等其它方法在本問題中，由于，所以=故本問題可通過對函數和在上應用柯西中值定理來證明證 引入輔助函數由題設知，和在上連續(xù)，在內可導，且在內，由柯西中值定理知，在內必存在一點，使得=又由題設知，所以有即.總結 練習5中方法一、方法二及方法三的分析，是用羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理證明含有中值這種等式的一般方法和思路，同學們一定要掌握其要領至于在遇到具體問題時，應當用哪個定理去證明，這要視具體問題而定，甚至于要嘗試著去做但有時經過

9、移項變形后，其特點往往是很明顯的這時根據羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理結論的特點，是比較容易做出選擇的在運用羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理證明含有中值的等式時，求一些函數的原函數是不容易的，這時掌握幾種常見函數如等的導數，是非常有用的下面我們應用練習5中介紹的方法和思路再討論一個問題6. 設在上連續(xù)，在內可導，試證明在內必存在一點，使得分析 移項變形得 . (5)上式的特點是等式左端恰好是兩個函數在區(qū)間上的增量之比，這恰好是柯西中值公式的特點因此，我們決定用柯西中值定理去證明把(5)式右端化為分式形式，得 (6)把(6)式右端的都換成，并設 則和的原函數為 而(6)式左端恰

10、好是 證 引入輔助函數由題設知，和在上連續(xù)，在內可導，且在內，故由柯西中值定理知，在內至少存在一個，使得即.7. 設在上有二階連續(xù)導數，且，.證明存在，使.證 由于函數在上有二階連續(xù)導數，故我們可以求出函數的帶有拉格朗日型余項的一階麥克勞林公式：(在與之間)將帶入上式得，；，將上述兩式相加得若，則和都可作為，使，；若，則介于與之間，即介于與之間由于在上連續(xù)，因而也在上連續(xù)，故由介值定理知，在內必存在一點，使得綜上所述，必存在，使總結 用泰勒中值定理去證明含有中值的等式，也是一種常用的方法，尤其在題設的函數存在較高階的導數，并且已知其多點函數值時，更應注意應用練習7的方法去證明8. 求函數按的冪

11、展開的帶有拉格朗日余項的3階泰勒公式解 ，故因此，所求3階泰勒公式為,其中介于與之間9. 求函數的帶有佩亞諾型余項的階麥克勞林公式分析 的帶有佩亞諾型余項的階麥克勞林公式我們是已知的，這時求函數的帶有佩亞諾型余項的階麥克勞林公式可以采用下面的所謂間接方法解 由于，所以又因為，所以是當時比高階的無窮小故上式即為的帶有佩亞諾型余項的階麥克勞林公式總結 理論上可以證明，任何一個函數的同階泰勒公式在形式上是唯一的因此，我們可以利用一些已知的函數的泰勒展開式，通過適當的運算去獲得另外一些函數的泰勒展開式只要所獲函數展開式的形式與泰勒公式的形式一致，則它就是該函數的泰勒公式這就是獲得某些函數泰勒公式的間接

12、方法在運用泰勒公式的間接展開方法時，必須熟記一些常見函數的泰勒公式，如等10. 利用泰勒公式求極限解 由于是求時的極限，故分子和分母中的函數都要用麥克勞林公式去表示利用函數的麥克勞林公式，求出函數的帶有佩亞諾型余項的二階麥克勞林公式.若將上式代入函數的分母，則分母是一個最高冪為次的多項式因此需將函數和都用帶有佩亞諾型余項的四階麥克勞林公式來表示的四階麥克勞林公式可直接給出，而的四階麥克勞林公式可利用的麥克勞林公式間接獲得，它們是，因此11. 求極限分析 雖然本題是型未定式，可以直接應用洛必達法則求極限但如果先將極限形式作一些簡化，然后再使用洛必達法則可使求解過程大幅度簡化解 =12. 求解 所

13、求極限為型未定式，通分化為型· .13. 求分析 這是一個型未定式，轉化為型未定式，雖然原極限已轉化為型未定式，但因為是正整數，不是連續(xù)變量，故不能直接應用洛必達法則先把換成連續(xù)自變量，再應用洛必達法則，得因為時，必有，所以總結 數列的極限既使是未定式也不能直接應用洛必達法則，只有將數列中的換為連續(xù)自變量后，才能應用洛必達法則2. 驗證極限存在, 但不能用洛必達法則得出. 解 , 極限是存在的. 但不存在, 不能用洛必達法則. 3. 驗證極限存在, 但不能用洛必達法則得出. 解 , 極限是存在的. 但不存在, 不能用洛必達法則. 4. 討論函數在點x=0處的連續(xù)性. 解 , , 因為 , 而 , 所以 . 因此f(x)在點x=0處連續(xù).14. 設具有二階連續(xù)導數，且，求分析 所求極限為型未定式，一般情況下是將該極限轉化為或型未定式，應用洛必達法則去求解但是注意到，且0，所以因此，只須求出極限即可解