第六章非線性方程數(shù)值解(2014-06)

1、江西理工大學(xué)江西理工大學(xué)第六章第六章 非線性方程與非線性方程組解法非線性方程與非線性方程組解法:,.,次代數(shù)方程求例如程組的問題方程或非線性方常常會(huì)遇到求解非線性在許多實(shí)際問題中n.00111的根axaxaxannnn.0)2sin(的的根根或或求求超超越越方方程程xex.)(,0)(的零點(diǎn)或稱為求函數(shù)的根這些都可以表示求方程xfxf.10)(, 0)(, 0)()()(.0)(, 0)(, 0)(.,)1()(重根的稱為方程則但如果有的單根稱為方程則但有如果對(duì)于也可以是復(fù)數(shù)方程的根可以是實(shí)數(shù)kxfaafafafafxfaafafamkk7.1 7.1 二分法二分法.),(.0)(),(, 0

2、)()(,)(,稱為方程的有根區(qū)間區(qū)間實(shí)根至少有一個(gè)內(nèi)則在若滿足條件即設(shè)性質(zhì)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的二分法的主要數(shù)學(xué)原理baxfbabfafbacxf:0)(歸結(jié)如下的一個(gè)實(shí)根的算法可以二分法求xf).(),(),(0)() 1 (bfafbaxf并計(jì)算出端點(diǎn)的函數(shù)值的根的存在區(qū)間找出).2()()2(bafxf在區(qū)間中點(diǎn)的值計(jì)算)2(.),(,2,)()2(,2, 0)2()3(*bafbabbaafbafbaxbaf若內(nèi)考慮方程的根仍在區(qū)間代替則以異號(hào)與若為所求的根則停止計(jì)算若.),(,2,)(內(nèi)考慮方程的根仍在區(qū)間代替則以異號(hào)與baababf.,2.,),3(),2()4(1二分區(qū)間的次數(shù)為

3、其中且其誤差小于的根區(qū)間中點(diǎn)即可作為方程此時(shí)差范圍內(nèi)直到區(qū)間縮小到允許誤重復(fù)步驟nabn.)(|,0停止計(jì)算即可事先給定的精度要求通常用在實(shí)際計(jì)算中 xx.,:且總收斂算法簡單二分法的優(yōu)點(diǎn).:收斂速度較慢求重根只能用于求實(shí)根且不能二分法的缺點(diǎn). 1 . 6,.2, 1 , 05)2(, 01) 1 (, 1)(:.05. 02,2, 1 011 . 62323結(jié)果如表結(jié)果如表用二分法計(jì)算用二分法計(jì)算內(nèi)有一實(shí)根內(nèi)有一實(shí)根方程在方程在顯然顯然設(shè)設(shè)解解差不超過差不超過要求誤要求誤內(nèi)的一個(gè)實(shí)根內(nèi)的一個(gè)實(shí)根在區(qū)間在區(qū)間求方程求方程例例ffxxxfabxxnnnanbnxnf(xn)的符號(hào)1121.5+2

4、11.51.25-31.251.51.375-41.3751.51.4375-51.43751.51.46881 . 6表表.4688. 1,05. 02/ )( ,*xabnn停止迭代最后一行中6.2 6.2 簡單迭代法簡單迭代法寫成下面的等價(jià)形式若將給定的非線性方程0)(xf6.2.1 6.2.1 簡單迭代法的一般形式簡單迭代法的一般形式.,),(),(,:10作為方程的近似解利用其中的某一項(xiàng)得到一個(gè)迭代序列利用迭代公式代函數(shù)構(gòu)造迭選取合適的初始值是簡單迭代法的一般形式nnnnxxxxxx) 1 . 6()(xx.0)(,)(迭代法近似解的算法則可得到另一種求方程為連續(xù)函數(shù)要求xfx:要思

5、考這里有以下幾個(gè)問題需?) 1 (0 x如何選取合適的初始值),(,)2(x同的迭代函數(shù)一般可以構(gòu)造出幾個(gè)不對(duì)同一個(gè)方程.得到不同的迭代序列01)(3xxxf在求方程例如:,5 . 1*0數(shù)就可以得到兩個(gè)迭代函時(shí)附近的根在xx 3233131)(11)(1xxxxxxxx和和. 2 . 6?,迭迭代代結(jié)結(jié)果果見見表表否否都都令令人人滿滿意意呢呢得得到到的的兩兩個(gè)個(gè)迭迭代代序序列列是是那那么么:.這里的令人滿意是指顯然答案是否定的則有即是收斂的若迭代序列是收斂的得到的一個(gè)迭代序列由迭代函數(shù),lim,.)(nnnnxxxxkk01.51.541.00661061.324811.8751.35725

6、1.021081.324724.71681.330961.061110541.32473100.22331.324971.194810541.3247)(11kkxx)(21kkxx)(21kkxx)(11kkxx2 . 6表表)()(limlim1nnnnxx.0)(),(的根是方程也就是說即xfx?)(?)()3(收斂的是列保證由它得到的迭代序就應(yīng)滿足什么條件才能函數(shù)迭代是收斂的得到的迭代序列如何判斷由迭代函數(shù)nnxxxx6.2.2 6.2.2 簡單迭代法的收斂條件簡單迭代法的收斂條件:,)(),(0)(21都有和即對(duì)任意的條件滿足如果改寫成把方程xxlipschitzxxxxf證明證明有

7、因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)p)2 . 6(定理定理6.16.1| )()(|2121xxLxx:, 1),(,21則迭代若數(shù)簡稱李氏常常數(shù)稱為無關(guān)的正常數(shù)和是與其中LLipschitzxxL:,)(1并有誤差估計(jì)且收斂到準(zhǔn)確解收斂nnxx|1|01xxLLxnn|1211nnpnpnpnpnnpnxxxxxxxx| )()(|,01111xxLxxLxxxxkkkkkkkk有對(duì)任意整數(shù)由迭代公式和李氏條件:因此|1|11| ) 1(|0101012101012011xxLLxxLLLxxLLLxxLxxLxxLxxnnpppnnpnpnnpn:,lim, 0lim,1則設(shè)是收斂的收斂準(zhǔn)則可知序列由注意到

8、時(shí)當(dāng)nnnnnxxCauchyLL.0)()()(limlim1的根的根的極限就是方程的極限就是方程所以所以xfxxxnnnnn. |1|,lim|1|0101xxLLxxxxLLxxnnpnpnnpn得及由6.2.3 6.2.3 簡單迭代法的誤差分析和收斂階簡單迭代法的誤差分析和收斂階|1|01xxLLxnn6.2.3.1 6.2.3.1 誤差分析與算法誤差分析與算法 迭代過程是個(gè)極限過程。在用迭代式進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)，迭代過程是個(gè)極限過程。在用迭代式進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)，必須按精度要求控制迭代次數(shù)。誤差估計(jì)式必須按精度要求控制迭代次數(shù)。誤差估計(jì)式:由對(duì)任意正整數(shù)由不便于實(shí)際應(yīng)用而但由于它含有李氏常數(shù)

9、次數(shù)原則上可用于確定迭代pxxLxxLkkkk|,|.,11|11| ) 1(|1121nnnnppnpnxxLxxLLxx|11|,lim1nnnpnpxxLxx知又由.,|,1具有足夠精度即可保證近似值足夠小的偏差只要相鄰兩次計(jì)算結(jié)果由此可見nnnxxx:,計(jì)算步驟可以總結(jié)簡單迭代法的由上面的分析).(),(0)(,) 1 (0 xxxxfx得到迭代函數(shù)形式寫成的等價(jià)將給定的非線性方程選取初始值).()()2(011xxxxnn計(jì)算按迭代公式11,),(|:)3(nnnxxx則則停停止止計(jì)計(jì)算算要要求求的的精精度度如如果果判判別別等比級(jí)數(shù)).3()2(,;1和步驟重復(fù)步驟代替否則用即為所求

10、近似解nnxx.1| )(|,)(,來代替比較方便通常用李氏條件比較困難是否適合驗(yàn)證迭代函數(shù)在實(shí)際計(jì)算時(shí)應(yīng)該指出Lxx.,1:不不能能保保證證迭迭代代過過程程收收斂斂就就若若沒沒有有這這點(diǎn)點(diǎn)保保證證這這一一點(diǎn)點(diǎn)是是非非常常重重要要的的正正常常數(shù)數(shù)注注意意L., 1| )(|, 1| )(|,2, 1 ,3)(, 1)(12131發(fā)散故相應(yīng)的迭代滿足不存在正常數(shù)上在區(qū)間例如前面例題中LxLxxxxx., 1)21(31| )(| ,2, 1 ,) 1(31)(, 1)(32322232故故相相應(yīng)應(yīng)的的迭迭代代過過程程收收斂斂上上在在區(qū)區(qū)間間xxxxx6.2.3.2 局部收斂性與收斂階局部收斂性與

11、收斂階 上面給出了迭代序列在區(qū)間上的收斂性，通常稱為全局收上面給出了迭代序列在區(qū)間上的收斂性，通常稱為全局收斂性。因?yàn)橛袝r(shí)不易檢驗(yàn)定理斂性。因?yàn)橛袝r(shí)不易檢驗(yàn)定理1 1的條件，實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常只在的條件，實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常只在方程解的鄰近考察其收斂性，即局部收斂性。方程解的鄰近考察其收斂性，即局部收斂性。定義定義6.1.,|:|,*0*則則稱稱迭迭代代法法局局部部收收斂斂且且收收斂斂到到由由迭迭代代法法產(chǎn)產(chǎn)生生的的序序列列對(duì)對(duì)任任意意的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域如如果果存存在在設(shè)設(shè)方方程程的的解解為為xDxDxxxDxxn定理定理6.2證明證明., 1| )(|,)(,*則迭代法局部收斂且的某個(gè)鄰域連續(xù)在設(shè)方

12、程的解為xxxx|)( | | )(| )()(|)(|,1| )(|.,|:|,*xxxxLDxxxxxxDxLxDxxxDx總有總有又對(duì)于任意又對(duì)于任意有下式成立有下式成立意意使對(duì)于任使對(duì)于任的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域存在存在由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)由微分中值定理.)()(01證證畢畢收收斂斂均均對(duì)對(duì)于于任任意意初初值值代代過過程程由由上上一一定定理理可可以以斷斷定定迭迭所所以以DxxxDxnn.斂斂速速度度問問題題下下面面討討論論迭迭代代序序列列的的收收3032 . 6*2xx的的根根用用不不同同方方法法求求方方程程例例.),(:由由此此構(gòu)構(gòu)造造不不同同的的迭迭代代法法價(jià)價(jià)形形式式方方

13、程程可可改改寫寫成成不不同同的的等等解解xx1132)3()(, 12)(, 3)(3, 3) 1 (*2212xxxxxxxxxxxxkkk1)3()(,3)(,1)(3,3) 2(*21xxxxxxxxxkk. 1134. 0231)3()(,211)() 3(41)(),3(41),3(41) 3(*2212xxxxxxxxxxxxkkk)3(21),3(21)4(1kkkxxxxxx0)3()(),31 (21)(),3(21)(*2xxxxxx.)4)(3( ,)2)(1 ( ,收收斂斂條條件件滿滿足足迭迭代代法法局局部部條條件件不不滿滿足足迭迭代代法法局局部部收收斂斂可可見見3 .

14、 6,4, 20計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果見見表表種種迭迭代代法法對(duì)對(duì)上上述述取取xkxk迭代法(1) 迭代法(2) 迭代法(3) 迭代法(4)0 x022221x131.51.751.752X2921.73481.73213x3871.51.73241.73213 . 6表表 從計(jì)算結(jié)果看出，迭代法從計(jì)算結(jié)果看出，迭代法(1)(1)和迭代法和迭代法(2)(2)不收斂，迭代法不收斂，迭代法(3)(3)和迭代法和迭代法(4)(4)收斂，且迭代法收斂，且迭代法(4)(4)比迭代法比迭代法(3)(3)收斂快。為了衡量迭代法收斂速度的快收斂快。為了衡量迭代法收斂速度的快慢，給出以下定義：慢，給出以下定義：定義定

15、義6.2.2,1,1,)0(lim,)()(1*1時(shí)時(shí)稱稱平平方方收收斂斂時(shí)時(shí)稱稱超超線線收收斂斂時(shí)時(shí)稱稱線線性性收收斂斂階階收收斂斂的的則則稱稱該該迭迭代代過過程程是是常常數(shù)數(shù)滿滿足足差差如如果果迭迭代代誤誤的的根根收收斂斂于于方方程程設(shè)設(shè)迭迭代代過過程程ppppCCeexxexxxxxpkkkkknn)3 . 6(定理定理6.3.0)(, 0)()()(,)(),(*)(*)1(*)(1階階收收斂斂的的鄰鄰近近是是則則迭迭代代過過程程在在點(diǎn)點(diǎn)并并且且鄰鄰近近連連續(xù)續(xù)在在所所求求根根如如果果對(duì)對(duì)于于迭迭代代過過程程pxxxxxxxxxpppnn )4 . 6(證明證明!)(lim,)(!)(

16、)(,)().,(,)(!)()()(,)(.)(, 0)(*)(1*)(*1*11*)(*1*pxeexxpxxxxxxxxxxpxxxxxxxppkkkpkpkkkkkpkpkknn對(duì)迭代誤差有因此得注意到則有利用定理?xiàng)l件處做泰勒展開在根再將具有局部收斂性可以斷定迭代過程由于.)(1證畢階收斂的確實(shí)為這表明迭代過程pxxnn., 0)(.)(,*性收斂則迭代過程只可能是線如果當(dāng)取的選賴于迭代函數(shù)迭代過程得收斂速度依這一定理表明 xx6.3 Newton6.3 Newton迭代法迭代法.)4(, 2, 3, 032)(,6)(, 0)3()(),4(;)3(, 3, 0134. 0231)3

17、()(),3(,*3*平方收斂即迭代法由定理而對(duì)于迭代法線性收斂迭代法定理由對(duì)于迭代法上例中例如 pxxxxx把把f(x)f(x)在在x0 x0點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù): :6.3.1 Newton6.3.1 Newton迭代法的迭代公式迭代法的迭代公式 !)()(!2)()()()()()(0)(0020000nxfxxxfxxxfxxxfxfnn)5 . 6(0)()()(,0)(,000 xfxxxfxf則有的近似方程作為非線性方程取其線性部分)()(,0)(00010 xfxfxxxf則其解為設(shè))()(, 0)(.0)(,)(111211xfxfxxxfxfxxf則得若

18、的近似方程性方程也取其線性部分作非線點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)在再把, 2, 1, 0,)()(1nxfxfxxNewtonnnnn迭代法的一個(gè)迭代序列這樣得到.)5 . 6(迭代法的迭代公式迭代法的迭代公式也稱為也稱為式式Newtonn1234xn1.41171.36931.36881.36884 . 6表表0201023 . 623xxxNewton迭迭代代法法求求下下面面方方程程的的根根用用例例. 4 . 6, 1104320102,1043)(, 020102)(:02231223則計(jì)算結(jié)果見表則計(jì)算結(jié)果見表選取選取式為式為所以迭代公所以迭代公因因解解xxxxxxxxxxxfxxxxfnnn

19、nnnn.,得到了較滿意的結(jié)果進(jìn)行了四次迭代就快的牛頓法的收斂速度是很從計(jì)算結(jié)果看出6.3.2 NewtonNewton迭代法收斂性迭代法收斂性)()()(xfxfxx得兩式相減并除以),()()(0)(21)()()(012*kkkkkkkkkkxfxxxfxfxxfxxxfxfxf 對(duì)于牛頓法對(duì)于牛頓法, ,迭代函數(shù)為迭代函數(shù)為2)()()()(xfxfxfx 由于又又因因?yàn)闉榈牡牡牡泥忇徑林辽偕偈鞘瞧狡椒椒绞帐諗繑颗ＥｎD頓法法在在根根于于是是由由定定理理則則由由上上式式知知即即的的一一個(gè)個(gè)單單根根是是假假定定., 3 . 6, 0)(, 0)(, 0)(,)(*xxxfxfxfx)(

20、2)(2*1kkkkxfxxfxx )6 . 6()(2)()(2)(lim)(lim,*2*1*xfxfxffxxxxxxkkkkkkk 有時(shí)當(dāng).的可見牛頓法是平方收斂.)/()(lim, 04 . 6231333kkkxaxaaax并并求求公公式式的的迭迭代代導(dǎo)導(dǎo)出出求求立立方方根根應(yīng)應(yīng)用用牛牛頓頓法法于于方方程程例例2231233)311 (3)()(),5 . 6(6)(,3)(,)(:kkkkkkkkkxaxxaxxxfxfxxxxfxxfaxxf 得得由由牛牛頓頓迭迭代代公公式式解解.,0)(, 0)()(,)(, 0)(, 0)()(,)(:.,1 . 6,)(,()(,0)()

21、(,1)(2)()(lim)6 . 6(*00013332331xbaxfxfxfbaxxfxfbfafbaxfxxfxxfyxxxfxfxaafafxaaxkkkkkkkkk的的惟惟一一根根在在于于方方程程收收斂斂則則牛牛頓頓迭迭代代法法所所得得序序列列且且初初值值不不變變號(hào)號(hào)上上二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)牛牛頓頓迭迭代代法法收收斂斂定定理理法法因因此此牛牛頓頓法法又又稱稱為為切切線線所所示示如如圖圖點(diǎn)點(diǎn)軸軸的的交交處處切切線線與與上上就就是是曲曲線線從從幾幾何何上上看看的的解解實(shí)實(shí)際際上上是是線線性性化化方方程程牛牛頓頓迭迭代代公公式式中中的的由由式式 ykxxx*x1kx1

22、 . 6圖圖6.3.3 Newton6.3.3 Newton迭代法變形迭代法變形)()()()(:.1001kkkkxfxfxfxfxx代替變動(dòng)的即用不變的平行線法)7 . 6()8 . 6()9 . 6( 牛頓迭代法雖然收斂速度很快，但計(jì)算量比較大，因?yàn)槊看闻ｎD迭代法雖然收斂速度很快，但計(jì)算量比較大，因?yàn)槊看蔚?jì)算函數(shù)值外還要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值。為使計(jì)算簡化，提出簡化迭代除計(jì)算函數(shù)值外還要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值。為使計(jì)算簡化，提出簡化牛頓法牛頓法. .0011)()()()(:)()()(,()(:. 2xxxfxfxxxfxfxfxfxxfykkkkkkkkk或的斜率代替弦曲線上兩點(diǎn)連線改用處的切線斜率上

23、點(diǎn)若將曲線割線法)()()()()()(:001111xfxfxxxfxxxfxfxxxfxxkkkkkkkkkkkk弦割法則得雙點(diǎn)弦割法或單點(diǎn).)3, 2(0525 . 63內(nèi)的根內(nèi)的根在在方程方程用雙點(diǎn)和單點(diǎn)弦割法求用雙點(diǎn)和單點(diǎn)弦割法求例例 xx6543210094551. 2,094510. 2,096559. 2,058823. 2, 2, 3:xxxxxxx按雙點(diǎn)線割法計(jì)算得解151432094551. 2,096559. 2,058823. 2:xxxx按單點(diǎn)弦割法計(jì)算得.,法快雙點(diǎn)弦割法比單點(diǎn)弦割從以上結(jié)果看出.,)(,618. 0,很快收斂速度可能變化不大時(shí)但當(dāng)收斂單點(diǎn)弦割法一

24、般是線性且收斂階數(shù)斂性雙點(diǎn)弦割法具有局部收可以證明xfp.,),(),(,經(jīng)常使用這際計(jì)算時(shí)所以效率較高不需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值函數(shù)值次但迭代一次只需計(jì)算一于牛頓法弦割法收斂階數(shù)雖然低kkxfxf)10. 6()()(:. 31kkkkxfxfxx牛牛頓頓下下山山法法)()(,1kkxfxf應(yīng)滿足探索的過程其選取過程是一個(gè)逐步稱為下山因子.1, 1求得開始用反復(fù)折半的方法可從具體計(jì)算時(shí)通常.,圍為目的的是以擴(kuò)大初值的選取范法的一種修正況下對(duì)牛頓未能給出較好初值的情牛頓下山法適合在事先6.4 解非線性方程組的解非線性方程組的Newton迭代法迭代法0),(0),(21211nnnxxxfxxxf考慮方程

25、組0)(,),(,),(.,2121211xFfffFRxxxxxxxffTnnTnnn上面的方程組就可寫成若用向量記號(hào)的多元函數(shù)均為其中. 0)(0)()()(,0)(.,), 2, 1(), 2, 1(, 2xFxfxFxfxfnixnifnii根方法推廣到方程組求則可將單變量方程看成向量函數(shù)的單變量函數(shù)實(shí)際上只要把前面介紹求根的直接推廣前面介紹的方程是非線性方程組求根問題方程組為非線性方程組非線性函數(shù)時(shí)的中至少有一個(gè)是自變量且當(dāng)0)()(,0)(,), 2, 1)()(,),(0)()()()()()()(2)(1)(kkkkkTknkkkxxxFxFxFxnixfxFxxxxxF則有的

26、近似方程線性方程組并取其線性部分作為非開用多元函數(shù)泰勒展在的分量將向量函數(shù)的一個(gè)近似根若已給出方程)10. 6(其中nnnnnnxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxF)()()()()()()()()()(212211212111則則得得記記解解為為并并求求解解線線性性方方程程組組偏偏微微商商矩矩陣陣的的雅雅可可比比稱稱為為,),10. 6(,)()()1( kxJacobixF, 2, 1, 0)()()(1)()()1(kxFxFxxkkkk)11. 6(迭代法的這就是解非線性方程組NewtonxF0)(.) 1, 1 (0) 13() 1(),(05),(6 . 61

27、212122221211附附近近的的解解用用牛牛頓頓法法求求在在設(shè)設(shè)例例xxxxxfxxxxf1322)(:122122122111xxxxxfxfxfxfxF先計(jì)算出偏微商矩陣解12212122211232162221)(xxxxxxxxxF. 5 . 6,01. 0,.|,25. 225. 1,23)(,111141222281)(, 2, 1, 0)()(,) 1, 1 ()()1()1()0(1)0()(1)()()1()0(計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果見見表表取取比比如如為為容容許許誤誤差差其其中中為為止止直直到到逐逐次次迭迭代代計(jì)計(jì)算算利利用用迭迭代代公公式式開開始始由由kkkkkkTxxxx

28、FxFkxFxFxxxX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)11.2511.00021.000012.252.02782.00012.00005 . 6表表 本章介紹了幾種求解非線性方程和方程組的迭代解法：二本章介紹了幾種求解非線性方程和方程組的迭代解法：二分法，簡單迭代法，牛頓迭代法和弦割法。并討論了迭代收斂分法，簡單迭代法，牛頓迭代法和弦割法。并討論了迭代收斂的條件及收斂的階。的條件及收斂的階。 二分法簡單易行，缺點(diǎn)是收斂速度慢，主要用于確定根二分法簡單易行，缺點(diǎn)是收斂速度慢，主要用于確定根的大致范圍，即根所在的區(qū)間。的大致范圍，即根所在的區(qū)間。 選擇使用某種迭代法，應(yīng)保證迭代收斂，且收

29、斂速度快。選擇使用某種迭代法，應(yīng)保證迭代收斂，且收斂速度快。實(shí)際計(jì)算時(shí)，最好先判斷收斂性，也可先算幾點(diǎn)，觀察是否收實(shí)際計(jì)算時(shí)，最好先判斷收斂性，也可先算幾點(diǎn)，觀察是否收斂及收斂速度。對(duì)于非線性方程和方程組，如果導(dǎo)數(shù)計(jì)算量不斂及收斂速度。對(duì)于非線性方程和方程組，如果導(dǎo)數(shù)計(jì)算量不大，可用牛頓法，如果導(dǎo)數(shù)計(jì)算量大，則用弦割法或簡單迭代大，可用牛頓法，如果導(dǎo)數(shù)計(jì)算量大，則用弦割法或簡單迭代法。法。 求非線性方程數(shù)值解的求非線性方程數(shù)值解的matlabmatlab函數(shù)函數(shù)一、多項(xiàng)式求根函數(shù)一、多項(xiàng)式求根函數(shù)roots(p)roots(p)(1).(1).該函數(shù)不能求非線性方程組的解該函數(shù)不能求非線性方程組的解, ,使用時(shí)將使用時(shí)將多項(xiàng)式方程變?yōu)槎囗?xiàng)式方程變?yōu)閜 pn n(x)=0(x)=0的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式. .(2).(2).參數(shù)參數(shù)p p是由多項(xiàng)式的系數(shù)向量組成是由多項(xiàng)式的系數(shù)向量組成, ,缺少的缺少的冪次系數(shù)用零填補(bǔ)冪次系數(shù)用零填補(bǔ). .(3).(3).輸出多項(xiàng)式的所有實(shí)根與復(fù)根輸出多項(xiàng)式的所有實(shí)根與復(fù)根. .二、求函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)二、求函