隨機過程平穩(wěn)性遍歷性正交性不相關性和獨立性

1、隨機過程1234平穩(wěn)性平穩(wěn)性遍歷性遍歷性正交性、不相關性與獨立性正交性、不相關性與獨立性正正態(tài)隨機過程的主要性質態(tài)隨機過程的主要性質隨機過程的平穩(wěn)性判斷判斷方法方法：平穩(wěn)性：若一個函數(shù) ，當 ，的特性不變，就稱 關于 函數(shù)是平穩(wěn)的。),(tzyxfxxx),(tzyxf),(tzyxfx實際意義實際意義： 具有平穩(wěn)性的隨機信號能夠保持一個規(guī)律的狀態(tài)，具體到信號處理這就便 于我們檢測系統(tǒng)是否混入干擾。平穩(wěn)隨機過程，它的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。方法一： 若X(t)為嚴平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則 與時間t 無關。 方法二：若X(t)為嚴平穩(wěn)，則對于任一時刻t0 ， X(t0)具有相同的統(tǒng)計特性。

2、)(tXEk隨機過程的平穩(wěn)性 平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程分為嚴平穩(wěn)過程（Strictly Stationary）和弱平穩(wěn)過程（weakly Stationary）。 嚴嚴平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 也稱為狹義平穩(wěn)過程，是在固定時間和位置的概率分布與所有時間和位置的概率分布相同的隨機過程，隨機過程的統(tǒng)計特性不隨事件的推移而變化。寬寬平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 數(shù)學期望和方差不隨時間和位置變化的隨機過程，即弱平穩(wěn)過程的條件是：（1）均值函數(shù)在所有時間上恒為常數(shù)；（2）對于所有時間t和和時滯k，自協(xié)方差相同。嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系： 嚴格平穩(wěn)嚴格平穩(wěn) 廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)一定一定不一定不一定當隨機過程滿足高斯分布時，嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等

3、價的。隨機過程的遍歷性實際意義實際意義：隨機過程的數(shù)字特征（均值、相關函數(shù)）是對隨機過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際過程中很難測得大量的樣本。因此，我們想在滿足一定條件下，從一次試驗中得到來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征，這就是各態(tài)歷經性，又稱遍歷性。定義定義：假設是平穩(wěn)過程的任意一次實現(xiàn)（樣本），由于它是時間的確定函數(shù)，可以求得它的。其時間平均值和分別定義為221( )lim( )TTTax tx t dtT221( )( ) ()lim( ) ()TTTRx t x tx t x tdtT隨機過程的遍歷性221( )lim( )TTTax tx t dtT221( )( ) ()lim( )

4、 ()TTTRx t x tx t x tdtT如果平穩(wěn)過程使下式成立( )( )aaRR也就是說，平穩(wěn)過程的統(tǒng)計平均值等于它的任意一次樣本實現(xiàn)的時間平均值，則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經性。注意：具有各態(tài)歷經性的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。正交性、不相關性與獨立性 1. 正正交交性性：定義 為相關函數(shù)，若 則稱XY正交 eg:sinx與cosx 注意：相關函數(shù)為0，不是不相關，而是正交。 2.不相關不相關性性：定義 協(xié)方差函數(shù) 若 ，即相關系數(shù)為0，則稱之為不相關； 注意：不相關只是說二者沒有線形關系，但并不代表沒有任何關系。 3.獨立性獨立性：就用他們的概率分布函數(shù)或密度來表達，聯(lián)

5、合分布等于他們各自分布的乘積，獨立的定義是 ，就稱獨立。0R 0XC( , )( ) ( )F x yF x F y正交性、不相關性與獨立性三者之間的關系（1）X與與Y獨立獨立,則則X與與Y一定不相關一定不相關。例如：如果 ，則 即X,Y不相關。相反，如果如果X與與Y不相關，則不相關，則X與與Y不一定獨立不一定獨立。不相關和相互獨立一般不等價，只有當過程為高斯過程時才成立高斯過程時才成立。相關性描述的是兩個隨機變量之間是否存在線性關系，而獨立性考察的則是兩個隨機變量間是否存在某種關系，因此獨立的條件要比不相關嚴格。( , )( )( )F x yF x F y ( ) ( )( )( )E X

6、 t Y tE X tEY t（2）若這兩個隨機過程正交正交，則 =0，兩個正交的隨機過程并非一定能推得不相關或獨立不相關或獨立的結論。僅當數(shù)學期望Ex(t)或Ey(t)等于零的時候，這兩個正交的隨機過程才會不相關。正態(tài)隨機過程的主要性質正態(tài)隨機過程的主要性質性質：性質：1.正態(tài)過程是二階矩二階矩過程。2.一個高斯過程完全由它的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)決定，只要均值函數(shù)m(x)和協(xié)方差函數(shù)Bx(s,t)(或相關函數(shù)Rx(s,t)確定了，這個高斯過程也就完全確定了。3.高斯過程有很多與高斯變量類似的統(tǒng)計特征統(tǒng)計特征，如：高斯過程通過線性系統(tǒng)或高斯過程的線性組合仍為高斯型。如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則等價于平穩(wěn)。如果高斯過程的時間進程中兩個不同