第十二章微分方程

1、第十二章微分方程 一基本內容 1.微分方程，常微分方程和方程的階包含自變量、未知函數(shù)即未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程，簡記為方程.在微分方程中，若自變量的個數(shù)只有一個，則稱它為常微分方程.微分方程中所出現(xiàn)的未知數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.2.方程的解使方程成立的未知函數(shù)稱為方程的解.在階微分方程中含有個相互獨立的任意常數(shù)的解稱為方程的通解.在通解中給定了任意常數(shù)的值而得到的解叫做方程的特解.3.隱式通解一般地，階微分方程的通解，可用隱式給出，叫做微分方程的隱式通解.隱式通解中為任意的常數(shù)在初始條件，解出的值，可得特解.4.一階微分方程的類型(1)可分離變量, ；(2

2、)齊次方程，；(3)一階線性方程，(4)貝努利方程，；(5)全微分方程，.5.可降階的高階微分方程（方程類型）(1)；(2)缺的二階方程；(3)缺的二階方程.6.高階線性微分方程階線性方程的一般形式為:當時稱為齊次線性方程，稱為非齊次線性方程.7.二階常系數(shù)方程（類型）(1)齊次為常數(shù)；(2)非齊次為常數(shù)，.8.階常系數(shù)齊次方程特征方程為:，其中為常數(shù).特征方程的根:(1)單實根；(2)一對單共軛復根；(3)重實根；(4)一對重共軛復根.9.歐拉方程形如的方程稱為歐拉方程解法：令即，把看作的函數(shù)，則于是歐拉方程化為.按照階常系數(shù)線性微分方程解法解出，則為歐拉方程的解. 練習題

3、0;12.1求下列一階方程.（1）.解原方程化為即積分得從而即.（2）.解：分離變量得積分得即.（3）.解等號兩邊同時除以得令則方程化為分離變量得積分得即原方程化為.（4）.解解法一原式整理為令方程化為通解化為將代入整理得.解法二方程整理得方程兩邊同乘積分因子得即通解化為.（5）.解方程整理為通解為.（6）.解原式化為分離變量得積分得.（7）.解原式整理得等號兩邊除以得即通解化為.（8）.解方程化為通解為.（9）.解原方程化為通解化為.（10）.解令方程化為即令方程化為通解為將代回得通解為.（11）.解方程化為方程兩邊除以得由知方程化為通解為即.（12）.解令即求導得方程化為分離變量得積分得即

4、=0 .12.2求下列微分方程在給定初始條件下的特解：（1）.解原方程化為令則方程化為分離變量得積分得即將代入通解解出，故所求特解為.（2）.解原方程化為通解為將代入解出故所求特解為.（3）.解方程化為即從而也就是同除以得即通解為可化為將代入解出故解為.（4）.解方程化為令方程化為通解為即將代入解出故所求特解為.12.3求下列二階微分方程的通解.（1）.解令方程化為即通解為將代回得故所求通解為.（2）.解令則代入方程得分離變量得積分得解出方程化為分離變量得通解為.（3）.解令則方程化為即方程兩邊同除得即解得即分離變量整理得.（4）.解令則方程化為即令則方程化為分離變量積分得即解得.12.4求下

5、列二階微分方程在給定初始條件下的特解：（1）.解令則方程化為分離變量積分得即分離變量將代入解得即積分得將代入解得整理得.（2）.解令則方程化為分離變量積分得將代入解得方程化為分離變量積分得將代入解出特解為.（3）.解令方程化為即從而將代入解得方程化為積分得將代入解得特解為.（4）.解令方程化為分離變量積分得將代入解出，即分離變量積分得將代入解得特解為.（5）.解令方程化為分離變量積分得將代入解得方程化為分離變量積分得將代入解得特解為.12.5解下列常系數(shù)齊次方程：（1）.解特征方程為通解為.（2）.解特征方程為通解為將代入解得特解為.（3）.解特征方程為解得通解為.（4）.解特征方程為解得通解

6、為將代入解得特解為 EMBED Equation.3 .（5）EMBED Equation.3 .解特征方程為 EMBED Equation.3 解得 EMBED Equation.3 通解為 EMBED Equation.3 .12.6求解下列常系數(shù)非齊次微分方程：（1）EMBED Equation.3.解特征方程為解得對應齊次方程通解為設原方程的一個特解為將代入原方程得故原方程通解為.（2）.解特征方程為解得對應齊次方程通解為設方程的一個特解為將代入解出設方程的一個特解為將代入解出原方程通解為.（3）.解特征方程為解得對應齊次方程通解為由于原方程不含且為的奇函數(shù)可設的一個特解為將代入解出設

7、的一個特解為將代入解出原方程通解為.（4）.解特征方程為解得對應齊次方程通解為原方程化為顯然的一個特解為設的一個特解為將代入解得故設的一個特解為將代入得原方程通解為.（5）.解特征方程為解得對應齊次方程通解為設的一個特解為將代入解出設的一個特解為將代入解出原方程通解為將代入通解解出所求特解為.12.7求解下列歐拉方程：（1）.解令方程化為特征方程為解得通解為將代入得.（2）.解令方程化為特征方程為解得通解為將代入得.12.8設，求.解等式兩邊求導得且方程化為令方程化為分離變量積分得將代入將代入解得故.12.9設，求.解求導得且分離變量積分得整理得將代入解得從而.12.10已知曲線積分與路徑無關

8、，是可微函數(shù)，且，求.解由已知即即解得將代入得從而整理得.12.11設，求.解令則原式化為積分得即.12.12求滿足的解，其中為參數(shù)，并證明滿足方程.解方程化為通解為將代入解得從而從而滿足.12.13設的二階導數(shù)連續(xù)，且，試確定，使為全微分方程，并求其通解.解由已知令方程化為特征方程為解為齊次方程通解為設將代入得通解為將代入得從而下面求解即即即通解為.12.14 若函數(shù)滿足下列條件：，又，試求由曲線與，所圍成的平面圖形的面積.解令則即通解為將代入得故由故由所圍面積.測驗題(十二)1. 1.      求解下列微分方程:(1).解.(2)為常數(shù).解為一階線性微分方程，故.(3) .解設則有.（4）.解.（5）.解即（6）.解設則有即.（7）.解設則代入初始條件，得代入整理得其中.（8）.解設則有代入初始條件，得即故代入即.（9）.解故通解.（10）.解代入初始條件，得即.（11）.解設特解代入有原方程通解為.（12）.解設特解代入方程：原方程解為.（13）.解對設對設特解代入方程通解為.（14）.解設則有故.2.一曲線的所有切線都通過點（），求此曲線方程.解設該曲線方程為，為曲線上任一點切線方程為代入則.3.設一物體質量為，自高空落下，初速度為0，若所受阻力與速度成正比（比例系數(shù)為），