河北省承德市高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2.1直接證明與間接證明綜合法與分析法導(dǎo)學(xué)案新人教A版

1、9學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法.分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).2.進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異.1 .教學(xué)重點(diǎn)：綜合法和分析法的概念及思考過程、特點(diǎn).2 .教學(xué)難點(diǎn)：綜合法和分析法的應(yīng)用.方法：合作探究課堂隨筆：一新知導(dǎo)學(xué)綜合法證明不等式1 .定義利用和某些數(shù)學(xué)、等，經(jīng)過一系列的,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法2 .綜合法的特點(diǎn)從“已知”看“"，逐步推向“"，其逐步推理，是由導(dǎo),實(shí)際上是尋找“已知”的條件.用綜合法證明數(shù)學(xué)問題，證明步驟嚴(yán)謹(jǐn)，逐層遞進(jìn)，步步為營，條理清晰，

2、形式簡(jiǎn)潔，,宜于表達(dá)推理的思維軌跡，并且綜合法的推理過程屬于演繹推理，它的每一步推理得出的結(jié)論都是正確的，不同于合情推理.使用綜合法證明問題，有時(shí)從條件可得出幾個(gè)結(jié)論，哪個(gè)結(jié)論才可作為下一步的條件是分析的要點(diǎn)，所以如何找到“”和有效的是有效利用綜合法證明數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵.3 .綜合法的基本思路用表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，表示所要證明的結(jié)論，則綜合法的推理形式為p?qfQTQHq?q->|q?Q其邏輯依據(jù)是三段論式演繹推理.牛刀小試11B. (a+b) a+ b >41.a>0,b>0,則下列不等式中不成立的是（）2ab,D.aba+b41,111,一，2 .

3、設(shè)a>0,b>0,c>0,右a+b+c=1,則一+丁+-的取小值為abc3 .設(shè)a>b>0,求證：3a3+2b3>3a2b+2ab2.分析法證明不等式4 .分析法定義從要證明的出發(fā)，逐步尋求使它成立的條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明方法叫做分析法5 .分析法的特點(diǎn)分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”看“:執(zhí)果索因，逐步靠攏“:,其逐步推理，實(shí)際上是要尋找“結(jié)論”的條件.分析法的推理過程也屬于演繹推理，每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理6 .分析法的基本思路分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”，從待證結(jié)論

4、或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后得到一個(gè)明顯成立的條件.若用表示要證明的結(jié)論，則分析法的推理形式為p?RfR?P2f|P2?Rf得到一個(gè)明顯成立的條件17.分析法與綜合法的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：綜合法是“由因?qū)Ч?，而分析法則是“執(zhí)果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法.分析法便于我們?nèi)ふ宜悸罚C合法便于過程的敘述，兩種方法各有所長，在解,決具體的問題時(shí)，結(jié)合起來運(yùn)用效果會(huì)更好.(2)聯(lián)系：在分析法中，從結(jié)論出發(fā)的每一步所得到的判斷都是使結(jié)論成立的條件，最后的一步歸結(jié)為已被證明了的事實(shí).因此從分析法的最后一步又可以倒推回去，直到結(jié)論，這個(gè)倒推的證明過程就是法.分析法便于思考，敘述較

5、繁；綜合法敘述條理清楚，不便于思考，綜合法是分析法的逆向思維過程，表述簡(jiǎn)單，條理清楚.所以實(shí)際證題時(shí)，可將分析法、綜合法結(jié)合起來使用，即：找思路，寫過程.在實(shí)際證題中，常將待證結(jié)論作為條件和其他已知條件結(jié)合起來分析，看能夠得出什么“結(jié)論”來逐步探求證題的思路，也是常用方法.牛刀小試4 .(2015天津和平區(qū)高二期末)設(shè)2=心b=巾-0c=心則a、b、c從小到大的排列順序是.一,+/a2+b2+c2a+b+c5 .已知a、b、ceh,求證：、3>一3二.例題分析一二一，一,、11例1已知a,b是正數(shù)，且a+b=1,求證：£+6a4.2.例2已知a>0,求證:例3求證：當(dāng)x&

6、gt;0時(shí)，sinxWx.例4設(shè)a+b>0,n為偶數(shù)，求證b01a01+-iab11>a+b.三.作業(yè)一、選擇題1 .關(guān)于綜合法和分析法的說法錯(cuò)誤的是()A.綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法B.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч–.綜合法和分析法都是因果分別互推的“兩頭湊”法后記與感悟：D.分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法2 .”對(duì)任意角0,都有cos48sin48=cos28"的證明過程："cos48sin40=(cos20sin20)(cos-20+sin20)=cos20sin20=cos28”應(yīng)用了（）A.分析法B.綜合法C.綜合法與分析法結(jié)合使

7、用D.間接證法3 .要證明平+$2g可選擇的方法有下面幾種，其中最合理的是（）A.綜合法B.分析法C.特殊值法D.以上均不合理4 .欲證小，3<46只需要證（）A.（印乖）2（乖一幣）2C.（6+幣;<（#+ #）25. p= yfOb + /cd, q= 1m升 nc -則p、q的大小為（）A. p> qC. p>q6.已知函數(shù) f （x） = 2x, a、be K則A、B、C的大.小關(guān)系為（）A. Aw B< CB. （72乖了（乖一中）2D.（小-水-刷<（一師 b d，Jm n（m n、a、b、c、d 均為正數(shù)），C. pWqD.不確定a+b2abA

8、=f -2- , B= f （Jab）, C=f a+ b，B. Aw （X BC. B< Cw AD.CwB<A二、填空題n的大小關(guān)系小,a+.b7 .已知a>0,b>0,m=Ig：2¥為.8 .如果aa+bVb>ab+bVa，則實(shí)數(shù)a、b應(yīng)滿足的條件是9 .在算式30=4*口中的,口內(nèi)分別填入兩個(gè)正數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)（,口）應(yīng)為.三、解答題10 .已知a,b,cCh,且a+b+c=1,求證：（11）（J1）（11）>8.abc分析這是一個(gè)條件不等式的證明問題，要注意觀察不等式的結(jié)論特點(diǎn)和條件a+b+c=1的合理應(yīng)用.可

9、用綜合法和分析法兩種方法證明.答案例1解法一：:a、b是正數(shù)且a+b=i,a+bR2 眄.叵 J ab<1, -1>4.4' ab1 1 a+ b 1 | - A 4.a b ab ab解法二：二 a、b是正數(shù),ab”1. a+ b>2/ab> 0, a+>2 (a+ b)( a+b) >4.1 1又 a+b=1,，&+/4.解法三:1 1 a+ b a+ b a+ ba + bb a1+-+-+1>2+ 2 a bb ad4.當(dāng)且僅當(dāng)例2因?yàn)閍>0,只需證(，+/+2) 2>(a+a+V2)即 a2 + % 42 1

10、9;2(1a + 2+2,a從而只需證2只需證4(a2+.)小2(a2+2+或,即a2+之2,而上述不等式顯然成立，故原不等式成立.a例3解析要證x>0時(shí)，sinx<x,只需證x>0時(shí)，sinxxW0即可.設(shè) f(x) = sinx x,則即證 x>0 時(shí)，f(x) wf(0).即證x>0時(shí)，f(x)的最大值小于或等于0.(*). f(x) = sinx x,1- f ' (x) = cosx 1, .當(dāng) x>0 時(shí)，f ' (x) <0,，f(x)在0 , +8)上單調(diào)遞減.當(dāng) x>0 時(shí)，f(x)max =f(0) = 0,

11、sinx x<0 成立.，原不等式成立.bn 1an 11例4正解才+丁a1(an-bn)(an 1-bn 1)b(ab) n(an-bn)( an 1(ab)n當(dāng)a>0,b>0,a+b>0時(shí)，(anbn)(an1bn1)>0,(ab)n>0,-bn1)bn1an1112.丁丁a+b.當(dāng)a、b有一個(gè)為負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)a>0,b<0,且a+b>0,.a>|b|.(ab)n>0,an>0,bn>0,an1>0,bn1<0,故anbn>0,an1-bn1>0,.(an_bn)(an1(ab)nbn1an111W+丁接a+b.由知結(jié)論成立.作業(yè)CBBCBA7n>n8.awb且a>0,b>09.(10,5)b+cab1-1)(1-1)(ab1-1)-(a+b+cca-1)(a+ca+bb+ca+ca+b10證明證法1：(綜合法)abcc不等式成立.(a+b+ca+b+c-1)(-1)=abc當(dāng)且僅當(dāng)a-=b=c時(shí)取等號(hào),證法2:(分析法)1要證(a1-1)(b-1)(1c-1)&