第二節(jié)二重積分的計算法

1、第二節(jié) 二重積分的計算法教學(xué)目的：熟練掌握二重積分的計算方法教學(xué)重點：利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)計算二重積分教學(xué)難點：化二重積分為二次積分的定限問題教學(xué)內(nèi)容：利用二重積分的定義來計算二重積分顯然是不實際的,二重積分的計算是通過兩個定積分的計算(即二次積分)來實現(xiàn)的.一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分我們用幾何觀點來討論二重積分的計算問題.討論中,我們假定 ；假定積分區(qū)域可用不等式 表示,其中, 在上連續(xù).據(jù)二重積分的幾何意義可知,的值等于以為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積.在區(qū)間上任意取定一個點,作平行于面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為一般地,過區(qū)間上任一

2、點且平行于面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為利用計算平行截面面積為已知的立體之體積的方法,該曲頂柱體的體積為從而有 (1)上述積分叫做先對Y,后對X的二次積分,即先把看作常數(shù),只看作的函數(shù),對計算從到的定積分,然后把所得的結(jié)果( 它是的函數(shù) )再對從到計算定積分.這個先對, 后對的二次積分也常記作在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,導(dǎo)出了二重積分的計算公式(1).但實際上,公式(1)并不受此條件限制,對一般的(在上連續(xù)),公式(1)總是成立的.例如:計算 解: 類似地,如果積分區(qū)域可以用下述不等式表示,且函數(shù),在上連續(xù),在上連續(xù),則 (2)顯然,(2)式是先對,后對的二次積分.二重積

3、分化二次積分時應(yīng)注意的問題1、積分區(qū)域的形狀前面所畫的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個共同點:對于I型(或II型)區(qū)域, 用平行于軸(軸 )的直線穿過區(qū)域內(nèi)部,直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點.如果積分區(qū)域不滿足這一條件時,可對區(qū)域進行剖分,化歸為I型(或II型)區(qū)域的并集.2、積分限的確定二重積分化二次積分, 確定兩個定積分的限是關(guān)鍵.這里,我們介紹配置二次積分限的方法 - 幾何法.畫出積分區(qū)域的圖形(假設(shè)的圖形如下 )在上任取一點,過作平行于軸的直線,該直線穿過區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩個交點與,這里的、就是將,看作常數(shù)而對積分時的下限和上限；又因是在區(qū)間上任意取的,所以再將看作變量而對積分時,積分的

4、下限為、上限為.例1計算,其中是由軸,軸和拋物線在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域.類似地, 例2計算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區(qū)域.例3求由曲面及所圍成的立體的體積.解: 1、作出該立體的簡圖, 并確定它在面上的投影區(qū)域消去變量得一垂直于面的柱面 ,立體鑲嵌在其中,立體在面的投影區(qū)域就是該柱面在面上所圍成的區(qū)域2、列出體積計算的表達式3、配置積分限, 化二重積分為二次積分并作定積分計算而 由,的對稱性有 所求立體的體積為二、利用極坐標(biāo)計算二重積分1、變換公式按照二重積分的定義有現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標(biāo)中的形式.用以極點為中心的一族同心圓 以及從極點出發(fā)的一族射線,將剖分成個小閉區(qū)域.除了包含邊

5、界點的一些小閉區(qū)域外,小閉區(qū)域的面積可如下計算其中,表示相鄰兩圓弧半徑的平均值.(數(shù)學(xué)上可以證明: 包含邊界點的那些小閉區(qū)域所對應(yīng)項之和的極限為零, 因此, 這樣的一些小區(qū)域可以略去不計)在小區(qū)域上取點,設(shè)該點直角坐標(biāo)為,據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系有于是即由于也常記作, 因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發(fā)性的形式 (1)(1)式稱之為二重積分由直角坐標(biāo)變量變換成極坐標(biāo)變量的變換公式,其中,就是極坐標(biāo)中的面積元素.(1)式的記憶方法:2、極坐標(biāo)下的二重積分計算法極坐標(biāo)系中的二重積分, 同樣可以化歸為二次積分來計算.【情形一】積分區(qū)域可表示成下述形式其中函數(shù), 在上連續(xù).則 【情形二】積分區(qū)域為

6、下述形式顯然,這只是情形一的特殊形式( 即極點在積分區(qū)域的邊界上 ).故 【情形三】積分區(qū)域為下述形式顯然,這類區(qū)域又是情形二的一種變形( 極點包圍在積分區(qū)域的內(nèi)部 ),可剖分成與,而故 則 由上面的討論不難發(fā)現(xiàn), 將二重積分化為極坐標(biāo)形式進行計算, 其關(guān)鍵之處在于: 將積分區(qū)域用極坐標(biāo)變量表示成如下形式下面通過例子來介紹如何將區(qū)域用極坐標(biāo)變量來表示.例4將下列區(qū)域用極坐標(biāo)變量表示1、2、Ê先畫出區(qū)域的簡圖, 據(jù)圖確定極角的最大變化范圍；Ë再過內(nèi)任一點作射線穿過區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩交點,將它們用極坐標(biāo)表示,這樣就得到了極徑的變化范圍.注: 本題不能利用直角坐標(biāo)下二重積分計算法來求其精確值.利用此題結(jié)果可求出著名概率積分.而被積函數(shù)滿足 ,從而以下不等式成立，再利用例二的結(jié)果有, ,于是不等式可改寫成下述形式故當(dāng)時有 ,即 .3、使用極坐標(biāo)變換計算二重積分的原則(1)、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2)、被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡單( 含,