考研數(shù)學(一)真題評注

1、(1) lim (cos x)x 0【分析】1型未定式，化為指數(shù)函數(shù)或利用公式limf(x)g(x)(1) = elim(f(x) 1)g(x)進行2003年考研數(shù)學(一)真題評注、填空題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)1ln(1 x2)1 1 limIn cosx2) x怖x2)=e計算求極限均可【詳解 1 】lim (cosx)ln(1 x)x 0sin x而 limn_cosxx 0 ln(1x2)ln cosx lim0x2【詳解2】因為1lim (cosx 1)廠x 0ln(1 x2)1 2x22x所以原式=(2)曲面2x 4y z5.e1e.2 2x

2、y與平面2x 4y的切平面的方程是【分析】待求平面的法矢量為n 2,4, 1，因此只需確定切點坐標即可求出平面方程，而切點坐標可根據(jù)曲面 zx2y2切平面的法矢量與n 2,4,1平行確定.【詳解】令F(x, y, z)Fx2x， Fy 2y，F(xiàn)z設切點坐標為(x0, y0 ,z0)，那么切平面的法矢量為 2x。，2y°,1,其與平面2x 4y z 0平行，因此有2x02y0可解得X。hy。2，相應地有Z02X。y 5.故所求的切平面方程為2(x1)4(y2) (z 5)0 ,即2x4y z 5、 2x )，貝V a2 =1(3)設 xan cos nx(n 0【分析】將f (x) x

3、2(2x)展開為余弦級數(shù) xan cos nx(n 0其系數(shù)計算公式為an(x) cos nxdx.【詳解】 根據(jù)余弦級數(shù)的定義，有2 x2 cos2xdx0a21 0x2dsin2x= -x2si n2xsin2x 2xdx1 xd cos2x0-xcos2xcos2xdx=1.R2的基11的過渡矩陣為21?2, n=1,2, nP ，因此過渡矩陣P為：P=11,2, n1 ,2, n【詳解】根據(jù)定義，從R2的基1121到基1121的過渡矩0112【分析】n維向量空間中，從基1 ? 2,1， 2 ?n到基n的過渡矩陣P滿足陣為111 1 11P= 1, 21,2 C0 1 12111123=

4、0 1 1 21 2 .(5)設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f (x, y)6x,0 x y 1,0,其他，1那么P X Y 1 丄4【分析】 二維隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y),求滿足一定條件的概率Pg(X,Y) z。，一般可轉(zhuǎn)化為二重積分Pg(X,Y) zo=f(x,y)dxdy 進行計算.g(x,y) Zo【詳解】由題設，有11 xP X Y 1 f (x, y)dxdy : dx % 6xdyx y 112 2 1=2(6x 12x2)dxo4(6)一批零件的長度X (單位：cm)服從正態(tài)分布N( ,1)，從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40 (cm)，貝U

5、的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49)(注：標準正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)0.975, (1.645)0.95.)【分析】 方差21 ,對正態(tài)總體的數(shù)學期望 進行估計，可根據(jù)確定臨界值u ，進而確定相應的置信區(qū)間.20.05.于是查標準正態(tài)分布表知u 1.96.21.960.95，有P1.960.95，即 P39.51,40.490.95，故的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49).只有二、選擇題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.每題給出的四個選項中, 項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設函數(shù)f(x)在()內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如下

6、圖，那么 f(x)有一個極小值點和兩個極大值點 兩個極小值點和一個極大值點 兩個極小值點和兩個極大值點 三個極小值點和一個極大值點x=0為極大值點，故(2)設an, bn, cn均為非負數(shù)列，且lim an n0, lim bnn1 ,lim cnn(A)an bn對任意n成立.(B) bnCn對任意(A)(B)(C)(D)【分析】答案與極值點個數(shù)有關，而可能的極值點應是導數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點， 共4個，是極大值點還是極小值可進一步由取極值的第一或第二充分條件判定【詳解】根據(jù)導函數(shù)的圖形可知，一階導數(shù)為零的點有 3個，而x=0那么是導數(shù)不存在的點.三個一階導數(shù)為零的點左右兩側(cè)導數(shù)符號不一致，

7、必為極值點，且兩個極小值點， 一個極大值點；在 x=0左側(cè)一階導數(shù)為正，右側(cè)一階導數(shù)為負，可見 f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應選(C).(C)極限limanCn不存在.(D)極限lim bn®不存在.D nn【分析】 此題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項的大小無關，可立即排除(A) ,(B)；而極限liman®是0型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極n限lim bnCn屬1 型，必為無窮大量，即不存在21，bn1， cn n(n 1,2,)，那么可立即排除n2n【詳解】用舉反例法，取an(A),(B),(C)，因此正確選項為(D).(3)函數(shù)f

8、(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且limx 0,yf(x,y) xy0/2 2、20 (x y )1，那么(A) 點(0,0)不是f(x,y)的極值點.(B) 點(0,0)是f(x,y)的極大值點.(C) 點(0,0)是f(x,y)的極小值點.(D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.A 【分析】由題設，容易推知f(0,0)=0，因此點(0,0)是否為f(x,y)的極值，關鍵看在點(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)f(x,y)是恒大于零、恒小于零還是變號.【詳解】limx 0,yf(x, y) xy0/2 2 20 (x y )1知，分子的極限必為零，從而有f(0,

9、0)=0,且f(x,y) xy (x2 y2)2 (x, y 充分小時)，于是f(x,y) f(0,0) xy (x2 y2)2.可見當y=x且x充分小時，f (x, y)f (0,0) x2 4x40 ；而當y= -x且x充分小時,24f(x, y) f(0,0)x 4x 0 .故點(0,0)不是f(x,y)的極值點，應選(A).(4)設向量組I :!,2, r可由向量組II :1,2, s線性表示，那么(A)當r s時，向量組II必線性相關.(B)當r s時，向量組II必線性相關.(C)當r s時，向量組I必線性相關.(D)當r s時，向量組I必線性相關.D 【分析】此題為一般教材上均有的

10、比擬兩組向量個數(shù)的定理：假設向量組1: 1, 2,可由向量組II:1, 2, , s線性表示，那么當r s時，向量組|必線性相關.或其逆否命題：假設向量組I :1, 2, , r可由向量組II :1, 2, , s線性表示，且向量組I線性無關，那么必有r s.可見正確選項為(D).此題也可通過舉反例用排除法找到答案【詳解】用排除法：如101'那么 10102，但 1,2線性無關，排除(A) ；10，那么1, 2可由1線性表示，但 1線性無關，排除(B)；0，1可由1, 2線性表示，但1線性無1關，排除(C).故正確選項為(D).(5)設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為

11、mn矩陣，現(xiàn)有4個命題: 假設Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)秩(B)； 假設秩(A)秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解； 假設Ax=0與Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)； 假設秩(A)=秩(B)，那么Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的選項是(A).(B)(C).(D)【分析】 此題也可找反例用排除法進行分析,. B 但兩個命題的反例比擬復雜一些,關鍵是抓住與，迅速排除不正確的選項【詳解】 假設Ax=0與Bx=0同解，那么n-秩(A)=n -秩(B),即秩(A)=秩(B)，命題成立,可排除(A),(C);但反過來，假設秩(A)=秩(B)，那么不能推出Ax=0與Bx=

12、0同解，如A0 0B，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題不成立，排除(D),0 1故正確選項為(B).【例】齊次線性方程組 Ax=0與Bx=0同解的充要條件(A)r(A)=r(B).(C) A, B的行向量組等價 有此例題為根底，相信考生能迅速找到答案(6)設隨機變量X t(n)(n 1),Y2(A) Y (n).(B)(B)A,B為相似矩陣.(D)A,B的列向量組等價.C 12，那么X2Y 2(n1).(C) Y F(n,1).(D) Y F(1,n).【分析】先由t分布的定義知XU ，其中U N(0,1),V 2(n)，再將其代入1丫 Q，然后利用F分布的定義

13、即可【詳解】由題設知，X U，其中 U N(0,1),V 2(n)，于是1丫 X2=u2V/1，這里u22(1)，根據(jù)F分布的定義知Y 2 F( n,1).故U 2X2應選(C).三、(此題總分值10分)過坐標原點作曲線 y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形 D.(1) 求D的面積A;(2) 求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.【分析】 先求出切點坐標及切線方程，再用定積分求面積A;旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體(圓錐)體積減去一小立體體積進行計算，為了幫助理解，可畫一草圖【詳解】(1)設切點的橫坐標為x0,那么曲線y=l nx在點(x0,l nx0)處的切線方程是由該切

14、線過原點知In平面圖形D的面積1(ey0(2)切線In XoXoey)dy1(x Xo). Xo0，從而Xoe.所以該切線的方程為1-X與X軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線 x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積e1 2e .3曲線y=lnx與x軸及直線1V2o因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為x=e所圍成的圖形繞直線 x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為(eey)2dy，V V12 12e3).四、(此題總分值12分)丄的和.o2n 11 2x將函數(shù)f(x) ar如飛展開成X的冪級數(shù)，并求級數(shù)【分析】 幕級數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當?shù)暮愕茸?形、求導或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用幕級數(shù)展開的情形。此題可

15、先求導，再利用函數(shù) -1 X1的幕級數(shù)展開1 x1 Xx2即可，然后取X為某特殊值，得所求級數(shù)的【詳解】因為f (x)1 4X2n n 2n(1) 4 x ,xo(舄又f(0)=4,所以f(x) f(0)0f(t)dt 匸：(1)n4nt2ndtn 0因為級數(shù)再由n 0 2nn n(1) 4 x2n 1 x0 2n 1(1)n-收斂,1f(x)，得if2 0，(1)nn 0 2n 1五、此題總分值平面區(qū)域Dsin y(1) ;xedysin y -(2)Lxedy,x函數(shù)fx在x1處連續(xù)，所以2n0 2n 1UN0 2nf(2)10 分)(x, y) 0yeyesin x Idxsin x -

16、dx(1)nn 0 2n 1,0 , L為D的正向邊界試證:xeLsin y idysin x Iye dx；【分析】 此題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉 正向曲線，自然可想到用格林公式；【詳解】方法一：2的證明應注意用1的結(jié)果(1)左邊=0sin ye dy0sin x ie dx0sin x(esin ex)dx，e dy0sin x .e dx右邊=0,sin xsin x 、.0(ee)dx，：xesinydyye sinxdx- xe sin y L由于esinxsin x e2，故由1所以得dy yesin xdx.sin y |sin x;xe d

17、y ye方法二：(1)根據(jù)格林公式，得dx(esin xsin x2e )dx 2sin y .xe dy yesin x idxLxesin ysinx dy ye dx(esinyD(esinyDsin x、)dxdy,sin xe)dxdy.因為D具有輪換對稱性，所以(esin yDe sinx)dxdy= (eDsin ysin x、e )dxdy,sin y -故；xe dyyesin x -dxsin yLxedysin x -ye dx.(2)由知sin y -Lxedyyesin xdx(esinyDsin ye dxdysin x、)dxdysin xdxdysin x Ie

18、 dxdysin xdxdy (利用輪換對稱性)sin x(eDe sinx)dxdy2dxdy 2 2D六、(此題總分值10分)某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k>0 ) 汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下a m.根據(jù)設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0<r<1).問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深？(2) 假設擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？(注：m表示長度單位米.)【分析】 此題屬變力做功問題，可用定積分

19、進行計算，而擊打次數(shù)不限，相當于求數(shù) 列的極限【詳解】(1)設第n次擊打后，樁被打進地下xn ,第n次擊打時，汽錘所作的功為Wn(n 1,2,3,).由題設，當樁被打進地下的深度為x時，土層對樁的阻力的大小為kx，所以wW2x1kxdx0kxdxx1k 22x1k2k 2a ，2|(x|xf)£(x；a2).由W2 rW1可得x| a2 ra22X2(1 r)a2.W3x3k 2kxdx(xfX22X；)2xf (1 r)a2.由W32rW2 r W1可得2x3(1 r)a2r2a2從而x3.1 r r 2a，即汽錘擊打3次后，可將樁打進地下 、1 r r2am(2)由歸納法，設xn

20、rn1a，那么由于Wn從而Wn 1Xn 1kxdxXn= kx2=2Xn 12(x：1 xj)(1n 1、2pr )a .1 rWn r2Wnr nWi，故得2Xn 1(1 rrn 1 )aXn 1n 1ra.rlim xn 1n/ra，即假設擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下m.七、(此題總分值12分)設函數(shù)y=y(x)在()內(nèi)具有二階導數(shù)，且0, x x(y)是y=y(x)的反函數(shù).d2x(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程2 (ydydxsin x)()30變換為y=y(x)滿足的微dy分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)0, y (0)3 的解.dydxd2xd .

21、dx.()= dy dy日丄)dx ydy2一 y 1 " 2y yy(y)3然后再代入原方程化簡即可.【分析】 將dx轉(zhuǎn)化為 巴 比擬簡單,【詳解】1由反函數(shù)的求導公式知dx11巴=丄，關鍵是應注意:dy dyydxdxdyd2xd ,dx、d“ 1、dx()=()dy2dy dydxydy代入原微分方程得y ysin x.2方程* 所對應的齊次方程 ydX丄，于是有dy yy 丄y23 .yy(y)(* )0的通解為YC1exC2e x.設方程* 的特解為y AcosxBsin x，代入方程* ，求得A0,B1 . sin x，2從而yy sin x的通解是GexC2e x1 .

22、 sin x.2由 y(0)0, y (0)-，得 C1 髭 C21 .2x 1.sin x.2故所求初值問題的解為八、此題總分值12分 設函數(shù)fx連續(xù)且恒大于零,其中f (x2y2Z2)dvF(t) Qf(xD(t)d，G(t)(t) ( x, y, z)t2，D(t)2 2f(x y )dD(t)t 21f(x2)dx(x, y) x2y2討論F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性 證明當t>0時，F(xiàn)(t) -G(t).【分析】(1)先分別在球面坐標下計算分子的三重積分和在極坐標下計算分母的重積 分，再根據(jù)導函數(shù) F (t)的符號確定單調(diào)性；(2)將待證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃魏?，構造輔助

23、函數(shù)，再用單調(diào)性進行證明即可 【詳解】因為F(t)t 2 2o f (r )r sin drt 2 22 o f(r )r dr2f (r )rdr2f (r )rdrF (t)2 t 2tf(t2)0 f(r2)r(t r)dr2 0 -一0 f(r2)rdr2所以在(0,)上 F (t)0,故 F(t)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加(2)因G(t)f(r2 )rdr2f(r )dr2 2要證明t>0時F(t) G(t)，只需證明t>0時，F(xiàn)(t) G(t) 0，即1 2 2 1 2 20 f (r )r dr 0 f(r )dr 0 f (r )rdr 0.t22 t 2t 22令g(t

24、)0 f(r )r dr。f (r )dr °f(r )rdr ，那么g (t)f (t2) f(r2)(t r)2dr 0，故 g(t )在(0,)內(nèi)單調(diào)增加0因為g(t)在t=0處連續(xù)，所以當t>0時，有g(t)>g(0).又 g(0)=0,故當 t>0 時，g(t)>0,2因此，當 t>0 時，F(xiàn)(t) G(t).九、(此題總分值10分)322010設矩陣A232，P101 *1 ， B PAP，求B+2E的特征值與特征223001向量，其中A*為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣【分析】 可先求出A*' ,P 1，進而確定B P 1A* P及

25、B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值與特征向量， 再相應地確定A*的特征值與特征向量,最終根據(jù) B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量 【詳解】方法一:經(jīng)計算可得52 20 1 1A*252，P11 0 0 ，22 50 0 170 0B P1 *1AP=254223從而900B 2E274225900E (B 2E)2742(9) (3)，225故B+2E的特征值為129, 33.當i 29時，解9E Ax 0,得線性無關的特征向量為1 21 1 ' 2 0 '0 1所以屬于特征值129的所有特征向量為12k1 1 k2 2k1 1k20

26、，其中k1,k2是不全為零的任意常數(shù)01當33時，解(3E A)x0，得線性無關的特征向量為031，1322由于EA232(1)2(7)，2 23故A的特征值為121，37.11當 當121時對應的線性無關特征向量可.取為11，20011當二 37時寸，對應的一個特征向量為31 .10 11110由P11 00，得 P 1 11，P 1 21，P 1 31 .0 01011所以屬于特征值3 3的所有特征向量為k3 3 k3 11，其中k30為任意常數(shù).方法二：設A的特征值為 ，對應特征向量為 ，.由于A70，所0.又因A* AAE ,故有 A*于是有B(PP 1A* P(P 1 )(P 1因此

27、，(B2E)PA 2)P12為B+2E的特征值，對應的特征向量為因此，B+2E的三個特征值分別為 9，9，3. 對應于特征值9的全部特征向量為1 1k1P 11k2P2 k11k21 ，其中kk2是不全為零的任意常數(shù);對應于特征值3的全部特征向量為十、(此題總分值8分)平面上三條不同直線的方程分別為1 :ax2by3c0，2: bx2cy3a0，3 ：cx2ay3b0.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為a b c 0.【分析】 三條直線相交于一點，相當于對應線性方程組有唯一解，進而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩 陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】方法一：必要性設三條直線I1.l2.l3交于一點，那么線性方程組

28、ax2by3c,bx2cy3a,(*)cx2ay3b,a2ba2b3c有唯一解，故系數(shù)矩陣A b2c與增廣矩陣Ab2c3a的秩均為 2，于是c2ac2a3bA0.ksPk3 1 ，其中k3是不為零的任意常數(shù)a2b3c由于Ab2 c2 ab ac bcb2c3a6(a bc)a2c2a3b3(a b c)( a b)2(b c)2 (c a)2,但根據(jù)題設(a b)2 (b c)2 (c a)20，故a b c 0.充分性：由a b c 0，那么從必要性的證明可知，|A 0，故秩(A) 3.由于a 2b b 2c2(ac b2)2a(a b) b22(a -b)2-b20，24故秩(A)=2.于是,秩(A)=秩(A)=2.因此方程組(*)有唯一解，即三直線l1,l2,l3交于一點.方法二：必要性設三直線交于一點Xoy0為Ax=0的非零解，其中1a2b3cAb2c3ac2a3b(Xo,yo)，那么0.2b3c2c3a2a3bc)(a6(acab2 2b c)a bc2 ab acbc但根據(jù)題設(a b)2 (bc)2(c a)20，故a b c 0.充分性:考慮線性方程組ax2by3c,bx2cy3a,(*)cx2