示范教案311兩角差的余弦公式

1、第三章 三角恒等變換本章教材分析本章知識框圖 本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換.變換是數(shù)學(xué)的重要工具,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象之一.在本冊第一章,學(xué)生接觸了同角三角函數(shù)公式.在本章,學(xué)生將運(yùn)用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式,由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角變換公式,并運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換.三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上.通過本章學(xué)習(xí),使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中,發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力,并體會三角恒等變換的工具性作用,學(xué)會它們在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用. 本章內(nèi)容安排按兩條線進(jìn)行,一條明線是建立公式,學(xué)習(xí)變換;一

2、條暗線就是發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力,并且發(fā)展能力的要求不僅僅體現(xiàn)在學(xué)習(xí)變換過程之中,也體現(xiàn)在建立公式的過程之中.因此在本章教學(xué)中,教師要特別注意恰時恰點(diǎn)地提出問題,引導(dǎo)學(xué)生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)去分析、處理問題,使學(xué)生能依據(jù)三角函數(shù)式的特點(diǎn),逐漸明確三角函數(shù)恒等變換不僅包括式子的結(jié)構(gòu)形式變換,還包括式子中角的變換,以及不同三角函數(shù)之間的變換,強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計變換思路的意識. 突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進(jìn)行引導(dǎo),本章不僅關(guān)注使學(xué)生得到和(差)角公式,而且還特別關(guān)注公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法.例如,在兩角差的余弦公式這一關(guān)鍵性問題的解決中體現(xiàn)

3、了數(shù)形結(jié)合思想以及向量方法的應(yīng)用;從兩角差的余弦公式推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,在這個過程中,始終引導(dǎo)學(xué)生體會化歸思想;在應(yīng)用公式進(jìn)行恒等變換的過程中,滲透了觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法,特別是充分發(fā)揮了“觀察”“思考”“探究”等欄目的作用,對學(xué)生解決問題的一般思路進(jìn)行引導(dǎo),這對學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣能起到積極的促進(jìn)作用.另外,還在適當(dāng)?shù)臅r候?qū)θ亲儞Q中的數(shù)學(xué)思想方法作了明確的總結(jié).例如,在旁白中有“倍是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的,2是的二倍,4是2的二倍,這里蘊(yùn)含著換元的思想”等,都是為了加強(qiáng)思想方法而設(shè)置的. 兩角和與差的正弦、余弦、正切

4、公式和二倍角公式是歷屆高考考查的“重點(diǎn)”和“熱點(diǎn)”,在高考中占有重要的地位,主要考查對這十一個公式的正用、逆用、變形用,考查對公式的熟練掌握程度和靈活運(yùn)用能力,其考查難度屬低檔,這就要求我們不要過分引導(dǎo)學(xué)生去挖掘一些特殊的變化技巧,應(yīng)把主要精力放在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)律和通性通法上. 教師在教學(xué)中,要注意控制好難度.因?yàn)榻鼛啄甑母呖贾袑θ遣糠值目疾殡y度降低,但教材中部分習(xí)題卻有一定難度,因此教師要把握好難度.本章教學(xué)時間約需8課時,具體分配如下(僅供參考):節(jié) 次標(biāo) 題課 時兩角差的余弦公式1課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公式2課時二倍角的正弦、余弦、正切公式1課時3.2簡單的三角恒等變換2課時

5、本章復(fù)習(xí)2課時3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 兩角差的余弦公式整體設(shè)計教學(xué)分析 本節(jié)是以一個實(shí)際問題做引子,目的在于從中提出問題,引入本章的研究課題.在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中,提出了兩個問題:實(shí)際問題中存在研究像tan(45°+)這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要;實(shí)際問題中存在研究像sin與tan(45°+)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與、45°單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要.以實(shí)例引入課題也有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的聯(lián)系,增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,同時也讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程. 本節(jié)首先引導(dǎo)學(xué)生

6、對cos(-)的結(jié)果進(jìn)行探究,讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力,進(jìn)行猜想,給出所有可能的結(jié)果,然后再去驗(yàn)證其真假.這也展示了數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展的具體過程,最后提出了兩種推導(dǎo)證明“兩角差的余弦公式”的方案.方案一,利用單位圓上的三角函數(shù)線進(jìn)行探索、推導(dǎo),讓學(xué)生動手畫圖,構(gòu)造出-角,利用學(xué)過的三角函數(shù)知識探索存在一定的難度,教師要作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).方案二,利用向量知識探索兩角差的余弦公式時,要注意推導(dǎo)的層次性:在回顧求角的余弦有哪些方法時,聯(lián)系向量知識,體會向量方法的作用;結(jié)合有關(guān)圖形,完成運(yùn)用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備;探索過程不應(yīng)追求一步到位,應(yīng)先不去理會其中的細(xì)節(jié),抓住主要問題及其線索進(jìn)行探索,然后再反思

7、,予以完善;補(bǔ)充完善的過程,既要運(yùn)用分類討論的思想,又要用到誘導(dǎo)公式. 本節(jié)是數(shù)學(xué)公式的教學(xué),教師要遵循公式教學(xué)的規(guī)律,應(yīng)注意以下幾方面:要使學(xué)生了解公式的由來;使學(xué)生認(rèn)識公式的結(jié)構(gòu)特征,加以記憶;使學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)和證明;通過例子使學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用,靈活運(yùn)用公式進(jìn)行解答有關(guān)問題.三維目標(biāo)1.通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”,了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練,加深對兩角差的余弦公式的理解,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).2.通過兩角差的余弦公式的運(yùn)用,會進(jìn)行簡單的求值、化簡、證明,體會化歸思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用,使學(xué)生進(jìn)一

8、步掌握聯(lián)系的觀點(diǎn),自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),使學(xué)生體會探究的樂趣,認(rèn)識到世間萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,養(yǎng)成用辯證與聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度,強(qiáng)化學(xué)生的參與意識,從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):通過探究得到兩角差的余弦公式.教學(xué)難點(diǎn):探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo).課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(問題導(dǎo)入)播放多媒體,出示問題,讓學(xué)生認(rèn)真閱讀課本引例.在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中,提出了兩個問題:實(shí)際問題中存在研

9、究像tan(45°+)這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要;實(shí)際問題中存在研究像sin與tan(45°+)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與、45°單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要.在此基礎(chǔ)上,再一般化而提出本節(jié)的研究課題進(jìn)入新課. 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們在初中時就知道cos45°=,cos30°=,由此我們能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?這里是不是等于cos45°-cos30°呢？教師可讓學(xué)生驗(yàn)證,經(jīng)過驗(yàn)證可知,我們的猜想是錯誤的.那么究竟是個什么關(guān)系呢？cos(-)等于什么呢？這時學(xué)生急

10、于知道答案,由此展開新課:我們就一起來探討“兩角差的余弦公式”.這是全章公式的基礎(chǔ).推進(jìn)新課新知探究提出問題請學(xué)生猜想cos(-)=?利用前面學(xué)過的單位圓上的三角函數(shù)線,如何用、的三角函數(shù)來表示cos(-)呢？利用向量的知識,又能如何推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)cos(-)=?細(xì)心觀察C(-)公式的結(jié)構(gòu),它有哪些特征？其中、角的取值范圍如何？如何正用、逆用、靈活運(yùn)用C(-)公式進(jìn)行求值計算？ 活動:問題,出示問題后,教師讓學(xué)生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下,大膽猜想,有的同學(xué)可能就首先想到cos(-)=cos-cos的結(jié)論,此時教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥,然后讓學(xué)生由特殊角來驗(yàn)證它的正確性.如=60°,=30°

11、,則cos(-)=cos30°=,而cos-cos=cos60°-cos30°=,這一反例足以說明cos(-)cos-cos. 讓學(xué)生明白,要想說明猜想正確,需進(jìn)行嚴(yán)格證明,而要想說明猜想錯誤,只需一個反例即可. 問題,既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于這里涉及的是三角函數(shù)的問題,是-這個角的余弦問題,我們能否利用單位圓上的三角函數(shù)線來探究呢？圖1如圖1,設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1,POP1=,則POx=-.過點(diǎn)P作PM垂直于x軸,垂足為M,那么OM就是角-的余弦線,即OM=cos(-),這里就是要用角、的正弦線、余弦線來表示

12、OM.過點(diǎn)P作PA垂直于OP1,垂足為A,過點(diǎn)A作AB垂直于x軸,垂足為B,過點(diǎn)P作PC垂直于AB,垂足為C.那么,OA表示cos,AP表示sin,并且PAC=P1Ox=.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin,所以,cos(-)=coscos+sinsin. 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,以上的推理過程中,角、-是有條件限制的,即、-均為銳角,且>,如果要說明此結(jié)果是否對任意角、都成立,還要做不少推廣工作,并且這項(xiàng)推廣工作的過程比較繁瑣,由同學(xué)們課后動手試一試.圖2 問題,教師引導(dǎo)學(xué)生,可否利用剛學(xué)過的向量知識來探究這個問題呢?如圖2,在平

13、面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O,以O(shè)x為始邊作角、,它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B,則=(cos,sin),=(cos,sin),AOB=-. 由向量數(shù)量積的定義有·=|·cos(-)=cos(-), 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有 ·=(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin, 于是,cos(-)=coscos+sinsin. 我們發(fā)現(xiàn),運(yùn)用向量工具進(jìn)行探究推導(dǎo),過程相當(dāng)簡潔,但在向量數(shù)量積的概念中,角-必須符合條件0-,以上結(jié)論才正確,由于、都是任意角,-也是任意角,因此就是研究當(dāng)-是任意角時,以上公式是否正確的問題.當(dāng)-是任意角時,

14、由誘導(dǎo)公式,總可以找到一個角0,2),使cos=cos(-),若0,則·=cos=cos(-).若,2,則2-0,且·=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,對于任意角、都有cos(-)=coscos+sinsin(C(-) 此公式給出了任意角、的正弦、余弦值與其差角-的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡記為C(-).有了公式C(-)以后,我們只要知道cos、cos、sin、sin的值,就可以求得cos(-)的值了. 問題,教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C(-)的結(jié)構(gòu)特征,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式左邊是“兩角差的余弦”,右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”,可讓學(xué)生結(jié)合

15、推導(dǎo)過程及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行記憶,特別是運(yùn)算符號,左“-”右“+”.或讓學(xué)生進(jìn)行簡單填空,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了. 問題,對于公式的正用是比較容易的,關(guān)鍵在于“拆角”的技巧,而公式的逆用則需要學(xué)生的逆向思維的靈活性,特別是變形應(yīng)用,這就需要學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察能力和熟練的運(yùn)算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)s

16、in.討論結(jié)果:略.應(yīng)用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15°的值. 活動:先讓學(xué)生自己探究,對有困難的學(xué)生教師可點(diǎn)撥學(xué)生思考題目中的角15°,它可以拆分為哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,從而就可以直接套用公式C(-)計算求值.教師不要包辦,充分讓學(xué)生自己獨(dú)立完成,在學(xué)生的具體操作下,體會公式的結(jié)構(gòu),公式的用法以及把未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)思想方法.對于很快就完成的同學(xué),教師鼓勵其換個角度繼續(xù)探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°

17、)=cos45°cos30°sin45°sin30°=方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°sin60°sin45°=× 點(diǎn)評:本題是指定方法求cos15°的值,屬于套用公式型的,這樣可以使學(xué)生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要學(xué)生將這個非特殊角拆分成兩個特殊角的差的形式,靈活運(yùn)用公式求值.本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角,但可以拆分成兩角差的情形.至于如何拆分,讓學(xué)生在應(yīng)用中仔細(xì)體會.變式訓(xùn)練1.不查表求si

18、n75°,sin15°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30°=sin15°=點(diǎn)評:本題是例題的變式,比例題有一定的難度,但學(xué)生只要細(xì)心分析,利用相關(guān)的誘導(dǎo)公式,不難得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110°cos20°sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.點(diǎn)評:此題學(xué)生一看就有似曾相識而又無

19、從下手的感覺,需要教師加以引導(dǎo),讓學(xué)生細(xì)心觀察,再結(jié)合公式C(-)的右邊的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).這就是公式逆用的典例,從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性.例2 已知sin=,(,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到剛剛推導(dǎo)的余弦公式,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),欲求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、cos的值,然后利用公式C(-)即可求解.從已知條件看,還少cos與sin的值,根據(jù)誘導(dǎo)公式不難求出,但是這里必須讓學(xué)生注意利用同角的平方和關(guān)系式時,角、所在的象限,準(zhǔn)確判斷它們的三角函數(shù)值的符號.本

20、例可由學(xué)生自己獨(dú)立完成.解:由sin=,(,),得cos=又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 點(diǎn)評:本題是直接運(yùn)用公式C(-)求值的基礎(chǔ)練習(xí),但必須思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備.特別是運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系式求值時,一定要弄清角的范圍,準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號.教師可提醒學(xué)生注意這點(diǎn),養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.變式訓(xùn)練已知sin=,(0,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值.解:當(dāng),)時,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=.所以cos(-)=coscos+sinsin=.當(dāng)(0,)時,且sin=,得cos=,

21、又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 點(diǎn)評:本題與例2的顯著的不同點(diǎn)就是角的范圍不同.由于(0,),這樣cos的符號可正、可負(fù),需討論,教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想,對角進(jìn)行分類討論,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性.教師強(qiáng)調(diào)分類時要不重不漏.思路2例1 計算:(1)cos(-15°);(2)cos15°cos105°sin15°sin105°(3)sinxsin(x+y)cosxcos(x+y). 活動:教師可以大膽放給學(xué)生自己探究,點(diǎn)撥學(xué)生分析題目中的角-15°,思考它可以拆

22、分為哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15°)=cos15°再求值.讓學(xué)生細(xì)心觀察(2)(3)可知,其形式與公式C(-)的右邊一致,從而化為特殊角的余弦函數(shù).解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30°=(2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°

23、=0.(3)原式=cosx-(x+y)=cos(-y)=cosy. 點(diǎn)評:本例重點(diǎn)是訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行計算求值,從不同角度培養(yǎng)學(xué)生正用、逆用、變形用公式解決問題的能力,為后面公式的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ).例2 已知cos=,cos(+)=,且、(0, ),求cos的值. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的條件與所求,讓學(xué)生探究、+、之間的關(guān)系,也就是尋找已知條件中的角與所求角的關(guān)系.學(xué)生通過探究、討論不難得到=(+)-的關(guān)系式,然后利用公式C(-)求值即可.但還應(yīng)提醒學(xué)生注意由、的取值范圍求出+的取值范圍,這是很關(guān)鍵的一點(diǎn),從而判斷sin(+)的符號進(jìn)而求出cos.解:、(0,),+

24、(0,).又cos=,cos(+)=,sin=sin(+)=又=(+)-,cos=cos(+)cos+sin(+)sin= 點(diǎn)評:本題相對于例1難度大有提高,但是只要引導(dǎo)適當(dāng),學(xué)生不難得到=(+)-的關(guān)系式,繼而運(yùn)用公式解決.但值得注意的是+的取值范圍確定,也是很關(guān)鍵的,這是我們以后解題當(dāng)中常見的問題.變式訓(xùn)練1.求值:cos15°+sin15°.解:原式=cos15°+sin15°)=(cos45°cos15°+sin45°sin15°)=cos(45°-15°)= cos30°=.

25、2.已知sin+sin=,cos+cos=,求cos(-)的值.解:(sin+sin)2=()2,(cos+cos)2=()2,以上兩式展開兩邊分別相加得2+2cos(-)=1,cos(-)=. 點(diǎn)評:本題又是公式C(-)的典型應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵就是將已知中的兩個和式兩邊平方,從而得到公式C(-)中coscos和sinsin的值,即可求得cos(-)的值,本題培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式解決問題的能力.3.已知銳角、滿足cos=,tan(-)=,求cos.解:為銳角,且cos=,得sin=.又0<<,0<<,-<-<.又tan(-)= <0,cos(-)=.從而sin(-)=tan(-)cos(-)=.cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=×=.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.(1)cos(-)=