異面直線所成角的幾種求法

1、PiSGH=,6a4（作直線 GQ/BC交BBi于點(diǎn)Q,HS=a （連AiS，可知 HAiS為直角三角形）GS=（作直線 GP交BC于點(diǎn)P,連PD，可知四邊形 GPDS為直角梯形）4i Cos/ GHS=。6所以直線AiE與直線BiF所成的角的余弦值為解法二：（向量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體， 所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用 點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個(gè)向量，從而可以用 向量的方法來求出兩條直線間的夾角。以B為原點(diǎn),BC為x軸，BA為y軸,BBi為z軸，設(shè)BC長(zhǎng)度為2。異面直線所成角的幾種求法異面直線所成角的大小， 是由空間一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角（或直角）來定

2、義的。因此，通常我們要求異面直線所成的角會(huì)要求學(xué)生通過平移直線，形成角，然后 在某個(gè)三角形中求出角的方法來得到異面直線所成角的大小。在這一方法中，平移直線是求異面直線所成角的關(guān)鍵，而如何平移直線要求學(xué)生有良好的空間觀和作圖能力。、向量法求異面直線所成的角例1 :如圖，在正方體 ABCD-A iBiCiDi中，E、F分別是相鄰兩側(cè)面 BCCiBi及CDDQi 的中心。求 AiE和BiF所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線 到某個(gè)點(diǎn)上。作法：連結(jié)BiE，取BiE中點(diǎn)G及AiBi中點(diǎn)H， 連結(jié)GH，有GH/A iE。過F作CD的平行線RS, 分另

3、U交CCi、DDi于點(diǎn)R、S,連結(jié)SH，連結(jié)GS。 由 BiH/CiDi/FS, BiH=FS，可得 BiF/SH。在厶GHS中，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 a。連QH，可知 GQH為直角三角形）第i頁共4頁則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（0, 2, 2）,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1 , 0, 1）, 點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為（0, 0, 2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 1 , 1）;所以向量EA的坐標(biāo)為（-1 , 2, 1）,向量B1F的坐標(biāo)為（2, 1, -1）,所以這兩個(gè)向量的夾角0滿足EA1 B1F(1)x2+2x1+1x(1)1cos 0 =-I EA1 | | B1F |(-1)2(2)22(2)2 (1)2(-1)261所以直線A

4、1E與直線B1F所成的角的余弦值為 一6小結(jié)：上述解法中，解法一要求有良好的作圖能力，且能夠在作圖完畢后能夠看清楚圖形中的各個(gè)三角形，然后在所需要的三角形中計(jì)算出各條線段的長(zhǎng)度，從而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要學(xué)生作圖，只需建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到所需向量的坐標(biāo)，求出兩個(gè)向量的夾角，即所求的兩條直線所成的角。當(dāng) 然,如果題中給出的是一可以建立坐標(biāo)系的空間圖形，比如剛才的正方體， 或者說是長(zhǎng)方體，或者說空間圖形中擁有三條直線兩兩垂直的性質(zhì)，我們就可以建立空間直角坐標(biāo)系， 從而利用向量的坐標(biāo)表示來求兩個(gè)向量的夾角。如果沒有這樣的性質(zhì)， 我們也可以利用空間向量基本

5、定理，尋找空間的一組基底 （即三個(gè)不共面的向量， 且這三個(gè)向量?jī)蓛芍g的 夾角是已知的），空間中任何一個(gè)向量都可以用這三個(gè)向量的線性組合表示出來，因而也 可以運(yùn)用向量的數(shù)乘來求出空間中任意二個(gè)向量間的夾角。例2 :已知空間四邊形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a , M、N分別為BC和 AD的中點(diǎn)，設(shè) AM和CN所成的角為a，求cos a的值。.A解：由已知得，空間向量 AB , AC , AD不共面，且兩兩之間的夾角均為 60°。由向量的加法可以得到1 一 一 一 1 一 一AM = （ AB +AC ）, NC = AD + AC2 2的補(bǔ)角）所以向量AM與向量

6、NC的夾角0 （即角a或者aAM NC滿足cos 0 =，其中|AM I I NCI11 -AM NC=( AB+ AC ) (- AD + AC )22AC +AC AC )11 一 一 一 1 -=( AB AD +AB AC+ ( AD ) 22 212/11112= a+1) =_a ;24242第2頁共4頁2 11 一 12 32| AM | =( AB + AC ) ( AB + AC ) = (1+1+1) a = a ;2244211112 32| NC | = ( AD + AC ) ( AD + AC ) =+1 a = a °224242 所以 COS a =|

7、 COS 0 |=。3FGFGDC內(nèi)的一條直線b與2P久所以AO所以BMCDOB/b過點(diǎn) 可知設(shè)向量BA和CD的夾角為02, EF=且 BE: EC=AF : FD=10 1叫做第3頁共4頁0 2BE解：取AC上點(diǎn)G 可知 EG/AB , FG/CD求AB和CD所成的角的大小。線線角是這三個(gè)角中最大的一個(gè)角。b所成的角，即引理中的角0。從引理中可 b以及b在a內(nèi)的射影。且 MA=AB=a，試求異面使 AG : GC=1 : 2。連結(jié) EG3EG=2AB , 3FG=CD。這一問題中，直線 a和b可以是相交直線，也可以是異面直線。我們不妨把 線面角，0叫做線線角，0 2叫做線影角。很明顯 我們可

8、以利用這個(gè)模型來求兩條異面直線a和以看出，我們需要過 a的一個(gè)平面a，以及該平面的一條斜線例4:如圖，MA丄平面ABCD，四邊形 ABCD是正方形， 直線MB與AC所成的角2 1 -由向量的知識(shí)可知 EF = EG+GF =-BA+CD 33證明：設(shè)PA是a的斜線，OA是PA在a上的射影，如圖所示。則/ PAO= 0 i,/ PAB= 0，/ OAB= O在平面a內(nèi)作OB丄AB，垂足為B,連結(jié)PB。PB 丄 AB。A OA A AB A ABCOS0 1=, COS0 =, cos 0 2=PAPAOA /COS0 = COS 0 1 COS0 2。".2 * 1 -2 1 -則由

9、| EF |2= ( BA+ CD ) ( BA+ CD ) =4+1+4cos 0 =7,33331 得COS0 =，所以AB和CD所成的角為60 °。2二、利用模型求異面直線所成的角引理：已知平面a的一條斜線a與平面a所成的角為0 1,平面a斜線a所成的角為0，與它的射影a'所成的角為0 2。求證：cos0 = cos0 1 cos0例3 :已知空間四邊形 ABCD中，AB=CD=3 , E、F分別是BC、AD上的點(diǎn),解：由圖可知，直線 MB在平面ABCD內(nèi)的射影為 AB ,直線MB與平面ABCD所成的角為45 °,直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45°,所以直線AC與直MB所成的角為0，滿足1cos 0 =cos45 cos45 =,2所以直線AC與MB所成的角為60 °。例5:如圖，在立體圖形 P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，/ BAD=90AD/BC , AB=BC=a , AD=2a , 且 PA丄底求異面直線AE與CD所成的角的大小。解：過E作的平行線EF交AD于F, 由PA丄底面 ABCD可知，直線 AE在平面 ABCD內(nèi)的射影為AD ,cos 0 =cos60°cos45°所以其大小為arC直線AE與平面ABCD所成