滬教版(五四學制)六年級數(shù)學下冊教案：6.4-三元一次方程與一次方程的應用

1、基本內容三元一次方程與一次方程的應用知識精要一、三元一次方程1、如果方程組中含有三個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，這樣的方程組叫做三元一次方程組。2、三元一次方程組的的解法的重要思路是：把三元一次方程組轉化為二元一次方程組，再把二元一次方程轉化為一元一次方程。3、根據(jù)方程組的特點，由可以歸納出此類方程組為：類型一：有表達式，用代入法。類型二：缺某元，消某元。類型三：相同未知數(shù)系數(shù)相同或相反，加減消元法。二、一次方程的應用1、列一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、找、歹U、解、答”五步，即：(1)審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未

2、知數(shù)；(2)找：找出能夠表示題意一個或兩個相等關系；(3)歹U:根據(jù)這兩個相等關系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程(組)；(4)解：解這個方程組，求出一個或兩個未知數(shù)的值；(5)答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案。2、一次方程常碰到的幾中類型的應用題(1)和、差、倍、分問題。(2)調配問題。從調配后的數(shù)量關系中找等量關系，常見是“和、差、倍、分”關系，要注意調配對象流動的方向和數(shù)量。(3)行程問題。相遇問題(相向而行)，這類問題的相等關系是：各人走路之和等于總路程或同時走時兩人所走的時間相等為等量關系。追及問題(同向而行)，這類問題的等量關系是：兩人的路程差等于追及的路程或

3、以追及時間行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意，并注意兩者運動時出發(fā)的時間和地點。(4)工程問題。其基本數(shù)量關系：工作總量=工作效率X工作時間；合做的效率=各單獨做13的效率的和。當工作總量未給出具體數(shù)量時，常設總工作量為“1”，分析時可采用列表或畫圖來幫助理解題意。(5)溶液配制問題。其基本數(shù)量關系溶質=溶液X濃度 (濃度=可上，溶液=可上) 溶液濃度溶液=溶質+溶劑。(6)禾1J潤率問題。其數(shù)量關系是：商品的利潤率商品利潤,商品利潤=商品售價一商品 商品進價進價。(7)銀行儲蓄問題。=利息X利息稅率。其數(shù)量關系是：利息=本金X利率X存期；本息=本金+利息，利息稅(8)數(shù)字問題。

4、要正確區(qū)分“數(shù)”與“數(shù)字”兩個概念，這類問題通常采用間接設法，常見的解題思路分析是抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關系尋找等量關系。熱身練習1、由3個一次方程組成，并且含有 1 個未知數(shù)的方程叫三元次方程組。2、三元一次方程2x-3y+4z=8，用x、y的代數(shù)式表示z是 z =8+3y2x4x y -z = 113、解方程組 (y+z-x=5，貝U x = _6, y =8, z=3。lz x y =14、有兩桶水，甲桶有水180升，乙桶有水150升，要使甲桶水的體積是乙桶水的體積的兩倍，則應 由乙桶向甲桶倒40升水。5、某校七年級(2)班有學生50人，其中女生人數(shù)的一半比男生人數(shù)少8人，若設女生

5、人數(shù) x人,x y = 50男生人數(shù)為y人，可列出方程組為_1y - x =8026、某種品牌的電腦的進價為5000元，按物價局定價的 9折銷售時，利潤不低于 700元，則此電腦的定價最少為19000元。7、下列方程中，三兀一次方程共有(B)(1) x+y+z=3；(2) x y z=3 ；(4)_2_=1。 x y zA、1個B、2個8、已知甲、乙兩數(shù)之和是42,甲數(shù)的3倍等于乙數(shù)的4倍，求甲、乙兩數(shù).設甲數(shù)為x,乙數(shù)為y,由題意可得方程組(B'x + y = 42A.)4x =3y'x + y = 42B.)3x =4yC.420 x=y3 y D.I=14 442 + y

6、 = x3x 4y = 09、小明在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是:11_ M ,，一 一 、2y - = 、一，怎么呢？小明想了一想，便翻看書后答案，此方程的解是 2 25y ,很快補好3了這個常數(shù)，并迅速地完成了作業(yè)，同學們，你們能補出這個常數(shù)嗎？它應是A、1 B 、2 C 、3 D 、410、一條船在一條河上的順流航速是逆流航速的3倍，這條船在靜水中的航速與河水的流速之比是A.3 ： 1B.2 ： 1C.1D.5 : 2|x 二 51、x + y =7x y z = 6x = 5解： y = 2z = -111、解下列三元一次方程組。x+y+z=1

7、2、z=4x5x2yz=22x=2解：y=2z=812、我市某學校計劃向西部山區(qū)的學生捐贈3500冊圖書，實際共捐了4125冊。其中，初中學生捐贈了原計劃的120%高中學生捐贈了原計劃的115%,問初中學生和高中學生比原計劃多捐了多少冊？解：設初中原計劃捐x冊，則可列方程(3500-x)M115%+xM120%=4125解得x=2000,則初中比高中多捐500冊。13、某次數(shù)學競賽活動，共有16道選擇題，評分辦法是：答對一題給6分，答錯一題倒扣2分，不答題不得分也不扣分.某同學有一道題未答，那么這個學生至少答對多少題，成績才能在60分以上？解：設學生至少答對x道，可列不等式6x_2(16-x)

8、6023x一，所以至少答對12道題。29;如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所14、一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27,求這個兩位數(shù)。解：設這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為x,個位上的數(shù)為y,則這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關系可用下表表示:十位上的數(shù)個位上的數(shù)對應的兩位數(shù)相等關系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)yX10y+x10y+x=10x+y+2710x y = x y 9解方程組 y y10y x =10x y 27_|_x=1，得，因此，所求的兩位數(shù)是14.精解名題例1、解下列方程組解方程組，3x + 2y + 工= 13x+y + 2z =

9、 72x + 3y - z -12解方程組-2 3 51 + 尸+w = 20解：+得5x +5y = 25 +X 2得 5x + 7y = 31與組成45x+» = 255工+73 二 31解這個方程組-d'x = 23X2 + 2 X3 + z = 13x = 2y= 3是原方程組的解。z = 1(2)設人=工=三=卜,則可得23510k =20,解得x = 4k = 2,則 < y = 6。z = 10例2、某零件制造車間有20名工人，已知每名工人每天可制造甲種零件6個或乙種零件5個，且每制造一個甲種零件可獲利150元，每制造一個乙種零件可獲利260元.在這20名

10、工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件.(1)若此車間每天所獲利潤為y(元)，用x的代數(shù)式表示y.(2)若要使每天所獲利潤不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙種零件？解：(1)6x150(20-x)5260=y(2)900x+26000-1300x之24000x<5所以至少要派15名工人去制造乙種零件。例3、某蔬菜公司收購蔬菜進行銷售的獲利情況如下表所示:銷售方式直接銷售粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利(兀)100250450現(xiàn)在該公司收購了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸(兩種加工不能同時進行).(1)如果要求在18天內全

11、部銷售完這140噸蔬菜，請完成下列表格：銷售方式全部直接銷售全部粗加工后銷售盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利(元)(2)如果先進行精加工，然后進行粗加工，要求在15天內剛好加工完140噸蔬菜，則應如何分配加工時間？解：(1)全部直接銷售獲利為：100X140=14000(元)；全部粗加工后銷售獲利為：250X140=35000(元)；盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利為：450X(6X18)+100X(1406X18)=51800(元)(2)設應安排x天進行精加工，y天進行粗加工.一x+y=15.由題意，得1y,6x+16y=140.J左/口X=10,解得，y=5.故應安排10天進行精加工，5天

12、進行粗加工。*例4、甲、乙兩車都從A地出發(fā)經過B地駛往C地，A,B兩地的距離等于B,C兩地的距離.乙車的速度是甲車速度的80%.已知乙車比甲車早出發(fā)11分鐘，但在B地停留了7分鐘，甲車則不停地駛往C地.最后乙車比甲車遲4分鐘到C地.那么乙車出發(fā)后幾分鐘時，甲車就超過乙車。解：那么乙車出發(fā)20分鐘，甲車就超過乙車。備選例題：例1、某牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶9噸.若在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元；制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1200元；制成奶片銷售，每噸可獲取利潤2000元.該工廠的生產能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片每天可加工1噸.受人員限制，兩種加工方式不可同時進行。受氣溫

13、條件限制，這批牛奶必須在4天內全部銷售或加工完畢.為此，該廠設計了兩種可行方案：方案一：盡可能多的制成奶片，其余直接銷售鮮牛奶；方案二：將一部分制成奶片，其余制成酸奶銷售，并恰好4天完成.你認為選擇哪種方案獲利最多，為什么？（4分）解：選擇第二種方案獲利更多。例2、某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同.安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2分鐘內可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，4分鐘內可以通過800名學生.求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生?檢查中發(fā)現(xiàn)

14、，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率將降低20%,安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘內通過這4道門安全撤離.假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造白這4道門是否符合安全規(guī)定？請說明理由.解：（1）每分鐘通過一道正門120名，側門80名。（2）符合。鞏固練習1、方程x+2y+3z=14（xVyVz的正整數(shù)解是x=1,y=1,z=1。2、當x=0、1、一1時，二次三項式ax2+bx+c的值分別為5、6、10,則a=3，b_4_,c=5_o3、成都至重慶鐵路全長504千米.一輛快車以90千米/時的速度從重慶出發(fā)，1小時后，另有一輛慢車以48千米/時的速度從成都出發(fā)，則慢車出發(fā)

15、3小時后兩車相遇。4、甲水池有水31噸，乙水池有水11噸，甲池的水每小時流入乙池2噸,x小時后，乙池有水11+2x噸，甲池有水31-2x噸,5小時后，甲池的水與乙池的水一樣多。5、在1996年全國足球甲級A組的前11輪（場）比賽中，大連萬達隊保持連續(xù)不敗，共積23分，按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，那么該隊共勝了6場.6、某公司打算至多用1200元印制廣告單.已知制版費50元，每印一張廣告單還需支付0.3元的印刷費，則該公司可印制的廣告單數(shù)量x（張）滿足的不等式為50.3x1200。7、發(fā)電廠派汽車去拉煤，已知大貨車每輛裝10噸，小貨車每輛裝5噸，煤場共有煤152噸，現(xiàn)派8輛汽車去拉，

16、其中大貨車x輛，要一次將煤拉回電廠，至少需派多少輛大貨車？列式為_10x+5（10-x）=152。8、已知甲、乙兩人從相距18千米的兩地同時出發(fā)，相向而行，14小時相遇.如果甲比乙先走2小533時，那么在乙出發(fā)后3小時兩人相遇.設甲、乙兩人速度分別為每小時x千米和y千米，則2x=4.5,y=5.5.9、解方程組3x2y4z =8、2x3y4z =85x5y6z = 22x = 4解：4 y = 4z = 3x-2y=一91、cyz=322z+x=47f-解：把減去得到,y-z=32z+2y=56x=25最后得，y=17z=1410、一次遠足活動中，一部分人步行，另一部分乘一輛汽車，兩部分人同地

17、出發(fā)。汽車速度60公里/小時，步行者的速度是5公里/小時，步行者比汽車提前1小時出發(fā)，這輛汽車到達目的地后，再回頭接步行這部分人。出發(fā)地到目的地的距離是60公里。問：步行者在出發(fā)后經多少時間與回頭接他們的汽車相遇？解：設步行者經過x個小時與回頭接他們的汽車相遇。則列方程60-52=(60+5)父(x-2)10解得x=21311、某單位要印刷一批宣傳資料，在需要支付制版費600元和每份資料0.3元印刷費的前提下，甲、乙兩個印刷廠分別提出了不同的優(yōu)惠條件，甲印刷廠提出：凡印刷數(shù)量超過2000份的，超過部分的印刷費可按9折收費；乙印刷廠提出：凡印刷數(shù)量超過3000份的，超過部分印刷費可按8折收費.(

18、1)若該單位要印刷2400份宣傳資料，則甲印刷廠的費用是_1308元,乙印刷廠的費用是_1320元.(2)根據(jù)印刷數(shù)量大小，請討論該單位到哪家印刷廠印刷資料可獲得更大優(yōu)惠？解：當2000ExE4000時，選甲印刷廠好，當x>4000時，選乙印刷廠好。12、已知甲、乙兩種商品的原價和為200元。因市場變化，甲商品降價10%乙商品提高10%調價后甲、乙兩種商品的單價和比原單價和提高了5%求甲、乙兩種商品的原單價各是多少元？解：設甲、乙兩種商品的原單價各是x、y元，則可得下列方程組x+y=200x(1-10%)+y(1+10%)=200(1+5%)fx=50解得）=15013、某廠共有120名

19、生產工人，每個工人每天可生產螺栓25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產螺栓，多少名工人生產螺母，才能使每天生產出來的產品配成最多套？分析：要使生產出來的產品配成最多套，只須生產出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意,每天生產的螺栓與螺母應滿足關系式：每天生產的螺栓數(shù)X2=每天生產的螺母數(shù)X1.因此，設安排x人生產螺栓，y人生產螺母，則每天可生產螺栓25x個，螺母20y個，依題意，得xy=120i,解之，得50x2=20y1x=20y=100故應安排20人生產螺栓，100人生產螺母.自我檢測1、三元一次方程7x+3y4z=1用含x,y的代數(shù)式表示7x_3y二1

20、42、在三元一次方程x+y+z=3中，若x=1,y=2,則z=2。3、武煒購買8分與10分郵票共16枚，花了一元四角六分，購買8分和10分的郵票的枚數(shù)分別為_7,_9.4、一次工程，甲獨做m天完成，乙獨做比甲晚3天才能完成，甲、乙二人合作需要2_m3m2m3天完成。5、某數(shù)的2倍加上5不大于這個數(shù)的3倍減去4,那么該數(shù)的范圍是x至96、有兩種藥水，一種濃度為60%,另一種濃度為90%,現(xiàn)要配制濃度為70%的藥水300克，問各種各需200克,100克。7、已知方程3xy7=0,2x+3y=1,y=kx9有公共解，則k的值為（B）A、3B、4C、5D、68、一項工程甲單獨做要40天完成，乙單獨做需要50天完成，甲先單獨做4天，然后甲乙兩人合作x完成這項工程，則可以列的方程是（D）A4+x_ib、4*x.4040504040504x4xx.C、一十一=1D、一+一十一=140504040509、甲、乙兩個兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的201倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1188,求這兩個數(shù).如果甲數(shù)為x,乙數(shù)為y,則得方程組是（D）100x + y =100x + y+1188A. J .;100y +x=201xI