離散課后習(xí)題答案

1、第十章部分課后習(xí)題參考答案4判斷下列集合對(duì)所給的二元運(yùn)算是否封閉：（1） 整數(shù)集合 Z 和普通的減法運(yùn)算。 封閉,不滿足交換律和結(jié)合律，無(wú)零元和單位元（2） 非零整數(shù)集合普通的除法運(yùn)算。不封閉（3） 全體 n × n 實(shí)矩陣集合（R）和矩陣加法及乘法運(yùn)算，其中 n2。封閉 均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律； 加法單位元是零矩陣，無(wú)零元； 乘法單位元是單位矩陣，零元是零矩陣；（4）全體 n × n 實(shí)可逆矩陣集合關(guān)于矩陣加法及乘法運(yùn)算，其中 n2。不封閉運(yùn)（5）正實(shí)數(shù)集合和算，其中 運(yùn)算定義為：不封閉因?yàn)? 1 = 1× 1 1 1 = 1+R關(guān)（6） n

2、于普通的加法和乘法運(yùn)算。封閉，均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律加法單位元是 0，無(wú)零元；n乘法無(wú)單位元（> 1），零元是 0；= 1單位元是 1n運(yùn)n（7）A = a1 , a2 , a n算定義如下：封閉 不滿足交換律，滿足結(jié)合律，關(guān)（8）S = 于普通的加法和乘法運(yùn)算。封閉均滿足交換律，結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律（9）S = 0,1,S 是關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算。 加法不封閉，乘法封閉；乘法滿足交換律，結(jié)合律（10）S = ,S 關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算。加法不封閉，乘法封閉，乘法滿足交換律，結(jié)合律5對(duì)于上題中封閉的二元運(yùn)算判斷是否適合交換律，結(jié)合律，分配律。 見(jiàn)上題1

3、7設(shè) * 為 Z+ 上的二元運(yùn)算 ,+xy Z ，X * Y = min ( x，y ),即 x 和 y 之中較小的數(shù).(1)求 4 *6，7 *3。4,3(2)* 在 Z+ 上是否適合交換律，結(jié)合律，和冪等律？滿足交換律，結(jié)合律，和冪等律(3)求*運(yùn)算的單位元，零元及Z+ 中所有可逆元素的逆元。<單位元無(wú)，零元 1,所有元素?zé)o逆元8 S =Q × Q為有理數(shù)集，*為 S 上的二元運(yùn)算，a,b>,<x,y >S 有Q< a，b >*<x，y> = <ax，ay + b>（1）*運(yùn)算在 S 上是否可交換，可結(jié)合？是否為冪等的？

4、不可交換：<x,y>*<a,b >= <xa，xb +y> < a，b >*<x，y>可結(jié)合：(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<ax，ay + b>*<c,d>=<axc，axd +(ay+b) ><a,b >*(<x,y>*<c,d>)=<a, b>*<xc,xd+y>=<axc，a(xd +y)+b >(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=

5、<a,b >*(<x,y>*<c,d>)不是冪等的（2）*運(yùn)算是否有單位元，零元？ 如果有請(qǐng)指出，并求 S 中所有可逆元素的逆元。 設(shè)<a,b>是單位元，<x,y >S ，<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<x,y>則<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>，解的<a,b>=<1,0>，即為單位。>>設(shè)<a,b>是零元，<x,y >S ，<a,b

6、 >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<a,b>則<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>，無(wú)解。即無(wú)零元。>><x,y >S，設(shè)<a,b>是它的逆元<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<1,0><ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x所以當(dāng) x 0 時(shí)， < ,x1 =>y1 , y xx分1

7、0令 S=a，b，S 上有四個(gè)運(yùn)算：*，別有表 10.8 確定。2(a)(b)(c)(d)(1)這 4 個(gè)運(yùn)算中哪些運(yùn)算滿足交換律，結(jié)合律，冪等律？(a) 交換律，結(jié)合律，冪等律都滿足， 零元為 a,沒(méi)有單位元；(b)滿足交換律和結(jié)合律，不滿足冪等律，單位元為 a,沒(méi)有零元1=1a= a, bb(c)滿足交換律,不滿足冪等律,不滿足結(jié)合律(a b b) = a a = b,(a b b) (a b) b(a b) b = a b = a沒(méi)有單位元, 沒(méi)有零元(d) 不滿足交換律，滿足結(jié)合律和冪等律 沒(méi)有單位元, 沒(méi)有零元(2)求每個(gè)運(yùn)算的單位元，零元以及每一個(gè)可逆元素的逆元。見(jiàn)上16設(shè) V=

8、N，+ ，其中 + ，分別代表普通加法與乘法，對(duì)下面給定的每個(gè)集合確定它是否構(gòu)成 V 的子代數(shù)，為什么？（1）S1= 是（2）S2= 不是 加法不封閉（3）S3 = -1，0，1不是，加法不封閉第十一章部分課后習(xí)題參考答案為8.設(shè) S=0，1，2，3， 模 4 乘法，即" x,yS,xy=(xy)mod 4問(wèn)S， 是否構(gòu)成群？為什么？y解：(1) x,yS,x=(xy)mod 4 S ,是 S 上的代數(shù)運(yùn)算。(2) x,y,zS,設(shè) xy=4k+r0 r 3y(x )z =(xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4=(4kz+rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(x

9、yz)mod 43(3)同理 x yz) =(xyz)mod 4(y(所以，(x )z = x yz)，結(jié)合律成立。x xS, (x1)=(1)=x,，所以 1 是單位元。(4)11 = 1,31 = 3,0 和 2 沒(méi)有逆元所以，S，不構(gòu)成群9.設(shè) Z 為整數(shù)集合，在 Z 上定義二元運(yùn)算。如下：" x,yZ,xoy= x+y-2問(wèn) Z 關(guān)于 o 運(yùn)算能否構(gòu)成群？為什么？解：(1) x,yZ,xoy= x+y-2Z,o 是 Z 上的代數(shù)運(yùn)算。(2) x,y,zZ,(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，結(jié)合

10、律成立。(3)設(shè) e 是單位元， xZ, xo e =ox=x,即 x+ -2=ee+x-2=x,e=2e(4) xZ , 設(shè) x 的逆元是 y, xoy= yox= e , 即 x+y-2=y+x-2=2,所以，1 =xy = 4 x所以Z，o構(gòu)成群 10 10 10 10 111.設(shè) G= , , , ，證明 G 關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個(gè)群 0 0 1 01 0 1解：(1) x,yG,易知 xyG,乘法是 Z 上的代數(shù)運(yùn)算。(2) 矩陣乘法滿足結(jié)合律(3)設(shè) 1 00 是單位元，1 (4)每個(gè)矩陣的逆元都是自己。所以 G 關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個(gè)群14.設(shè) G 為群，且存在 aG,使得 G=ak

11、kZ證明：G 是交換群。4證明: x,yG，設(shè) x = a k ,y = a l ，則xy = a k a l=k +la= al + k= a l a k= yx所以，G 是交換群17.設(shè) G 為群，證明 e 為 G 中唯一的冪等元。證明:設(shè)e0 G也是冪等元，則 2e0=，即 2 =，由消去律知=e0e0e0 ee0e18.設(shè) G 為群，a,b,cG,證明abc=bca=cab證明：先證設(shè) (abc) k= e (bca) k = ee設(shè) (abc) k =, 則 (abc)(abc)(abc)(abc) = e ，即()(1 =a bcabca) bca)(bca)ae左邊同乘1 ，右邊

12、同乘 得aaaaabc()()(bcbcbc)(a) = (bac) k=1eaea = ee反過(guò)來(lái)，設(shè) (bac) k =, 則 (abc) k = .由元素階的定義知，abc=bca，同理bca=cab19.證明：偶數(shù)階群 G 必含 2 階元。證明：設(shè)群 G 不含 2 階元， a G ，當(dāng)= e 時(shí)， a 是一階元，當(dāng) a e 時(shí)， a 至少是 3階元,因?yàn)槿?G 時(shí)有限階的，所以 是有限階的，設(shè) 是 k 階的,則aaa1 也是 k 階的，所以a高于 3 階的元成對(duì)出現(xiàn)的，G 不含 2 階元，G 含唯一的 1 階元 ,這與群 G 是偶數(shù)階的矛e盾。所以，偶數(shù)階群 G 必含 2 階元20.設(shè)

13、 G 為非 Abel 群，證明 G 中存在非單位元 a 和 b,ab,且 ab=ba. 證明：先證明 G 含至少含 3 階元。若 G 只含 1 階元,則 G=e,G 為 Abel 群矛盾；若 G 除了 1 階元 e 外,其余元 均為 2 階元，則 2 =aa， 1 =2eaa , ,1 =, 1 = , () 1 =, 所以=11 =1 =，a bG aa bb abababa b(ba)ba與 G 為 Abel 群矛盾；a2所以，G 含至少含一個(gè) 3 階元，設(shè)為 a ，則 a，且 2aa = aa 。5令=2 的證。ba21.設(shè) G 是 Mn(R)上的加法群，n2，判斷下述子集是否構(gòu)成子群。

14、（1）全體對(duì)稱矩陣是子群（2）全體對(duì)角矩陣是子群（3）全體行列式大于等于 0 的矩陣.不是子群（4）全體上（下）三角矩陣。是子群122.設(shè) G 為群，a 是 G 中給定元素，a 的正規(guī)化子 N（a）表示 G 中與 a 可交換的元素構(gòu)成 的集合，即N（a）=xxGxa=axe證明 N（a）構(gòu)成 G 的子群。 證明：ea=ae, N (a) ö ,( ), 則,x y N aax = xa ay = yaa( xy) = (ax) y= ( xa) y =x(ay) =x( ya) = (xy)a,所以( )N axy由 ax = xa ，得11x axx=1xxax1 ,1=x aee

15、ax1 ，即1 =1 ，所以x aaxx N (a)所以 N（a）構(gòu)成 G 的子群31.設(shè)1 是群 G1 到 G2 的同態(tài)，2 是 G2 到 G3 的同態(tài)，證明1 2 是 G1 到 G3 的同態(tài)。證明：有已知1 是 G1 到 G2 的函數(shù)， 2 是 G2 到 G3 的函數(shù)，則1·2 是 G1 到 G3 的函數(shù) 。( 1 2 )(ab) = 2 (1 (ab) = 2 (1 (a)1 ( )2= ( 21 (a)( 1 (b) = (1 2 )(a)(b1 2 )( )所以:1·2 是 G1 到 G3 的同態(tài)。33.證明循環(huán)群一定是阿貝爾群，說(shuō)明阿貝爾群是否一定為循環(huán)群，并證

16、明你的結(jié)論。x證明：設(shè) G 是循環(huán)群,令 G=<a>, ,xy G,令= a k , y = a l ,那么xy = a k a l=k +la=l + ka= a l a k= yx,G 是阿貝爾群 , a,b, eabceeabcaaecbbbceaccbae克萊因四元群,=Gec是交換群,但不是循環(huán)群,因?yàn)?e 是一階元，a,b,c 是二階元。636.設(shè),ó ô是 5 元置換，且 12345 12345 = ó21 ，= 453ô34512(1)計(jì)算,óôôó ,1 ,ô1 ,1；óó ôó(2)將,ôó1 ,1ôó ôó表成不交的輪換之積。(3)將（2）中的置換表示成對(duì)換之積，并說(shuō)明哪些為奇置換，哪些為偶置換。解：(1) 1= ôó 423455321 1= óô 4