正弦定理和余弦定理地應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二節(jié)應(yīng)用舉例題型一 測(cè)量距離問(wèn)題ABC【母題 】如圖所示，設(shè)、兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)，測(cè)出的距離是m,.求、兩點(diǎn)間的距離（精確到m）.分析 所求的邊的對(duì)角是已知的，又已知三角形的一邊，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出的對(duì)角，根據(jù)正弦定理，可以計(jì)算出邊.解答 根據(jù)正弦定理，得(m)點(diǎn)撥 本題是測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，用正弦定理就可解決。解題錦囊 本題型的解題關(guān)鍵在于明確：（1）測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，再運(yùn)用正弦定

2、理解決。（2）測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題。衍生題衍生1 如圖所示，客輪以速度由至再到勻速航行，貨輪從的中點(diǎn)出發(fā)，以速度沿直線勻速航行，將貨物送達(dá)客輪，已知，且海里。若兩船同時(shí)啟航出發(fā)，則兩船相遇之處距點(diǎn) 海里。（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）ABCDABCDE解析 兩船相遇點(diǎn)在上，可設(shè)為，設(shè)，則故 得 ，答案 點(diǎn)撥 本題考查了測(cè)量距離問(wèn)題。衍生2如圖所示，兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間距離的方法。ABCDAAA分析 可以先計(jì)算出河

3、的這一岸的一點(diǎn)到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出的大小，借助余弦定理可以計(jì)算出兩點(diǎn)間距離。解答 法一：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)、，測(cè)得并且在、兩點(diǎn)分別測(cè)得在和中，應(yīng)用正弦定理得計(jì)算出和后，再在中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出兩點(diǎn)間的距離。 法二：本題也可以在河的這一岸選定、，測(cè)出取 中點(diǎn),因此要求,構(gòu)造,需要求出、及所以要測(cè)出再分別在、中用余弦定理就可求出、求解過(guò)程如下：在中，在中，在中， 點(diǎn)撥 求解三角形中的基本元素，應(yīng)由確定三角形的條件個(gè)數(shù)，選擇合適的三角形求解，如本題法一選擇的是和.衍生3 如圖，隔河看兩目標(biāo)、，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距千米的兩點(diǎn)，并測(cè)得ABBCD (、在同一平面內(nèi))求兩目標(biāo)、之間的距離

4、。分析 要求出、之間的距離,可在(或中去找關(guān)系,但不管在哪個(gè)三角形中,、這些量都是未知的,需要在三角形中找出合適的關(guān)系,求出它們的值,剩下的只需解三角形了。解答 在中，在中，由正弦定理，可得 由余弦定理，可得（千米），即兩目標(biāo)、之間的距離為千米。點(diǎn)撥 若首先解求出,再求,最后解,則其計(jì)算量就比上述解法要大，因此當(dāng)問(wèn)題有多種解決途徑時(shí)，我們應(yīng)該用價(jià)值的觀念來(lái)審視每種解法，從而探索到最優(yōu)解法。在中，若已知兩角及任一邊，一般用正弦定理求解，但要注意實(shí)際問(wèn)題是否為一些特殊三角形，如正三角形、直角三角形、等腰三角形等.題型二 測(cè)量高度問(wèn)題【母題 】如果要測(cè)量某鐵塔的高度，但不能到達(dá)鐵塔的底部，在只能使用

5、簡(jiǎn)單的測(cè)量工具的前提下，你能設(shè)計(jì)出哪些測(cè)量方法？并提供每種方法的計(jì)算公式。分析 要測(cè)量鐵塔的高度，只能在鐵塔底部所在的平面上選取兩點(diǎn)，量出兩點(diǎn)間的距離，再測(cè)量有關(guān)角，從而構(gòu)造三角形求解。解答 測(cè)量方法1、如右圖所示，BAOAAP在地面上引一條基線,這條基線和塔底在同一水平面上，且不過(guò)點(diǎn)，測(cè)出的長(zhǎng)，及對(duì)塔頂?shù)难鼋?，則可求出鐵塔的高。在中， 在中，在中，由余弦定理得，測(cè)量方法2、AOBP在地面上引一條基線,這條基線和塔底在同一水平面上，并使三點(diǎn)在一條直線上，測(cè)出的長(zhǎng)和對(duì)塔頂?shù)难鼋?，則可求出鐵塔的高。計(jì)算方法如下：如右圖所示， 在中，由正弦定理得，在中，測(cè)量方法3、APOBAPOB在地面上引一條基線

6、,這條基線和塔底在同一水平面上，且延長(zhǎng)后不過(guò)塔底，測(cè)出的長(zhǎng)，用經(jīng)緯儀測(cè)出角和對(duì)塔頂?shù)难鼋堑拇笮?，則可求出鐵塔的高。計(jì)算方法如下：如右圖所示，在中，由正弦定理得 在中，點(diǎn)撥 本題是個(gè)開(kāi)放性的題目，靈活構(gòu)造三角形解題是一大特點(diǎn)。解題錦囊 本題型的解題思路：（1）測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。（2）對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問(wèn)題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定

7、理或余弦定理求解即可。衍生題衍生1 如圖，是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m,在點(diǎn)測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，,又在點(diǎn)測(cè)得，其中是點(diǎn)在水平面上的垂足，則山高 為 .（精確到1m）ABCD2501100400解析 在中，,由正弦定理，得（m）在中,(m)山高約為480（m）.答案 480點(diǎn)撥 測(cè)量高度問(wèn)題常利用解一個(gè)直角三角形和一個(gè)斜三角形來(lái)解決，解斜三角形一般用正弦定理。衍生2 某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進(jìn)m后，望見(jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為，求塔高。ABFDCE分析 依題意畫(huà)圖，某人在處，為塔高，他沿前進(jìn)，米，此時(shí)，從到沿途測(cè)塔的仰角，只有到測(cè)試點(diǎn)的距離最短時(shí)，仰角才最大，這是因?yàn)椋?/p>

8、為定值，最小時(shí)，仰角最大。要求出塔高必須先求，而要求BE須先求或（）.解答 在中，由正弦定理，得在中，在中， （米）.故所求的塔高為米.點(diǎn)撥 在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念。仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角。當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角。衍生3 在某一山頂觀測(cè)山下兩村莊、，測(cè)得的俯角為，的俯角為，觀測(cè)、兩村莊的視角為，已知、在同一海平面上且相距1000米，求山的高度.(精確到1米)分析 畫(huà)出立體圖形的直觀圖，由余弦定理列出方程，解方程可求得山高.解答 設(shè)山頂為，山高 ，由題意，得 ABCD在中， ，在中， 在中，由余弦定理知故山高約為64

9、3米.點(diǎn)撥 把問(wèn)題抽象概括為在空間解三角形問(wèn)題，畫(huà)出直觀圖是解題的關(guān)鍵，設(shè)出未知量可把已知量轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，由正、余弦定理列出方程可解決問(wèn)題.ABCDE2衍生4 如圖，在某點(diǎn)處測(cè)得建筑物的頂端的仰角為，沿方向前進(jìn)m，至點(diǎn)處測(cè)得頂端的仰角為，再繼續(xù)前進(jìn)m至點(diǎn)，測(cè)得頂端的仰角為，求的大小和建筑物的高。分析 本題可以從不同角度去分析，如正弦定理、方程思想、二倍角公式等，將會(huì)得到不同的解題方法，從而使思維更開(kāi)闊，也能從中最佳的解題方法，本題用正弦定理解決更簡(jiǎn)單適用。解答 解法一：（用正弦定理求解）：由已知可得在和中，m, m,得在中（m）.答： 所求角為建筑物高度為m.解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）：

10、設(shè)在中，在中，解得在中，答： 所求角為建筑物高度為m.解法三：（用倍角公式求解）：設(shè)建筑物高為由題意，得m,m.在中， 在中， ，得 (m).答： 所求角為建筑物高度為m.點(diǎn)撥 這是一道測(cè)量高度的問(wèn)題，在實(shí)際生活中是常見(jiàn)問(wèn)題，平時(shí)注意觀察和思考解決辦法，知識(shí)才能累積起來(lái)。題型三 測(cè)量角度問(wèn)題【母題 】一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東的方向航行n mile后到達(dá)海島，然后從出發(fā)，沿北偏東的方向航行n mile后到達(dá)海島，如果下次航行直接從出發(fā)到達(dá)，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行的距離是多少？（角度精確到，距離精確到nmile）分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，選準(zhǔn)三角形，利用正、余弦定理求解。東G西北南AB解

11、答 在中，根據(jù)余弦定理，根據(jù)正弦定理，所以,.答 ：此船應(yīng)該沿的方向航行，需要航行的距離是n mile.點(diǎn)撥 本題易出現(xiàn)由,得或的錯(cuò)誤結(jié)果。忽視了本題的實(shí)際意義。解題錦囊 解決測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵：首先應(yīng)明確方位角的含義，然后分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫(huà)出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題時(shí)也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)。衍生題衍生1 如圖，平面內(nèi)三個(gè)力，作用于同一個(gè)點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，已知的大小分別為,， 與的夾角為，求的大小及與的夾角。分析 根據(jù)物理知識(shí)并結(jié)合向量加法的三角形法則及解三角形的知識(shí)求解。CAOBD

12、F解答 設(shè)三個(gè)力作用于點(diǎn),與 的合力為 ，由共點(diǎn)力平衡，得 ,令在， 即又由正弦定理，得的大小為 與的夾角為點(diǎn)撥 用正弦定理、余弦定理及向量等知識(shí)可以解決物理中的矢量合成與分解等問(wèn)題，這說(shuō)明數(shù)學(xué)是物理及其他自然科學(xué)的輔助工具，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要加強(qiáng)學(xué)科間的聯(lián)系，學(xué)以致用。衍生2 一海輪以海里每時(shí)的速度向正東航行，它在點(diǎn)測(cè)得燈塔在船北偏東，小時(shí)后到達(dá)地， 測(cè)得燈塔在船的北偏東，求（1）船在點(diǎn)時(shí)與燈塔的距離；(2)已知以點(diǎn)為圓心，海里為半徑的圓形水域內(nèi)有暗礁，那么這船繼續(xù)向正東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？ABDP分析 根據(jù)題意，作出相應(yīng)圖形，問(wèn)題歸結(jié)為已知兩角和一角對(duì)邊的問(wèn)題，故可考慮正弦定理求解。解答（1

13、）如圖，在中，依題意，,.（海里）由正弦定理得，解得（2）過(guò)作，為垂足，在中，故船在點(diǎn)時(shí)與燈塔相距海里，繼續(xù)向正東航行有觸礁的危險(xiǎn)。點(diǎn)撥 測(cè)量角度問(wèn)題的情境屬于“根據(jù)需要，對(duì)某些物體定位”，測(cè)量數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確，定位精度越高.盡可能利用直角三角形.衍生3 外國(guó)船只除特許者外，不得進(jìn)入離我海岸線海里以內(nèi)的區(qū)域，設(shè)和是我們的兩個(gè)觀測(cè)站，與之間的距離為海里，海岸線是經(jīng)過(guò)、的直線。一外國(guó)船只在點(diǎn)處，測(cè)得，問(wèn)：滿足什么簡(jiǎn)單的三角函數(shù)不等式時(shí)，就應(yīng)當(dāng)向未經(jīng)過(guò)特許的外國(guó)船只發(fā)出警告？分析 本題實(shí)質(zhì)是找出滿足的三角函數(shù)式表示，再由題意列出與的不等式即可。ABDP解答 法一 如圖所示，作，垂足為，在中，,.由正弦定理

14、得由面積關(guān)系得 ,由,知當(dāng)滿足時(shí)，就應(yīng)向此未經(jīng)特許的外國(guó)船只發(fā)出警告。法二 在中，在中，.故當(dāng)，即時(shí)，就應(yīng)發(fā)出警告.點(diǎn)撥 本題最后得到的結(jié)果是一個(gè)不等關(guān)系，但在得到這一不等式的過(guò)程中，首先要考慮如何建立以為自變量，以為因變量的函數(shù)關(guān)系式.題型四 探求三角形的面積 【母題 】一在中，已知，求的面積。分析 在解三角形時(shí)，有些較復(fù)雜的問(wèn)題常常需要將三角形的有關(guān)知識(shí)與正弦定理、余弦定理結(jié)合使用，本題中根據(jù)條件利用兩定理求出邊和角。解答 方法一： 設(shè)三邊、的長(zhǎng)分別為、，由得,.又.由正弦定理得,又由,所求三角形的面積為.方法二 : 同方法一可得.又由余弦定理,得,得由已知得,.由得,而（舍去），故.故所

15、求面積.點(diǎn)撥 本題主要考察正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察三角公式恒等變形的技能和運(yùn)算能力。解題錦囊 求三角形面積是解三角形過(guò)程中的一種常見(jiàn)的重要題型， 本題型常用的解題方法主要有：（1）；（2）另外還有用向量表示的公式：|，其中向量（，），（，）分別是三角形兩邊所表示向量的坐標(biāo)。由于三角形的面積公式有多種形式，在解題的過(guò)程中應(yīng)根據(jù)題目所給條件選擇恰當(dāng)?shù)拿娣e公式，這要求對(duì)每一個(gè)公式的使用條件非常熟悉，并會(huì)變形應(yīng)用公式。衍生題衍生1 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為、，求的面積.分析 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)已知，用向量面積公式解此題較簡(jiǎn)捷。解答 、，由|，可得.點(diǎn)撥 簡(jiǎn)潔明了是新教材引入向

16、量之后由繁變簡(jiǎn)的一個(gè)典范，在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意應(yīng)用。衍生2 已知圓內(nèi)接四邊形的邊長(zhǎng)分別是，求四邊形的面積.分析 先將所求面積轉(zhuǎn)化為用某個(gè)角的三角函數(shù)表示，再利用對(duì)角互補(bǔ)及余弦定理求出該角即可.解答 如圖，連結(jié)，則四邊形的面積ABCD2464,.在中,由余弦定理得,在中, 由余弦定理得,.又,.點(diǎn)撥 在有公共邊的兩個(gè)三角形中分別應(yīng)用余弦定理，也是解三角形常用到的方法，同時(shí)要注意“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”這一條件.衍生3 在中，角、對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是、，已知.(1)若的面積等于，求,;（2）若，求的面積.分析 由三角形面積公式和余弦定理得關(guān)于、的方程組求解（1）；將變形，左邊可變?yōu)?，再展開(kāi)整理，右邊用二

17、倍角 公式來(lái)求解（2）.解答 （1）由余弦定理，得又的面積等于，,得.聯(lián)立方程組 ，解得（2）,由已知得即當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組，解得的面積點(diǎn)撥 本題（1）主要用了邊關(guān)系待定系數(shù)法；（2）用到了角關(guān)系的待定系數(shù)和邊關(guān)系待定系數(shù)法，注意兩個(gè)小題條件獨(dú)立，解（2）時(shí)不能用（1）的結(jié)論。衍生4 已知、是中的對(duì)邊，是的面積.若，則= 解析 法一 而,于是或又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的長(zhǎng)度為或法二 或或答案 或點(diǎn)撥 可利用及，其中兩種面積公式求解.衍生5 在中，角、的對(duì)邊分別為、，的外接圓半徑，且滿足.(1) 求角和邊的大?。唬?）求的面積的最大值.分析 根據(jù)三角函數(shù)式即可求（1），利用面積

18、公式和基本不等式求（2）解答（1）有已知，整理得,即 ,.又,.,. （2）由余弦定理，得,即 ，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.的面積的最大值為.點(diǎn)撥 在求面積最值時(shí)利用了基本不等式，注意基本不等式的使用條件。題型五 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【母題 】某觀測(cè)站在城的南偏西的方向，由城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東，在處測(cè)得公路上處有一人，距為千米，正沿公路向城走去，走了千米后到達(dá)處，此時(shí)間的距離為千米，問(wèn)：這人還要走多少千米才能到達(dá)城？分析 本題為解斜三角形的應(yīng)用問(wèn)題，要求這人走多少路可到達(dá)城，也就是要求的長(zhǎng).在中,已知千米,只需再求出一個(gè)量即可.解答 如圖，令在中,ABCD北東

19、213120A由余弦定理得,.而,在中 , ,（千米 ）.這個(gè)人再走千米就可到達(dá)城.點(diǎn)撥 正確畫(huà)出圖形，綜合運(yùn)用正弦定理與余弦定理解題.解題錦囊 本題型的一般解題思路：（1）讀懂題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，并根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖；（2）明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型；（3）選擇正、余弦定理求數(shù)學(xué)模型的解；（4）將數(shù)學(xué)模型的解還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似計(jì)算要求.衍生題衍生1 臺(tái)風(fēng)中心從地以每小時(shí)km的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市在正東km處，求城市從進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)到脫離危險(xiǎn)區(qū)持續(xù)的時(shí)間.分析 分別求出進(jìn)入、脫離危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間，相減后即得所求，也可求出臺(tái)風(fēng)中心距離城市小于或等于千米的路徑的長(zhǎng)度，再除以臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)速度.解答 方法一 設(shè)h后，臺(tái)風(fēng)中心距離城市km，則,即，解得或，即臺(tái)風(fēng)影響城市的持續(xù)時(shí)間為h.方法二 如圖所示，過(guò)作于 則,又,.故臺(tái)風(fēng)影響城市的持續(xù)時(shí)間為h.點(diǎn)撥 解決本題的關(guān)鍵是抓住“離臺(tái)風(fēng)中心km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)”這一條件.衍生2 如圖，某住宅小區(qū)的平面呈扇形，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)及點(diǎn)處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為.已知某人從沿走到用了10分