用雙線性變換法設計原型低通為巴特沃斯型的IIR數(shù)字高通濾波器

1、數(shù)字信號處理課程設計報告用雙線性變換法設計原型低通為巴特沃斯型的IIR數(shù)字高通濾波器學院： 姓名： 班級：學號：目 錄一、設計目的及設計內(nèi)容2二、概念設計4三、詳細設計14四、實驗總結(jié)22五、參考文獻23一、設計目的及設計內(nèi)容當今，數(shù)字信號處理(DSP：Digtal Signal Processing)技術(shù)正飛速發(fā)展，它不但自成一門學科，更是以不同形式影響和滲透到其他學科：它與國民經(jīng)濟息息相關(guān)，與國防建設緊密相連；它影響或改變著我們的生產(chǎn)、生活方式，因此受到人們普遍的關(guān)注。數(shù)字化、智能化和網(wǎng)絡化是當代信息技術(shù)發(fā)展的大趨勢，而數(shù)字化是智能化和網(wǎng)絡化的基礎，實際生活中遇到的信號多種多樣，例如廣播信

2、號、電視信號、雷達信號、通信信號、導航信號、射電天文信號、生物醫(yī)學信號、控制信號、氣象信號、地震勘探信號、機械振動信號、遙感遙測信號，等等。上述這些信號大部分是模擬信號，也有小部分是數(shù)字信號。模擬信號是自變量的連續(xù)函數(shù)，自變量可以是一維的，也可以是二維或多維的。大多數(shù)情況下一維模擬信號的自變量是時間，經(jīng)過時間上的離散化(采樣)和幅度上的離散化(量化)，這類模擬信號便成為一維數(shù)字信號。因此，數(shù)字信號實際上是用數(shù)字序列表示的信號，語音信號經(jīng)采樣和量化后，得到的數(shù)字信號是一個一維離散時間序列；而圖像信號經(jīng)采樣和量化后，得到的數(shù)字信號是一個二維離散空間序列。數(shù)字信號處理，就是用數(shù)值計算的方法對數(shù)字序列

3、進行各種處理，把信號變換成符合需要的某種形式。例如，對數(shù)字信號經(jīng)行濾波以限制他的頻帶或濾除噪音和干擾，或?qū)⑺麄兣c其他信號進行分離；對信號進行頻譜分析或功率譜分析以了解信號的頻譜組成，進而對信號進行識別；對信號進行某種變換，使之更適合于傳輸，存儲和應用；對信號進行編碼以達到數(shù)據(jù)壓縮的目的，等等。數(shù)字濾波技術(shù)是數(shù)字信號分析、處理技術(shù)的重要分支2-3。無論是信號的獲取、傳輸，還是信號的處理和交換都離不開濾波技術(shù)，它對信號安全可靠和有效靈活地傳輸是至關(guān)重要的。在所有的電子系統(tǒng)中，使用最多技術(shù)最復雜的要算數(shù)字濾波器了。數(shù)字濾波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣。1.1設計目的：（1）熟悉用雙線性變換法設計IIR

4、數(shù)字濾波器的原理與方法；（2）學會調(diào)用MATLAB信號處理工具箱中濾波器設計函數(shù)（或濾波器設計分析工具fdatool）設計各種IIR數(shù)字濾波器，學會根據(jù)濾波需求確定濾波器指標參數(shù)。（3）掌握IIR數(shù)字濾波器的MATLAB實現(xiàn)方法。（4）通過觀察濾波器輸入輸出信號的時域波形及其頻譜，建立數(shù)字濾波的概念。1.2設計內(nèi)容：本次課程設計的內(nèi)容為用雙線性變換法設計原型低通為巴特沃茲型的數(shù)字IIR高通濾波器，要求通帶邊界頻率為500Hz，阻帶邊界頻率分別為400Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減40dB，抽樣頻率為2000Hz，用MATLAB畫出幅頻特性，畫出并分析濾波器傳輸函數(shù)的零極點；信號經(jīng)過該濾

5、波器，其中300Hz，600Hz，濾波器的輸出是什么？用Matlab驗證你的結(jié)論并給出的圖形。二、 概要設計2.1 數(shù)字濾波器介紹數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號處理裝置,其輸入、輸出均為數(shù)字信號,實質(zhì)上是一個由有限精度算法實現(xiàn)的線性時不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對系統(tǒng)輸入信號進行加工和變換,改變輸入序列的頻譜或信號波形,讓有用頻率的信號分量通過,抑制無用的信號分量輸出。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念,根據(jù)其頻率響應特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型,與模擬濾波器相比,數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號處理的固有優(yōu)點外,還有濾波精度高(與系統(tǒng)字長有關(guān))、穩(wěn)定

6、性好(僅運行在0與l兩個電平狀態(tài))、靈活性強等優(yōu)點。時域離散系統(tǒng)的頻域特性:,其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）,是數(shù)字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當選擇，使得濾波后的滿足設計的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。2.2 IIR數(shù)字濾波器的設計方法IIR濾波器的性能特點(1)封閉函數(shù)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。(2)IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運算結(jié)構(gòu)通常由延時、乘

7、以系數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。(3)借助成熟的模擬濾波器的成果IIR數(shù)字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設計數(shù)據(jù)或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。(4)需加相位校準網(wǎng)絡IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網(wǎng)絡。IIR數(shù)字濾波器的基本

8、結(jié)構(gòu)一個數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為： (2-1) 由這樣的系統(tǒng)函數(shù)可以得到表示系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的常系數(shù)線形差分程為： (2-2) 可見數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列x(n)通過一定的運算變換成輸出序列y(n)。不同的運算處理方法決定了濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同。無限沖激響應濾波器的單位抽樣響應h(n)是無限長的，其差分方程如(2-2)式所示，是遞歸式的，即結(jié)構(gòu)上存在著輸出信號到輸入信號的反饋，其系統(tǒng)函數(shù)具有(2-1)式的形式，因此在z平面的有限區(qū)間(0<z<)有極點存在。前面已經(jīng)說明，對于一個給定的線形時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，有著各種不同的等效差分方程或網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)。由于乘法是一種耗時運

9、算，而每個延遲單元都要有一個存儲寄存器，因此采用最少常熟乘法器和最少延遲支路的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)是通常的選擇，以便提高運算速度和減少存儲器。然而，當需要考慮有限寄存器長度的影響時，往往也采用并非最少乘法器和延遲單元的結(jié)構(gòu)。IIR濾波器實現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)有：(1)IIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)；優(yōu)點：延遲線減少一半，變?yōu)镹 個，可節(jié)省寄存器或存儲單元；缺點：其它缺點同直接I型。    通常在實際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)(一、二階)來實現(xiàn)。(2)IIR濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)；特點：系統(tǒng)實現(xiàn)簡單，只需一個二階節(jié)系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成； &

10、#183; 極點位置可單獨調(diào)整； · 運算速度快(可并行進行)； · 各二階網(wǎng)絡的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低。 缺點：不能直接調(diào)整零點，因多個二階節(jié)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當需要準確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。(3)IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。優(yōu)點：· 簡化實現(xiàn)，用一個二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)； · 極、零點可單獨控制、調(diào)整，調(diào)整1i、2i只單獨調(diào)整了第i對零點，調(diào)整1i、2i則單獨調(diào)整了第i對極點； · 各二階節(jié)零、極點的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運算誤差； · 可流水線操作。 缺點：·

11、二階階電平難控制，電平大易導致溢出，電平小則使信噪比減小。 a、直接型 b、并聯(lián)型c、串聯(lián)型2.3 巴特沃茲濾波器 (Butterworth 濾波器)特點：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f，幅頻特性單調(diào)。其幅度平方函數(shù)：N為濾波器階數(shù)，如圖1圖1、 巴特沃斯濾波器振幅平方特性通帶： 使信號通過的頻帶 阻帶：抑制噪聲通過的頻帶過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范圍 c ：截止頻率。 過渡帶為零理想濾波器 阻帶|H(j )|=0 通帶內(nèi)幅度|H(j)|=cons. H(j)的相位是線性的圖3-1中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。通帶內(nèi)，分母/c<1, ( /c)2N<1，

12、A(2)1。過渡帶和阻帶，/c>1， ( /c)2N>1, 增加， A(2)快速減小。=c, ,幅度衰減，相當于3db衰減點。振幅平方函數(shù)的極點 可見，Butter worth濾波器 的振幅平方函數(shù)有2N個極點，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=c的圓周上?？紤]到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(SP3，SP4，SP5)組成的，它們分別為：系統(tǒng)函數(shù)為令 ，得歸一化的三階BF： 如果要還原的話，則有2.4 雙線性變法法目的：將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器為了克服沖激響應法可能產(chǎn)生的頻率響應的混疊失真，這是因為從S平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺

13、點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖2圖2 雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn)式中,T仍是采樣間隔。當1由-/T經(jīng)過0變化到/T時，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個j軸。將式寫成將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和

14、S1平面，令j=s，j1=s1，則得再將S1平面通過以下標準變換關(guān)系映射到Z平面z=es1T從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：首先,把z=ej，可得即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入式，得因此由此看出，當<0時，|z|<1；當>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點：雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面

15、與Z平面是單值的一一對應關(guān)系。S平面整個j軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式所示，重寫如下：上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系 由圖3看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當進一步增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖3雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到

16、非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖4所示。圖4雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。2. 5 設計步驟根據(jù)以上F

17、IR數(shù)字濾波器設計方法，下面運用雙線性變換法基于MATLAB設計一個FIR高通濾波器，其中通帶邊界頻率為500Hz，阻帶邊界頻率分別為400Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減40dB，抽樣頻率為2000Hz (1)確定性能指標在設計高通濾波器之前,首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術(shù)指標: (2)頻率預畸變用=2/T*tan(w/2)對高通數(shù)字濾波器H(z)的數(shù)字邊界頻率預畸變,得到高通模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率Wp1;阻帶截止頻率Ws1，的轉(zhuǎn)換。(3)模擬高通性能指標轉(zhuǎn)換成模擬低通性能指標 WP=1； %歸一化處理 WS=WP* Wp1/ Ws1；(4)模擬低通濾波

18、器的構(gòu)造借助巴特沃茲濾波器得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)。(5)模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器 調(diào)用lp2bp函數(shù)將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)化為模擬高通濾波器。(6)模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器利用雙線性變換法將模擬高通濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器H(z)。(7)輸入信號檢驗濾波器性能 輸入不同頻率的正弦波，觀察輸出波形，檢驗濾波器性能。2.6 程序流程圖開始讀入數(shù)字濾波器技術(shù)指標將指標轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器的指標模擬域頻率變換，將G(P)變換成模擬高通濾波器H(s)用雙線性變換法將H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器H(z)輸入信號后顯示相關(guān)結(jié)果結(jié)束2.7 問題分析（1） 在設計高通濾波

19、器時，首先要將數(shù)據(jù)進行歸一化這樣可以提高設計的準確性。（2） 在設計信號的輸入時，課程中的數(shù)據(jù)f2如果是600HZ時，則復合信號通過濾波器時無法輸出正常的信號X2，這說明頻率太低，而被全被濾除，在將頻率改至3000HZ之后則能輸出符合設計要求的信號。（3） 信號通過濾波器后輸出的信號與x2的信號開始部分有點失真，這時因為信號并不是非常理想的通過濾波器的，在通過濾波器時受到濾波器的影響是從不穩(wěn)定逐漸趨向穩(wěn)定的。三、詳細設計3.1 運行環(huán)境Windows xp3.2 開發(fā)工具和編程語言Matlab 6.5 3.3 設計程序clc;clear allRp = 1; % 通帶衰減/dBRs = 40;

20、 %阻帶衰減/dBOmegaP1_1=500; % 通帶邊界頻率OmegaS1_1=400; % 阻帶邊界頻率Fp=2000; % 抽樣頻率Wp1=2*pi*OmegaP1_1/Fp; % 通帶頻率模數(shù)轉(zhuǎn)換Ws1=2*pi*OmegaS1_1/Fp; % 阻帶頻率模數(shù)轉(zhuǎn)換OmegaP1=tan(Wp1/2); % 通帶頻率非線性變換OmegaS1=tan(Ws1/2); % 阻帶頻率非線性變換Eta_P=OmegaP1/OmegaP1; %歸一化Eta_S=OmegaS1/OmegaP1; %歸一化Lemta_P_EquivalentLowPass=1/Eta_P; Lemta_S_Equiv

21、alentLowPass=1/Eta_S; % 估計濾波器階數(shù)N, Wn = buttord(Lemta_P_EquivalentLowPass, Lemta_S_EquivalentLowPass, Rp, Rs,'s'); %設計濾波器num1,den1 = butter(N,Wn,'s'); num2,den2=lp2hp(num1,den1,OmegaP1);num,den=bilinear(num2,den2,0.5);z,p,k=tf2zp(num,den)%顯示傳輸函數(shù)disp('分子系數(shù)是');disp(num);disp(

22、9;分母系數(shù)是');disp(den);% 計算增益響應w = 0:pi/255:pi;h = freqz(num,den,w);g = 20*log10(abs(h);% 繪制增益響應figure;plot(w/pi,g);grid %繪制巴特沃茲高通濾波器幅頻特性axis(0 1 -60 5);xlabel('omega /pi'); ylabel('增益/ dB');title('巴特沃茲高通濾波器');figure;zplane(z,p);%繪制傳輸函數(shù)零極點title('傳輸函數(shù)的零極點');f1=300,f2=

23、3000;n=0:600;t=n/10000;x1=sin(2*pi*f1*t);x2=sin(2*pi*f2*t);x=x1+x2;figure;subplot(2,2,1)%繪制x1的波形plot(x1);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('x1(t)');title('x1的波形');subplot(2,2,2)%繪制x1的波形plot(x2);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('x2(t)')

24、;title('x2的波形');subplot(2,2,3)%繪制輸入x的波形plot(x);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('x(t)');title('輸入信號x的波形')y=filter(num,den,x);%數(shù)字濾波器輸出subplot(2,2,4);%繪制輸出y的波形plot(y);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('y');title('濾波器輸出y的波形

25、9;) 3.4 調(diào)試分析z = 1.3186 + 0.0728i 1.3186 - 0.0728i 1.2471 + 0.1915i 1.2471 - 0.1915i 1.1460 + 0.2529i 1.1460 - 0.2529i 1.0478 + 0.2773i 1.0478 - 0.2773i 0.9460 + 0.2698i 0.9460 - 0.2698i 0.8580 + 0.2250i 0.8580 - 0.2250i 0.7968 + 0.1570i 0.7968 - 0.1570i 0.7632 + 0.0792i 0.7632 - 0.0792i 0.7531 p = 0

26、.0444 + 0.9106i 0.0444 - 0.9106i 0.0381 + 0.7545i 0.0381 - 0.7545i 0.0336 + 0.6187i 0.0336 - 0.6187i 0.0303 + 0.4976i 0.0303 - 0.4976i 0.0279 + 0.3871i 0.0279 - 0.3871i 0.0262 + 0.2843i 0.0262 - 0.2843i 0.0251 + 0.1868i 0.0251 - 0.1868i 0.0245 + 0.0926i 0.0245 - 0.0926i 0.0243 k = 7.3789e-005分子系數(shù)是 C

27、olumns 1 through 6 0.0001 -0.0013 0.0100 -0.0502 0.1756 -0.4566 Columns 7 through 12 0.9132 -1.4350 1.7938 -1.7938 1.4350 -0.9132 Columns 13 through 18 0.4566 -0.1756 0.0502 -0.0100 0.0013 -0.0001分母系數(shù)是 Columns 1 through 6 1.0000 -0.5247 2.4322 -1.0556 2.2461 -0.7954 Columns 7 through 12 1.0097 -0.2858 0.2357 -0.0517 0.0283 -