《因式分解---待定系數(shù)法、換元法、添項拆項法》知識點歸納

1、因式分解-待定系數(shù)法、換元法、添項拆項法知識點歸納知識體系梳理 添項拆項法有的多項式由于“缺項”，或“并項”因此不能直接分解。通過進行適當?shù)奶眄椈虿痦椇罄梅纸M而分解的方法稱為添項、拆項法。一般來說，添項拆項后要能運用提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法分解。如果添項拆項后，不能運用四種基本方法分解，添項拆項也是無用的。 待定系數(shù)法有些多項式不能直接分解因式，我們可以先假設它已分解成幾個含有待定系數(shù)因式的乘積形式。然后再把積乘出來。用等號兩邊同次項次系數(shù)相等的方法把這些待定系數(shù)求出來，進而得出因式分解結果，這種分解因式的方法叫做待定系數(shù)法分解因式。 換元法所謂換元，即對結構比較復雜的代數(shù)

2、式，把其中某些部分看成一個整體，用新的字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化、明朗化，象這種利用換元來解決復雜問題的方法，就叫 。換元法在減少代數(shù)式的項數(shù)、降低多項式結構復雜程度等方面都有著獨到的作用。（1）、使用換元法時，一定要有 意識，即把某些相同或相似的部分看成一個 。（2）、換元法的種類有：單個換元、多個換元、局部換元、整體換元、特殊值換元和幾何換元。（3）、利用換元法解決問題時，最后要讓原有的數(shù)或式“回歸”。典型例題、方法導航 方法一：添項拆項法【例1】分解因式：分析：此多項式是三次三項式，缺項不能直接分解。可考慮添項拆項法分解。從它的最高次項看是三次，因此我們可以猜想它最多可分

3、解成三個一次二項式的積，即 ，再看常數(shù)項 可分解成±1、±2，因此我們可猜想分解的結果可能是 或 或 ,但 的中間項是 ,因此 是不可能的，因此只可能是前面兩種的其中一種。下面請看：解：其結果是我們猜想中的第一種。此題還有其他分解方法嗎？在注意到分解結果中有 和 的因式，因此還有其他更多的分解方法。方法二：方法三：方法四：方法五：方法六： （余下過程同學自己完成）方法點金：拆項、添項法分解因式的關鍵是通過拆項、添項達到分組或運用公式的目的，一般可考慮添多項式中所缺的項，或考慮常數(shù)項可分解的因數(shù)有關的因式。 變式議練一：分解下列各式的因式（1） （2） （3） 方法二：待定系

4、數(shù)法【例2】分解因式：解：設：展開后左右兩邊比較系數(shù)求出 、 即可。分解結果：【例3】已知多項式 能被 整除，請分解前者的因式。分析：設 ，利用多項式的恒等求出 、 即可。 變式議練二：1、已知 是 的一個因式，則 ；2、用待定系數(shù)法分解因式：【例4】在實數(shù)范圍內分解因式（1） （2） （3） 變式議練三：求 的算術平方根。 方法三：換元法 直接換元法【例5】用換元法分解因式：方法點金：設 ，注意：換元法分解因式最后要回歸。 變式議練四1、用換元法分解因式：2、用換元法分解因式：方法點金：當兩括號中的二次項，一次項的系數(shù)對應成比例可考慮用換元法分解因式?！纠?】分解因式：分析：兩括號中二次項、一次項系數(shù)的比為 ，可以換元。 組合換元法【例7】分解因式：分析：觀察第一、四括號內的常數(shù)項和第二、三括號內的常數(shù)的和為 ，因此也可用組合換元法分解因式。 變式議練五證明四個連續(xù)正整數(shù)的積與1的和是一個完全平方。 能力與創(chuàng)新把下列各式分解因式：、 、 快樂體驗1、若多項式 和多項式 有公因式，則 ；2、若 能被 整除，則 ；3、分解因式：（1） （2）4、已知多項式 有一個因式是 ，把這個多項式分解因式。5、甲、乙兩同學分解多項式 時，甲看錯了 ,分解結果為 ,乙看錯了 ,分